1.3.1.3 Parametrická rovnice roviny v prostoru

Každá rovina v prostoru \(\mathbb{R}^3\) je jednoznačně určena:

třemi svými různými body (označme je \(A[a_1, a_2, a_3], B[b_1, b_2, b_3], C[c_1, c_2, c_3]\)), které neleží na jedné přímce.

Body \(A,B,C\) neleží na jedné přímce právě tehdy, když vektory \(\vec{AB}, \vec{AC}\) jsou lineárně nezávislé.
dvěma různými přímkami, které nejsou mimoběžné.
jedním bodem a dvěma různými nenulovými vektory, které jsou lineárně nezávislé (jeden není násobkem druhého).

Každý bod \(X[x_1, x_2, x_3]\) roviny \(\rho = ABC\) dostaneme tak, že k bodu \(A\) přičítáme různé násobky nenulových vektorů \(\vec{u}=\vec{AB}\) a \(\vec{v}=\vec{AC}\) (tedy přičítáme nějakou lineární kombinaci vektorů \(\vec{AB}\) a \(\vec{AC}\)), viz obr. (2).

Rovnice

\( X = A + t\vec{u} + s\vec{v}; \quad t,s \in \mathbb{R} \) (4)

se nazývá parametrická rovnice nebo také parametrické vyjádření roviny \(\rho = ABC\), kde \(B = A + u\) a \(C = A + v\). Vektory \({\color{DarkBlue} {\vec{u}, \vec{v}}}\) se nazývají směrové vektory roviny \(\rho\), proměnné \({\color{DarkBlue} {t,s}} \in \mathbb{R}\) se nazývají parametry.

[figure] — **Obr. 2:** Parametrická rovnice roviny

Parametrickou rovnici (4) můžeme rozepsat po souřadnicích - dosazením \(X[x, y, z], A[a_1, a_2, a_3], u = (u_1, u_2, u_3), v = (v_1, v_2, v_3)\) získáme vyjádření souřadnic bodů \(X\) této roviny v závislosti na parametrech \(t, s\):

\( \rho: \begin{array}{ccccccc} x &= &a_{1} &+ &tu_{1} &+ &sv_{1}\\ y &= &a_{2} &+ &tu_{2} &+ &sv_{2}\\ z &= &a_{3} &+ &tu_{3} &+ &sv_{3} \end{array}; \quad t,s\in \mathbb{R} \) (5).

Je-li rovina \(\rho\) zadána třemi různými body \(A,B,C\), lze parametrickou rovnici snadno získat dosazením souřadnic bodů \(X\) a \(A\) a vektorů \(\vec{u}=\vec{AB}=(b_1-a_1, b_2-a_2, b_3-a_3), \vec{v}=\vec{AC}=(c_1-a_1, c_2-a_2, c_3-a_3)\). Pro různé hodnoty parametrů \(t,s\) dostáváme různé body roviny.