Za použití obdélníkové metody vypočítejte integrál \(\int _{-1} ^1 e^x dx\) pro dělení m=4 a m=8 a výsledky porovnejte.
Řešení:
Pro \(m=4\) bude šířka podintervalu \(h=0.5\). Dostáváme tedy uzlové body: \(x_0 = -1, x_1 = -0.5, x_2 = 0, x_3 = 0.5, x_4 = 1\). Pro výpočet integrálu potřebujeme vypočítat funkční hodnoty v bodech \(x = -0.75, -0.25, 0.25, 0.75\). Hledaný určitý integrál má hodnotu:
\[ \int _{-1} ^1 \doteq 0.5 \cdot [e^{- 0.75} + e^{-0.25} + e^{0.25} + e^{0.75}] = \]
\[= 0.5 \cdot [0.472367 + 0.778801 + 1.284025 + 2.117000] = 0.5 \cdot 4.652193 = 2.326097\]
Pro \(m=8\) bude šířka podintervalu \(h=0.25\) a uzlové body budou: \(x_0 = -1.00, x_1 = -0.75, x_2 = -0.50, x_3 = -0.25, x_4 = 0, x_5 = 0.25, x_6 = 0.50, x_7 = 0.75, x_8 = 1.0\). Pro výpočet integrálu budeme potřebovat funkční hodnoty v bodech: \(x = -0.875, -0.625, -0.375, -0.125, 0.125, 0.375, 0.625, 0.875\). Integrál má tedy hodnotu:
\[ \int _{-1} ^1 \doteq 0.25 \cdot [e^{-0.875} + e^{-0.625} +e^{-0.375} + e^{-0.125} + e^{0.125} + e^{0.375} + e^{0.625} + e^{0.875}] = \]
\[= 0.25 \cdot [0.416862 + 0.535261 + 0.687289 + 0.882497 + 1.133148 + 1.454991 + 1.868246 + 2.398875] = 0.25 \cdot 9.377169 = 2.344292 \]
Vidíme, že oba výpočty se liší už na místě setin. Analyticky vypočítaný určitý integrál má hodnotu \(e^1 - e^{-1} \doteq 2.3504024\).
Za použití lichoběžníkové metody vypočítejte integrál \(\int _{-1} ^1 e^x dx\) pro dělení m=4 a m=8 a výsledky porovnejte.
Řešení:
Pro \(m=4\) bude šířka podintervalu \(h=0.5\). Dostáváme tedy uzlové body: \(x_0 = -1, x_1 = -0.5, x_2 = 0, x_3 = 0.5, x_4 = 1\). Pro výpočet integrálu potřebujeme vypočítat funkční hodnoty v těchto bodech. Hledaný určitý integrál má hodnotu:
\[ \int _{-1} ^1 \doteq 0.5 \cdot \frac{1}{2}[ e^{-1} + 2 e^{-0.5} + 2 e^0 + 2 e^{0.5} + e^{1}] = \]
\[= 0.5 \cdot \frac{1}{2}[0.367879 + 2 \cdot 0.606531 + 2 \cdot 1 + 2 \cdot 1.648721 + 2.718282] = \]
\[ = 0.25 \cdot 9.596665 = 2.399166 \]
Pro \(m=8\) bude šířka podintervalu \(h=0.25\) a uzlové body budou: \(x_0 = -1.00, x_1 = -0.75, x_2 = -0.50, x_3 = -0.25, x_4 = 0, x_5 = 0.25, x_6 = 0.50, x_7 = 0.75, x_8 = 1.0\). Pro výpočet integrálu budeme potřebovat funkční hodnoty v těchto bodech. Integrál má tedy hodnotu:
\[ \int _{-1} ^1 \doteq 0.25 \cdot \frac{1}{2}[e^{-1} + 2\cdot(e^{-0.75} + e^{-0.5} + e^{-0.25} + e^{0} + e^{0.25} + e^{0.5} + e^{0.75}) + e^1] = \]
\[ = 0.125 . [0.367879 +2 (0.472367 + 0.606531 + 0.778801 + 1 + 1.284025 + 1.648721 + 2.117000) + 2.718282 ] = \]
\[ = 0.125 \cdot 18.901051 \doteq 2.362631 \]
Vidíme, že oba výpočty se liší už na místě setin. Analyticky vypočítaný určitý integrál má hodnotu \(e^1 - e^{-1} \doteq 2.3504024\).