1.1.1.1 Pojem vektor a jeho souřadnice, umístění vektoru

Jistě si pamatujete, že vektory můžeme vnímat dvěma způsoby:

jako uspořádané \(n\)-tice reálných čísel, tj. prvky množiny \({\color{DarkBlue} {\mathbb{R}^{n}}}\),
jako orientované úsečky.

Množinu \(\mathbb{R}^{n}\) všech uspořádaných \(n\)-tic reálných čísel můžeme zapsat jako:

\(\mathbb{R}^{n} = \{(x_1,x_2, \dots, x_n); x_i \in \mathbb{R}, i = 1, \dots , n \}\).

Geometricky si prvky množiny \(\mathbb{R}^{n}\) můžeme představovat dvojím způsobem. Buď jako body, nebo jako vektory.

Body obvykle značíme velkými písmeny \(A, B, C, X, Y\), apod. a jejich souřadnice píšeme do hranatých závorek, např. \({\color{DarkBlue} {A[a_1,a_2, \dots, a_n]}}\). Na obrázku (1) je znázorněn bod \(A[1,2,3]\) v prostoru \(\mathbb{R}^{3}\).

[figure] — **Obr. 1:** Souřadnice bodu \(A[1,2,3]\) v prostoru \(\mathbb{R}^{3}\)

Naopak vektory obvykle zapisujeme malými písmeny se šipkou, např. \(\vec{u}=(2,3,5)\) je vektor v prostoru \(\mathbb{R}^{3}\). Obecně \({\color{DarkBlue} {\vec{u}=(u_1,u_2, \dots, u_n)}}\) je vektor (uspořádaná \(n\)-tice) v prostoru \(\mathbb{R}^{n}\). Reálná čísla \({\color{DarkBlue} {u_1,u_2, \dots, u_n}}\) nazýváme souřadnice (nebo též složky) vektoru \(\vec u\).

Geometricky si lze vektor \(\vec{u}=(u_1,u_2, \dots, u_n)\) představit v \(n\)-rozměrné kartézské soustavě souřadnic Obvykle se zabýváme \(n=2\) (rovina) a \(n=3\) (klasický trojrozměrný prostor). Při grafickém znázorňování pak budeme souřadnicové osy označovat \(x,y\) (pro \(n=2\)) a \(x,y,z\) (pro \(n=3\)). jako orientovanou úsečku s počátečním bodem v počátku, tj. v bodě o souřadnicích \([0,0, \dots, 0]\), a s koncovým bodem o souřadnicích \([u_1,u_2, \dots, u_n]\). Rovnoběžné posunutí této úsečky opět představuje tentýž vektor, jen s jiným umístěním. Vektor \(\vec{u}\) si tedy také můžeme představit jako orientovanou úsečku vedoucí z nějakého bodu \(A[a_1,a_2, \dots, a_n]\) do bodu \(B[a_1+u_1,a_2+u_2, \dots, a_n+u_n]\). Bod \({\color{DarkBlue} {A}}\) pak nazýváme počátečním a bod \({\color{DarkBlue} {B}}\) koncovým bodem vektoru \(\vec{u}\). Protože volbu počátečního budu můžeme provést libovolně, má každý vektor nekonečně mnoho různých umístění.

Jsou-li body \(A\), \(B\) dány souřadnicemi \(A[a_1,a_2, \dots , a_n]\) a \(B[b_1,b_2, \dots , b_n]\), přičemž \(a_1, a_2, \dots, a_n\), \(b_1, b_2, \dots, b_n\) jsou reálná čísla a je-li vektor \(\vec{u}\) určen orientovanou úsečkou \(\overrightarrow{AB}\), nazývají se čísla

\(u_1=b_1 - a_1\) a \(u_2=b_2 - a_2\), \(\dots\), \( u_n=b_n - a_n \) (1)

souřadnice vektoru \(\vec{u}\). Zapisujeme \({\color{DarkBlue} {\vec{u}=(u_1,\,u_2, \dots , u_n)}}\).

Je-li \(A\) počáteční bod a \(B\) koncový bod vektoru \(\vec{u}\), píšeme \( {\color{DarkBlue} {\vec{u}=\vec{AB}=B-A}} \) (2), a souřadnice vektoru \(\vec{u}\) získáme odečtením souřadnic bodu \(A\) od souřadnic bodu \(B\). Ekvivalentně můžeme vztah (2) zapsat jako \( B=A+\vec{u} \) (3), tedy součet \(A+\vec{u}\) interpretujeme jako bod \(B=A+\vec{u}=[a_1+u_1,a_2+u_2, \dots, a_n+u_n]\).