5.2.1 Teorie

Pokud ná funkce \(f(x)\) v intervalu \(\) (pro záporné \(h\) v intervalu \(\) spojité derivace až do řádu \(n\) včetně a dále v intervalu \((a,a+h)\), resp. \((a+h,a)\) spojitou derivaci (n+1) - řádu, pak polynom

\[f(a+h) = f(a) + \frac{f^{\prime} (a)}{1!} h + \frac{f^{\prime \prime} (a)}{2!} h^2 + \cdots + \frac {f^{(n)} (a)}{n!} h^n + R_{n+1} \]

nazveme Taylorovým polynomem a výraz \(R_{n+1}\) nazveme Taylorovým zbytkem.

Přepíšeme-li přírustek \(h\) ve tvaru \(h=x-a\), dostaneme častěji používaný tvar Taylorova polynomu:

\[f(x) = f(a) + \frac {f^{\prime} (a)}{1!} (x -a) + \frac {f^{\prime \prime} (a)}{2!} (x-a)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)} (a)}{n!} (x-a)^n + R_{n+1}\]

Taylorovým polynomem stupně \(n\) v bodě \(a\) nazýváme polynom

\[T_n (x) = f(a) + \frac {f^{\prime} (a)}{1!} (x-a) + \frac {f^{\prime \prime} (a)}{2!} (x-a)^2 + \cdots + \frac {f^{(n)} (a)}{n!} (x-a)^n \]

Zvláštním případem Taylorova polynomu je polynom v bodě \(a=0\). Tento polynom se nazývá Maclaurinův polynom. Tento polynom má tedy tvar:

\[f(x) = f(0) + \frac {f^{\prime} (0)}{1!} x + \frac {f^{\prime \prime} (0)}{2!} x^2 + \cdots + \frac {f^{(n)} (0)}{n!} x^n \]