Pomocí diferenciálu vypočtěte přibližnou hodnotu funkce \(f(x) = \arctan (x)\) v bodě \(a=0.98\).
Řešení:
Nejdříve si zvolíme vhodný funkční bod, pro který snadno vypočítáme funkční hodnotu a který je dostatečně blízko bodu \(a=0.98\). Jako nejvhodnější se jeví bod \(a=1\) pro funkci \(y=\arctan (x)\). Nejdříve vypočteme přirustek funkce \(h = x -a = 0.98 - 1.00 = -0.02\). Pro výpočet diferenciálu budeme nejprve potřebovat první derivaci zadané funkce. Ta je rovna \((\arctan (x))^{\prime} = \frac{1}{1+x^2}\). Hodnota první derivace v bodě \(x=1\) je rovna \((\arctan (1))^{\prime} = \frac{1}{2}\).
Vypočtěte diferenciál funkce \(f(x) = \sin (x)\).
Řešení:
Protože v tomto příkladu není zadán ani bod \(a\) a ani přírustek funkce \(h\), bude výpočet pouze obecný. Nejdříve vypočítáme první derivaci zadané funkce \( f^{\prime} (x) = \cos x\). Diferenciál funkce má tedy tvar:
\[ d f(x) = f^{\prime} (x) dx = \cos x dx.\]
Pomocí diferenciálu funkce vypočtěte přibližnou hodnotu \(\sqrt {382}\).
Řešení:
Nejbližší nám známý bod, pro který známe přesně hodnotu druhé odmocniny je \(x_0 = 400\). Přírustek funkce \(h = 382 -400 = -18\). Funkce, pro kterou budeme počítat difeneciál má tvar \(f(x) = \sqrt {x}\). Její derivace má tvar \(f^{\prime} (x) = \frac {1}{s \sqrt {x}}\). Po dosazení do vzorce pro diferenciál dostaneme: \(f(382) = f(400) + \frac {1}{2 . \sqrt {400}} = 20 + \frac {1}{40} (-18) = 20 - \frac {9}{20} \doteq 19.55\).