1.3.1.1 Parametrická rovnice přímky v prostoru
Každá přímka v prostoru \(\mathbb{R}^3\) je jednoznačně určena dvěma různými body (označme je \(A[a_1, a_2, a_3], B[b_1, b_2, b_3]\)), které na této přímce leží. Každý bod \(X[x_1, x_2, x_3]\) přímky \(p\) dostaneme tak, že k bodu \(A\) přičítáme různé násobky vektoru \(\vec{u}=\vec{AB}\), viz obr. (1).
Místo dvou bodů můžeme přímku také určit jedním bodem a nenulovým vektorem \(\vec{u}\) - přímku vyjádříme tzv. parametrickou rovnicí.
Rovnice
\( X = A + t\vec{u}; \quad t \in \mathbb{R} \) (1)
se nazývá parametrická rovnice nebo také parametrické vyjádření přímky \(p\). Vektor \({\color{DarkBlue} {\vec{u}}}\) se nazývá směrový vektor přímky \(p\), proměnná \({\color{DarkBlue} {t}} \in \mathbb{R}\) se nazývá parametr.
![[figure]](images/primka_rovnice.png)
Parametrickou rovnici (1) můžeme rozepsat po souřadnicích - dosazením \(X[x, y, z], A[a_1, a_2, a_3], u = (u_1, u_2, u_3)\) získáme vyjádření souřadnic bodů \(X\) této přímky v závislosti na parametru \(t\):
\( p: \begin{array}{ccccc} x &= &a_{1} &+ &tu_{1} \\ y &= &a_{2} &+ &tu_{2} \\ z &= &a_{3} &+ &tu_{3} \end{array}; \quad t\in \mathbb{R} \) (2).
Je-li přímka \(p\) zadána dvěma různými body \(A,B\), lze parametrickou rovnici snadno získat dosazením souřadnic bodů \(X\) a \(A\) a vektoru \(\vec{u}=\vec{AB}=(b_1-a_1, b_2-a_2, b_3-a_3)\). Pro různé hodnoty parametru \(t\) dostáváme různé body přímky - např. pro \(t=1\) bod \(X=A+\vec{AB}=B\).
Omezíme-li \({\color{DarkBlue} {t}}\) na interval \({\color{DarkBlue} {\langle 0,1 \rangle}}\), dostaneme parametrickou rovnici úsečky. Střed úsečky \(AB\) dostaneme pro hodnotu \(t=\frac{1}{2}\):
\({\color{DarkBlue} {S=}}A+\frac{1}{2} \vec{AB} = A+\frac{1}{2} (B-A) = A + \frac{1}{2} B - \frac{1}{2} A = \dfrac{A+B}{2}.\) K určení souřadnic středu \(S\) si stačí uvědomit, že musí platit \(|AS|=|BS|=\frac{1}{2}|AB|\).