Vypočtěte integrál \(\int \frac {4x -1}{x^2 + 4x +8} dx\)
Řešení:
Integrál ve zlomku si nejdříve rozdělíme na dva tak, že jeden povede na logaritmus funkce a druhý na funkci arcustangens. \(\int \frac {4x -1}{x^2 + 4x +8} dx = \alpha \int \frac {2x +4}{x^2 +4x +8} dx + \beta \int \frac {1}{x^2 +4x +8} dx =\) nejdříve vypočítáme koeficienty \(\alpha\) a \(\beta\). \( 4x -1 = \alpha (2x+4) + \beta . 1\) Porovnáním koeficientů dostaneme \(4x = \alpha . 2x\) a \(-1 = 2.4 +\beta . 1 = 8 + \beta\) \(\beta = -9\) Budeme tedy řešit integrály \( 2 \int \frac {2x +4}{x^2 +4x +8} dx - 9 \int \frac {dx}{x^2 +4x +8} \) První integrál je roven: \( \) Druhý integrál upravíme: \( -9 \int \frac {dx}{x^2 +4x +8} = - \frac {9}{4} \int \frac {dx}{(\frac {x^2 +2}{2})^2 +1} \) Tento integrál je roven: \( - \frac {9}{2} \arctan \frac {x+2}{2}\). Celý integrál je tedy roven: \(2 \ln (x^2 +4x +8)- \frac {9}{2} \arctan \frac {x+2}{2} +C \)
Řešení:
Řešení: