1.1.1.2 Operace s vektory
V Úvodu do matematiky jste se seznámili se dvěma operacemi s vektory - sčítání vektorů a násobení vektoru číslem. Zopakujme si, jak jsou tyto operace definovány.
Pro \(\vec{u}, \vec{v} \in \mathbb{R}^n, \vec{u} = (u_1,u_2, \dots, u_n), \vec{v} = (v_1,v_2, \dots, v_n)\) nazveme součtem vektorů \(\vec u\) a \(\vec v\) vektor
\( \vec{u}+\vec{v} = (u_1+v_1,u_2+v_2,\dots,u_n+v_n) \) (4).
Pro \(k \in \mathbb{R}, \vec{u} \in \mathbb{R}^n, \vec{u} = (u_1,u_2, \dots, u_n)\) nazveme součinem čísla \(k\) s vektorem \(\vec u\) vektor
\( k\cdot \vec{u} = (k\cdot u_1,k\cdot u_2, \dots, k\cdot u_n) \) (5).
Vektory tedy sčítáme (resp. odečítáme) "po složkách" (je tedy logickou podmínkou, že sčítané vektory musí mít stejný počet souřadnic, stejný rozměr). Protože v jednotlivých složkách pracujeme se sčítáním reálných čísel, přenáší se komutativita a asociativita sčítání reálných čísel na sčítání vektorů. Násobení vektoru číslem provádíme rovněž "po složkách" (každou složku vektoru vynásobíme daným číslem \(k\)).
Geometrický význam operací je patrný z náledujícího obrázku. Součet vektorů tvoří uhlopříčku rovnoběžníku vzniklého z těchto vektorů naznačeným způsobem. Součin čísla s vektorem je vektor, který je delší (pro \(|k| > 1\)) než původní vektor \(\vec{u}\), nebo stejně dlouhý (pro \(|k| =1\)), či kratší (pro \(|k| \in (0, 1)\)) . Je-li \(k < 0\), má vzniklý vektor opačný směr než vektor původní.
![[figure]](images/operace_s_vektory.png)