Aplikovaná matematika 1.2.3.2 Vektorový součin

1.2.3.2 Vektorový součin

6. Určete vektor \(\vec{w}\) kolmý ke dvěma vektorům \(\vec{u}, \vec{v}\):

  1. \(\vec{u}=(1,-1,2), \vec{v}=(3,1,1)\)

  2. \(\vec{u}=(1,0,1), \vec{v}=(-1,3,2)\)

  3. \(\vec{u}=(1,-1,3), \vec{v}=(0,0,1)\)

Řešení:

  1. \(\vec{w}=(-3,5,4)\)

  2. \(\vec{w}=(1,1,-1)\)

  3. \(\vec{w}=(1,1,0)\)

7. Vypočítejte obsah rovnoběžníka \(KLMN\), jestliže znáte souřadnice vrcholů \(K, L, M\). Vypočítejte souřadnice vrcholu \(N\).

  1. \(K[2,0,1], L[1,-1,3], M[4,2,1]\)

  2. \(K[1,3], L[2,0], M[4,-1]\)

Řešení:

  1. \(N[5,3,-1], S = 4\sqrt{2}\)

  2. Abychom mohli užít vektorový součin, musíme převést úlohu do prostoru např. tak, že u všech bodů doplníme souřadnici \(z=0\). \(N[3,2], S=5\)

8. Vypočítejte obsah trojúhelníka \(ABC\), je-li:

  1. \(A[4,0,-1], B[2,4,-1]\) a \(C[5,3,4]\)

  2. \(A[2,-1], B[-1,4]\) a \(C[3,-2]\)

  3. \(A[3,-6,5], B[4,8,1]\) a \(C[5,22,-3]\)

Řešení:

  1. \(S_\triangle =5\sqrt{6}\)

  2. \(S_\triangle = 1\)

  3. \(A, B, C\) leží na přímce.

9. Je dán trojúhelník \(XYZ\), kde \(X[4,1,0], Y[4,-2,-3]\) a \(Z[1,-2,0]\). Vypočtěte obvod, obsah a velikosti vnitřních úhlů tohoto trojúhelníka.

Řešení:

\(o =9\sqrt{2}, S_\triangle = \dfrac{9}{2} \sqrt{3}, \alpha = \beta = \gamma = 60^\circ\)