Zapište Taylorův polynom 5. stupně pro funkci \(f(x) = e^x\) v okolí bodu \(a=0\)
Řešení:
Nejprve musíme určit derivace funkce až do stupně 5. Je ale zřejmé, že derivace funkce \(f(x) = e^x\) je rovna \(f^{\prime} (x) = e^x\). Funkce v bobě \(a=0\) i její derivace nabývají hodnoty \(e^0 = 1\). Taylorův polynom bude tedy mít tvar:
\[T_5 (x) = 1 + \frac{1}{1!} x + \frac {1}{2!} x^2 + \frac {1}{3!} x^3 + \frac {1}{4!} x^4 + \frac {1}{5!} x^5.\]
Funkci \(y = \cos x\) v okolí bodu \(x_0 = 0\) nahraďte polynomem čtvrtého stupně.
Řešení:
Opět nejdříve vypočítáme derivace až do 4 stupně (pokud existují) a určíme jejich funkční hodnotu v bodě \(x_0\). Také určíme funkční hodnotu funkce \(f(x) = \cos (0)\). Řada derivací a jejich funkční hodnoty budou vypadat následovně: \(f(0) = \cos 0 = 1, f^{\prime} (0) = - \sin 0 = 0, \)
\(f^{\prime \prime} (0) = - \cos (0) = -1, f^{\prime \prime \prime} (0) = sin (0) = 0, f^{(4)} (0) = \cos (0) = 1\).
Maclaurinův polynom má tedy tvar:
\[ f(x) = \cos (x) \approx 1 - \frac {x^2}{2!} + \frac {x^4}{4!}.\]