1.3.2.2 Rovina v prostoru

3. Obecná rovnice roviny

Napište obecnou rovnici roviny, která prochází bodem

\(A[2,3,1]\) a má směrové vektory \(\vec{u}=(-1,1,2)\) a \(\vec{v}=(-2,-12,-3)\).
\(M[1,2,3]\) a je kolmá na vektor \(\vec{u}=(3,2,1)\).

Řešení:

Pokud je vektor \(\vec{u}\) kolmý k rovině, znamená to, že je jejím normálovým vektorem a v tomto případě snadno určíme obecnou rovnici roviny.

Vektor \(\vec{n}\) tedy získáme jako vektorový součin (podle (7)) vektorů \(\vec{u}\) a \(\vec{v}\):

\(\vec{n}=(-3+24,-4-3,12+2)=(21,-7,14)\). K určení obecné rovnice roviny můžeme vzít vektor \(\frac{1}{7}\vec{n}\), který je také k dané rovině kolmý: \(\vec{n_1}=(3,-1,2)\).

Zapíšeme obecnou rovnici roviny (označme si ji \(\rho\) ) a dosadíme do ní souřadnice vektoru \(\vec{n_1}\):

\(\rho: \begin{array}{rrrrrrrrr} ax &+ &by &+ &cz &+ &d &= &0\\ 3x &- &y &+ &2z &+ &d &= &0 \end{array}.\)

Koeficient \(d\) zjistíme dosazením souřadnic bodu \(A\) ležícího v rovině:

\(A \in \rho: \begin{array}{rrrrrrrrr} 3\cdot2 &- &3 &+ &2\cdot1 &+ &d &= &0\\ & & & & & &d &= &-5 \end{array}.\)

Hledaná obecná rovnice roviny tedy je \(\underline{\underline{3x - y + 2z -5 = 0}}\).
Platí, že normálový vektor \(\vec{n}\) je kolmý ke směrovým vektorům roviny.

Zapíšeme obecnou rovnici roviny (označme si ji \(\rho\) ) a dosadíme do ní souřadnice vektoru \(\vec{n}=\vec{u}\):

\(\rho: \begin{array}{rrrrrrrrr} ax &+ &by &+ &cz &+ &d &= &0\\ 3x &+ &2y &+ &z &+ &d &= &0 \end{array}.\)

Koeficient \(d\) zjistíme dosazením souřadnic bodu \(M\) ležícího v rovině:

\(M \in \rho: \begin{array}{rrrrrrrrr} 3\cdot1 &+ &2\cdot2 &+ &1\cdot3 &+ &d &= &0\\ & & & & & &d &= &-10 \end{array}.\)

Hledaná obecná rovnice roviny tedy je \(\underline{\underline{3x + 2y + z -10 = 0}}\).

4. Vzdálenost bodu od roviny

Vypočítejte vzdálenost bodu \(A[3,0,-2]\) od roviny \(\rho: 3x -2y + z = 21\) Takového příkladu se využívá i v chemii při určování interakce atomu (bod) s \(\pi\)-systémem aromatického cyklu (ten tvoří rovinu). .

Řešení:

Postup řešení:

Bodem \(A\) povedeme přímku \(p\) kolmou k rovině \(\rho\).
Určíme průsečík \(P\) přímky \(p\) a roviny \(\rho\).
Určíme vzdálenost \(|A \rho|=|AP|\). Analogicky lze příklad řešit dosazením do vzorce určujícího vzdálenost bodu od roviny: \(|A \rho|=\dfrac{|aa_1+ba_2+ca_3+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\)

Protože normálový vektor roviny \(\vec{n}=(3,-2,1)\) je kolmý k této rovině, bude zároveň směrovým vektorem přímky \(p\): \(\vec{u}=(3,-2,1)\).

Přímku \(p\) vyjádříme (podle (2)) parametricky (pomocí vektoru \(\vec{u}\) a bodu \(A\) ležícího na přímce):

\(p: \begin{array}{ccccc} x &= &3 &+ &3t \\ y &= & &- &2t \\ z &= &-2 &+ &t \end{array}; \quad t\in \mathbb{R}\).

Určíme průsečík \(P\) přímky \(p\) a roviny \(\rho\) (dosazením \(x,y,z\) z vyjádření přímky do rovnice roviny):

\(p\cap \rho: \begin{array}{rcl} 3(3+3t) -2(-2t) + (-2+t) &= &21 \\ 9+9t+4t-2+t &= &21\\ 14t &= &14\\ t &= &1 \end{array}\).

Souřadnice průsečíku \(P\) získáme dosazením hodnoty \(t\) do parametrického vyjádření přímky \(p\):

\(p: \begin{array}{ccccccr} x &= &3 &+ &3 &= &6\\ y &= & &- &2 \\ z &= &-2 &+ &1 &= &-1 \end{array}; \quad P[6,-2,-1]\).

Nyní určíme (podle (2)) vzdálenost bodu bodu \(A\) od roviny \(\rho\):

\(|A \rho|=|AP| = \sqrt{(6-3)^2+(-2-0)^2+(-1+2)^2} = \sqrt{9+4+1} = \underline{\underline{\sqrt{14}}}\).

5. Vzdálenost bodu od přímky

Vypočítejte vzdálenost bodu \(A[-5,1,-5]\) od přímky \(p\) procházející body \(C[-1,4,3], D[0,2,4]\).

Řešení:

Postup řešení:

Bodem \(A\) povedeme rovinu \(\rho\) kolmou k přímce \(p\) - vybereme takovou, které prochází bodem \(A\).
Určíme průsečík \(P\) přímky \(p\) a roviny \(\rho\) (určíme-li rovnici roviny obecně a rovnici přímky parametricky, bude se nám úloha snadno počítat).
Určíme vzdálenost \(|Ap|=|AP|\).

Směrový vektor přímky \(p\), \(\vec{CD}=(1,-2,1)\), je zároveň normálovým vektorem roviny \(\rho\): \(\vec{n}=(1,-2,1)\).

Rovinu \(\rho\) vyjádříme (podle (6)) obecně:

\(\rho: \begin{array}{rrrrrrrrr} ax &+ &by &+ &cz &+ &d &= &0\\ x &- &2y &+ &z &+ &d &= &0 \end{array}\)

\(A \in \rho: \begin{array}{rrrrrrrrr} -5 &- &2\cdot1 &- &5 &+ &d &= &0\\ & & & & & &d &= &12 \end{array}\)

\(\rho: x - 2y + z + 12 = 0\).

Přímku \(p\) vyjádříme (podle (2)) parametricky (pomocí vektoru \(\vec{CD}\) a např. bodu \(C\) ležícího na této přímce):

\(p: \begin{array}{ccrcc} x &= &-1 &+ &t \\ y &= &4 &- &2t \\ z &= &3 &+ &t \end{array}; \quad t\in \mathbb{R}\).

Určíme průsečík \(P\) přímky \(p\) a roviny \(\rho\) (dosazením \(x,y,z\) z vyjádření přímky do rovnice roviny):

\(p\cap \rho: \begin{array}{rcr} (-1+t) - 2(4-2t) + (3+t) + 12 &= &0 \\ -1+t-8+4t+3+t+12 &= &0\\ 6t &= &-6\\ t &= &-1 \end{array}\).

Souřadnice průsečíku \(P\) získáme dosazením hodnoty \(t\) do parametrického vyjádření přímky \(p\):

\(p: \begin{array}{ccrcccr} x &= &-1 &+ &(-1) &= &-2\\ y &= &4 &- &2(-1) &= &6\\ z &= &3 &+ &(-1) &= &2 \end{array}; \quad P[-2,6,2]\).

Nyní určíme (podle (2)) vzdálenost bodu bodu \(A\) od přímky \(p\):

\(|Ap|=|AP| = \sqrt{(-2+5)^2+(6-1)^2+(2+5)^2} = \sqrt{9+25+49} = \underline{\underline{\sqrt{83}}}\).

6. Odchylka rovin

Vypočtěte úhel, který svírají roviny \(\rho\) a \(\sigma\), je-li \(\rho: z-3=0, \sigma:2y+2z-1=0\).

Řešení:

Úhel, který svírají roviny, bude stejný jako úhel, který svírají kolmice na tyto roviny.

Směrové vektory těchto kolmic budou odpovídat normálovým vektorům zadaných rovin. Ty snadno určíme z obecných rovnic rovin: \(\vec{n_{\rho}}=(0,0,1), \vec{n_{\sigma}}=(0,2,2)\).

Odchylku rovin pak spočítáme podle vzorce (3) pro odchylku přímek (kolmic):

\(\cos \alpha = \dfrac{|\vec{u} \cdot \vec{v}|}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|} = \dfrac{|(0,0,1) \cdot(0,2,2)|} {|(0,0,1)| \cdot |(0,2,2)|} = \dfrac{|0+0+2|}{\sqrt{0+0+1} \cdot \sqrt{0+4+4}} = \dfrac{2}{2\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\)

\(\alpha = \arccos \dfrac{\sqrt{2}}{2}\)

\(\alpha = \underline{ \underline{45^\circ}}\).

7. Vzájemná poloha dvou rovin

V chemii můžeme zjišťovat, zda u aromatických cyklů dochází k tzv. stacking interakcím, tj. matematicky je třeba posoudit, zda jsou roviny jader rovnoběžné. Vyřešme tedy podobný úkol. Rozhodněte, zda dané roviny jsou rovnoběžné, kolmé, nebo splývající.

\(\rho: 2x-y+3z-1=0, \sigma: 4x-2y+6z-2=0\).
\(\rho: x-4y+2z=0, \sigma: 2x+3y+5z-1=0\).
\(\rho: x+2y+3z-1=0, \sigma: 2x+4y+6z+2=0\).

Řešení:

Určíme normálové vektory obou rovin:

\(\vec{n_{\rho}}=(2,-1,3), \vec{n_{\sigma}}=(4,-2,6).\)

Vidíme, že \(\vec{n_{\sigma}}=2\vec{n_{\rho}}\), proto jsou dané roviny rovnoběžné (buď různé, nebo totožné).

Porovnáme-li koeficienty \(d\) v obecných rovnicích rovin, zjistíme, že \(d_{\sigma}=2d_{\rho}\) (protože \(-2=2(-1)\)). To znamená, že roviny jsou totožné Pokud by koeficienty \(d\) nebyly stejným násobkem jako normálové vektory rovin, byly by roviny rovnoběžné různé. .
Určíme normálové vektory obou rovin:

\(\vec{n_{\rho}}=(1,-4,2), \vec{n_{\sigma}}=(2,3,5).\)

Vidíme, že \(\vec{n_{\sigma}} \neq k\vec{n_{\rho}}, k \in \mathbb{R}\), proto dané roviny nejsou rovnoběžné, což znamená, že jsou různoběžné.

Pokud by roviny byly kolmé, muselo by platit, že skalární součin jejich normálových vektorů je roven nule. Ověřme tedy

\(\vec{n_{\rho}} \cdot \vec{n_{\sigma}} =(1,-4,2) \cdot (2,3,5) = 2-12+10=0.\)

To znamená, že roviny jsou kolmé (\(\rho \perp \sigma\)).
\(\vec{n_{\rho}}=(1,2,3), \vec{n_{\sigma}}=(2,4,6)\).

Vidíme, že \(\vec{n_{\sigma}}=2\vec{n_{\rho}}\), proto jsou dané roviny rovnoběžné (buď různé, nebo totožné).

Porovnáme-li koeficienty \(d\) v obecných rovnicích rovin, zjistíme, že \(d_{\sigma} \neq 2d_{\rho}\) (protože \( 2 \neq2(-1)\)). To znamená, že roviny jsou rovnoběžné různé.