7.1.1.2 Lichoběžníková metoda

Při této metodě nahradíme každou část plochy integrovaného intervalu lichoběžníkem. Jak ukazuje následující obrázek aproximace lichoběžníkem nebude vyžadovat tak velký počet dělení integračního intervalu jako u obdélníkové metody integrace, což si ukážeme při řešení příkladu.

Nejdříve si zopakujeme vzorec na výpočet obsahu plochy lichoběžníka: \(S = \frac{v}{2} \cdot (z_1 + z_2)\). Kde \(v\) je výška lichoběžníka a \(z_1\), \(z_2\) jsou jeho základny. V případě našeho obrázku je výška lichoběžníka rovna délce intervalu \(b - a\), v případě dělení intervalu ji značíme \(h\). Základny odpovídají v našem případě funkčním hodnotám v krajních bodech intervalu. Při aproximaci jedním obdélníkem získáme:

\[ \int _a ^b f(x)dx = \frac{b-a}{2}(f(a) + f(b)) \]

Při aproximaci více lichoběžníky se funkční hodnoty vnitřních uzlových bodů objevují vždy dvakrát. Jednou figurují jako pravá mez jednoho lichoběžníka, podruhé jako levá mez sousedního lichoběžníka. Pro aproximaci třemi lichoběžníky s vnitřními uzlovými body \(c\) a \(d\), kde \(a < c< d < b\), dostáváme vzorec:

\[ \int _a ^b f(x)dx \doteq \frac{h}{2} (f(a) + f(c)) + \frac{h}{2} (f(c) + f(d)) + \frac{h}{2} (f(d) + f(b)) = \frac{h}{2} (f(a) + 2f(c) + 2f(d) + f(b)) \]

obecně pro dělení \(m\) dostáváme vzorec:

\[ \int _a ^b f(x)dx \doteq \frac{h}{2} (f(x_a) + 2 [f(x_1) + f(x_2) + ... + f(x_{m-1})] + f(b)) \]

Pro praktické výpočty integrálů je vhodné zapisovat si jednotlivé funkční hodnoty do tabulky. Vlastní sčítání bude potom mnohem přehlednější a rychlejší.