Kapitola 2
Limita a spojitost funkce

Pojem limity funkce patří k základním pojmům diferenciálního počtu. Je to lokální vlastnost funkce, popisující chování funkce v ryzím okolí bodu, v němž limitu určujeme. (Ryzím okolím bodu rozumíme okolí kromě tohoto bodu.) Skutečnost, že jde o ryzí, okolí znamená, že limita nezávisí na funkční hodnotě funkce v tomto bodě – funkční hodnota se může lišit od limity v tomto bodě nebo funkce nemusí být v daném bodě vůbec definována.

Rovněž pojem spojitosti funkce více proměnných lze podobně jako pro funkce jedné proměnné definovat pomocí limity funkce, proto zde najdeme řadu tvrzení podobných těm, se kterými jsme se již setkali v diferenciálním počtu funkcí jedné proměnné.

K definici limity, spojitosti a všech dalších pojmů diferenciálního počtu je třeba na ⁿ zavést metriku. Proto připomeňme několik základních pojmů z teorie metrických prostorů.

2.1 Metrické vlastnosti ⁿ

Připomeňme, že -okolí vlastního bodu a lze zapsat jako interval x − a < , > 0. Okolí (a) bodu a ⁿ je definováno pomocí metriky v ⁿ jako množina

Podle výběru metriky dostáváme různé typy okolí. Např. v ² dostaneme kruhové okolí, zvolíme-li euklidovskou metriku

Z důvodu formální jednoduchosti zvolme v této kapitole maximální metriku, ve které je okolí bodu a = [a₁,…,a_n] ⁿ kartézským součinem okolí jednotlivých souřadnic a₁,…,a_n, tj.

{

Okolí nevlastních bodů v ² jsou definována v souladu s maximální metrikou takto: Okolím nevlastního bodu [,] rozumíme libovolnou množinu typu (a,) (b,), a,b . Analogicky definujeme okolí nevlastního bodu [−,], [,−], [−,−], i okolí bodů typu [a,],[,a]. Okolí nevlastních bodů v prostorech vyšších dimenzí jsou definována analogicky. Množinu ⁿ spolu s nevlastními body budeme označovat (^∗)ⁿ.

V definici limity vystupují funkční hodnoty funkce v ryzím (libovolně malém) okolí bodu, v němž limitu definujeme. Z tohoto důvodu lze limitu funkce vyšetřovat jen v hromadných bodech definičního oboru. Proto, aniž bychom tento fakt stále zdůrazňovali, budeme ve všech kapitolách, kde se vyskytuje limita funkce v daném bodě, předpokládat, že tento bod je hromadným bodem množiny (f) (připomeň me, že bod x (f) je hromadným bodem množiny (f), jestliže každé jeho ryzí okolí obsahuje alespoň jeden bod této množiny).

2.2 Limita funkce

Definice 2.1. Řekneme, že funkce f : n (n ≥ 1) má v bodě a (∗)n limitu L, L ∗, jestliže ke každému okolí (L) bodu L existuje ryzí okolí (a) bodu a takové, že pro každý bod x (a) (f) platí f(x) (L). Píšeme

Limita se nazývá vlastní, jestliže L , v opačném případě (L = ) se nazývá nevlastní limita. Bod a (ⁿ)^∗ se nazývá limitní bod.

Uvedená definice limity je univerzální definicí pro funkci jedné či více proměnných, pro vlastní či nevlastní limitu a pro vlastní i nevlastní limitní body. Specifikací okolí pro vlastní limitní bod i limitu a ⁿ, L dostáváme tzv.  − definici vlastní limity ve vlastním bodě. Tuto definici zde zformulujeme pro funkci dvou proměnných.

Definice 2.2. Řekneme, že funkce f : 2 má v bodě [x0,y0] 2 limitu L , jestliže ke každému > 0 existuje > 0 takové, že pro každý bod [x,y] (f) splňující x−x0 < , y−y0 < , [x,y]≠[x0,y0] platí f(x,y) − L < . Píšeme

Zásadní rozdíl mezi limitou funkce jedné proměnné a limitou funkce dvou a více proměnných spočívá v „dimenzi“ okolí limitního bodu – u funkce jedné proměnné se k tomuto bodu můžeme blížit jen po přímce, tj. ze dvou stran (což znamená, že funkce má limitu v bodě, má-li obě jednostranné limity a tyto se sobě rovnají), zatímco u funkce více proměnných je těchto možností nekonečně mnoho; můžeme se blížit k danému bodu po přímkách, po parabolách či obecných množinách. Existence limity v daném bodě znamená, že nezáleží na cestě, po které se k danému bodu blížíme. Naopak dostaneme-li různé hodnoty limity pro různé cesty, znamená to, že limita v daném bodě nemůže existovat.

Příklad 2.1. i) Pomocí konkrétní specifikace okolí limitního bodu a limity definujte

Řešení. Vzhledem k tomu, že okolí bodu je tvaru (A,) a ryzí -okolí bodu [1,0] je {(1 − ,1 + ) (−,)}{[1,0]}, dostáváme tuto specifikaci obecné Definice 2.1: Limita lim_(x,y)(1,0)f(x,y) = , jestliže ke každému A existuje > 0 takové, že pro všechna [x,y] (f) splňující x − 1 < , y < , [x,y]≠[1,0] platí f(x,y) > A.

ii) Dokažte, že funkce f(x,y) = má v bodě [0,0] nevlastní limitu .

Řešení. Nechť A je libovolné. Položme = . Pro x < , y < platí x² + y² < 2² = . Odtud pro [x,y]≠[0,0] platí > A > A. Tedy k A libovolnému jsme našli > 0 takové, že pro [x,y]≠[0,0] splňující x < , y < platí > A, tj. podle definice limity lim_(x,y)(0,0) = . Graf funkce z = je znázorněn na vedlejším obrázku.

 

Podobně jako u funkce jedné proměnné platí následující věty o limitách funkcí. Protože definice limity funkce více proměnných pomocí okolí bodu je stejná jako pro funkci jedné proměnné, jsou i důkazy těchto tvrzení stejné jako pro funkce jedné proměnné. Čtenáři doporučujeme provést si je jako cvičení.

Věta 2.2. Nechť lim_(x,y)(x0,y₀)f(x,y) = 0 a funkce g je ohraničená v nějakém ryzím okolí bodu [x₀,y₀] (tj. existuje konstanta K ≥ 0 taková, že g(x,y)≤ K v tomto ryzím okolí). Pak

 

Věta 2.3. Nechť h(x,y) ≤ f(x,y) ≤ g(x,y) v nějakém ryzím okolí bodu [x₀,y₀] a platí

Pak

 

Věta 2.4. Nechť

a L₁, L₂ . Pak pro každé c,c₁,c₂ platí Je-li L₂≠0, pak

 

Příklad 2.2. Vypočtěte limity následujících funkcí:

i) f(x,y) = v bodě [1,0].

Řešení. Pokud můžeme souřadnice limitního bodu do příslušného výrazu dosadit (tj. po dosazení neobdržíme neurčitý výraz), je hodnota limity dané funkce rovna funkční hodnotě v tomto bodě. Platí tedy

ii) f(x,y) = v bodě [0,0].

Řešení. Protože bychom dosazením souřadnic limitního bodu získali neurčitý výraz typu , najdeme hodnotu limity obratem typickým i pro funkce jedné proměnné. Čitatele i jmenovatele zlomku vynásobíme výrazem + 1. Po této úpravě dostáváme

iii) f(x,y) = (x + y)sin sin v bodě [0,0].

Řešení. Protože lim_(x,y)(0,0)(x + y) = 0 a sin sin≤ 1 pro každé [0,0]≠[x,y] ², je podle Věty 2.2 lim_(x,y)(0,0)(x + y)sin sin = 0.

iv) f(x,y) = v bodě (1,).

Řešení. Nejprve ukážeme, že lim_(x,y)(1,) = 0. Nechť > 0 je libovolné. Musíme najít > 0 a A taková, že pro x (1 −,1 + ) a y > A platí < . Nechť > 0 je libovolné a položme A = + − 1. Pak pro x (1 − ,1 + ), y > A platí x + y > 1 − + − 1 + = , odtud < . Protože funkce cosy je ohraničená, platí lim_(x,y)(1,) = 0.

v) f(x,y) = xy ln(x² + y²) v bodě [0,0].

Řešení. Z diferenciálního počtu funkcí jedné proměnné víme, že

(to lze snadno spočíst pomocí l’Hospitalova pravidla). Protože platí nerovnost xy≤ (která je ekvivalentní nerovnosti (x y)² ≥ 0), platí

(2.1)

Položme t = x² + y². Je-li (x,y) (0,0), je t 0+, a tedy

Nyní z nerovnosti (2.1 ) a Věty 2.1 plyne

vi) f(x,y,z) = v bodě [1,1,1].

Řešení. Příklad vyřešíme metodou substituce. Položme t = x − y + z − 1. Pro (x,y,z) (1,1,1) je t 0. Protože lim_t0 = 1, k libovolnému > 0 existuje ₁ > 0 takové, že pro 0 < t < ₁ je < . Položme = . Pak pro [x,y,z] ³ splňující x− 1 < , y − 1 < , z − 1 < , x − y + z − 1≠0 je 0 < x − y + z − 1 < ₁, a tedy

Řekli jsme, že existence limity v daném bodě znamená, že nezáleží na cestě, po které se k danému bodu blížíme. Naopak dostaneme-li různé hodnoty limity pro různé cesty, znamená to, že limita v daném bodě nemůže existovat. Tohoto faktu využíváme při důkazu neexistence limity funkce dvou proměnných ve vlastním bodě [x₀,y₀] zavedením polárních souřadnic r, definovaných vztahy

Jestliže hodnota limity funkce závisí na úhlu , znamená to, že závisí na cestě, po které se blížíme k danému bodu, a proto funkce nemá v tomto bodě limitu.

Příklad 2.3. Rozhodněte, zda existuje limita

Řešení. Zavedením polárních souřadnic dostáváme

Protože výsledek závisí na , tj. na cestě, po které se blížíme k bodu [0,0], uvedená limita neexistuje. Graf této funkce viz obrázky 11.4 a 11.5 .

Poznámka 2.2. Zavedením polárních souřadnic při výpočtu limity vyšetřujeme chování funkce f v okolí limitního bodu [x₀,y₀] na přímkách se směrovým vektorem (cos,sin). Pokud limita vyjde nezávisle na úhlu , je to pouze nutná podmínka pro existenci limity v bodě [x₀,y₀], protože pro jiný způsob „blížení“, např. po parabolách, můžeme obdržet zcela odlišný výsledek. Jako příklad uvažujme funkci f : ² definovanou takto:

Po transformaci do polárních souřadnic dostáváme přesto však limita funkce v bodě [0,0] neexistuje. Vskutku, položíme-li y = kx², tj. k limitnímu bodu [0,0] se blížíme po parabolách, dostáváme což je výsledek závisející na konstantě k, viz obrázek 11.6 .

 

Následující věta udává podmínku, za které je nezávislost limity na po přechodu k polárním souřadnicím i postačující pro existenci limity.

Věta 2.6. Funkce f má v bodě [x₀,y₀] limitu rovnu L, jestliže existuje nezáporná funkce g : [0,) [0,) splňující lim_r0+g(r) = 0 taková, že

pro každé [0,2p] a r > 0 dostatečně malá.

Speciálně, platí-li po transformaci do polárních souřadnic

kde lim_r0+h(r) = 0 a funkce g() je ohraničená pro [0,2p), pak

 

Důkaz. Protože lim_r0+g(r) = 0, ke každému > 0 existuje > 0 tak, že pro 0 < r < je g(r) < , tj.

To však znamená, že pro [x,y] z ryzího kruhového -okolí bodu [x₀,y₀] je f(x,y) − L < , což je právě definice vztahu lim_(x,y)(x0,y₀)f(x,y) = L. □

 

Příklad 2.4. Rozhodněte, zda existují limity následujících funkcí, a v případě, že ano, vypočítejte je:

i) f(x,y) = v bodě [0,0].

Řešení. Využijeme transformace do polárních souřadnic a tvrzení Věty 2.6 . Položme x = r cos, y = r sin. Je-li (x,y) (0,0), je r 0+, a tedy

neboť funkce g() = sin³ + cos³ je ohraničená.

ii) f(x,y) = v bodě [0,1].

Řešení. Postupujeme podobně jako v předcházejícím příkladu. Platí

čímž je splněna nutná podmínka pro existenci dané limity. Dále platí takže podle Věty 2.6 je splněna také postačující podmínka a hodnota limity je rovna 1.

 

Poznámka 2.3. Podobně jako transformaci do polárních souřadnic při výpočtu limity funkce dvou proměnných používáme při výpočtu limity funkce tří proměnných transformaci do sférických souřadnic

kde r udává vzdálenost bodů [x₀,y₀,z₀] a [x,y,z], je úhel, který svírá průvodič (tj. spojnice těchto bodů) s kladným směrem osy z, a je úhel, který svírá průmět průvodiče do podstavné roviny _xy s kladným směrem osy x. Zejména jestliže po zavedení sférických souřadnic vyjde výraz závisející na nebo , limita neexistuje (toto odpovídá skutečnosti, že při „blížení“ se po různých přímkách k limitnímu bodu dostaneme různé hodnoty).

 

V některých speciálních případech je k vyšetřování existence limity vhodná následující věta, která se někdy v literatuře bere za definici limity (tzv. Heineho² definice). Důkaz této věty neuvádíme, neboť je v podstatě stejný jako pro analogické tvrzení týkající se funkce jedné proměnné, viz [N₁], strana 189.

2.3 Spojitost funkce

Definice 2.3. Řekneme, že funkce f je spojitá v bodě [x0,y0], jestliže má v tomto bodě vlastní limitu a platí

Pro funkci n proměnných dostáváme zcela stejnou definici spojitosti:

Nechť f je funkce n proměnných, n ≥ 2. Řekneme, že funkce f je spojitá v bodě x^∗ = [x₁^∗,…,x_n^∗], jestliže má v tomto bodě vlastní limitu a platí

Porovnejme tuto definici s definicí spojitosti zobrazení mezi metrickými prostory. Zobrazení f z prostoru (P,) do prostoru (Q,) je spojité v bodě x^∗ P, jestliže ke každému okolí bodu f(x^∗) Q existuje okolí bodu x^∗ takové, že pro každé x^∗ je f(x^∗) . Je-li (P,) prostor ⁿ s některou z výše uvedených ekvivalentních metrik ₁,₂, (viz odstavec 2.1.) a (Q,) je ¹ s metrikou (x,y) = x − y, pak je definice spojitého zobrazení stejná s definicí spojité funkce n proměnných v bodě x^∗.

Vzhledem k tomu, že spojitost funkce dvou a více proměnných se definuje pomocí pojmu limity funkce stejně jako pro funkci jedné proměnné, obdobně platí věta, že součet, součin a podíl spojitých funkcí je spojitá funkce, a dále platí věta o spojitosti složené funkce.

Příkladem funkcí spojitých v celé rovině jsou např. polynomy ve dvou proměnných, funkce sinu,cosu,e^u, kde u je polynom ve dvou proměnných.

Příklad 2.5. Určete body, v nichž nejsou následující funkce spojité

Řešení. a) Funkce f₁(x,y) = 2x−5y,f₂(x,y) = x²+y²−1 jsou polynomy ve dvou proměnných a ty jsou spojité v celé rovině. Funkce f není spojitá v bodech, ve kterých není definována, tj. kde x² + y² = 1. Body, v nichž funkce není spojitá, tvoří kružnici se středem v počátku a s poloměrem 1.

b) Funkce f₁(x,y) = x²y + xy²,f₂(x,y) = x − y a sinu,cosu jsou spojité v celé rovině. Podle Věty 2.9 o podílu není funkce f spojitá v bodech, kde

 

Příklad 2.6. Zjistěte, zda funkce f(x,y) definovaná následujícím způsobem je spojitá v bodě [0,0]:

Řešení. Nejprve ověřme, zda existuje lim_(x,y)(0,0)f(x,y). Zvolíme-li y = kx, snadno vidíme, že výsledná hodnota záleží na k, neboli že záleží na přímce, po které se k počátku blížíme. Proto uvedená limita neexistuje a daná funkce nemůže být v počátku spojitá.

 

2.4 Věty o spojitých funkcích

Stejně jako pro funkci jedné proměnné platí pro funkci n proměnných Weierstrassova³ a Bolzanova⁴ věta. Uvedeme obě věty pro funkci dvou proměnných.

Připomeňme, že Weierstrassova věta pro funkce jedné proměnné se týká funkcí spojitých na uzavřeném a ohraničeném intervalu, přičemž spojitost na uzavřeném intervalu znamená spojitost zleva (zprava) v pravém (levém) krajním bodě a normální spojitost ve vnitřních bodech. Pro funkci dvou proměnných definujeme spojitost na množině takto:

Definice 2.4. Řekneme, že funkce f je spojitá na množině M 2, jestliže pro každý bod [x0,y0] M platí

Limitní vztah chápeme takto: Ke každému > 0 existuje > 0 takové, že pro každé [x,y] ([x₀,y₀]) M platí f(x,y) − f(x₀,y₀) < .

Důkaz. Uvedená věta je důsledkem obecné věty z metrických prostorů: Je-li f spojité zobrazení mezi metrickými prostory, pak obrazem kompaktní množiny je kompaktní množina. V Euklidovských prostorech je kompaktní množinou každá ohraničená uzavřená množina. Odtud okamžitě plyne ohraničenost množiny f(M). Protože každá neprázdná shora ohraničená množina má supremum, existuje

Zbývá dokázat, že existuje bod [x₀,y₀] M takový, že f(x₀,y₀) = K. Podle definice suprema existuje pro libovolné n bod [x_n,y_n] M tak, že f(x_n,y_n) > K −. Posloupnost {[x_n,y_n]} je ohraničená, proto existuje vybraná podposloupnost {[x_nk,y_nk]} konvergující k bodu [x₀,y₀]. Vzhledem k uzavřenosti množiny M je [x₀,y₀] M a ze spojitosti funkce f plyne, že {f(x_nk,y_nk)} f(x₀,y₀). Poněvadž f(x_nk,y_nk) > K − pro všechna k, je lim_kf(x_nk,y_nk) = f(x₀,y₀) ≥ K. Z definice suprema plyne f(x₀,y₀) ≤ K, a proto f(x₀,y₀) = K.

Podobně se dokáže tvrzení o nejmenší hodnotě funkce f. □

 

V následující větě je třeba předpokládat, že množina M je souvislá. Připomeňme z teorie metrických prostorů, že otevřená množina M ² se nazývá souvislá, jestliže pro každé dva body X,Y M existuje konečná posloupnost bodu X₁,…,X_n M, X₁ = X,X_n = Y taková, že všechny úsečky X_iX_i+1 jsou podmnožinami M.

Důkaz. Položme g(x,y) = f(x,y) −c. Ze souvislosti množiny M plyne existence konečné posloupnosti bodů X₁,…,X_n M, X₁ = X,X_n = Y takové, že všechny úsečky X_iX_i+1 jsou podmnožinami M. Uvažujeme-li hodnoty g(X_i), pak buď existuje index i takový, že g(X_i) = 0, nebo existuje j takové, že g(X_j) < 0 (> 0), g(X_j+1) > 0 (< 0). Označíme-li X_j = [x₁,y₁], X_j+1 = [x₂,y₂], jsou parametrické rovnice úsečky X_jX_j+1

Položme G(t) = f(x₁ + (x₂ − x₁)t,y₁ + (y₂ − y₁)t), t [0,1]. Pak G(0) = g(X_j) < 0 (> 0), G(1) = g(X_j+1) > 0 (< 0) a G je spojitá funkce na uzavřeném intervalu. Podle Bolzanovy věty pro funkci jedné proměnné existuje t₀ (0,1) tak, že G(t₀) = 0. Zvolíme-li C = [x₁ + (x₂ − x₁)t₀,y₁ + (y₂ − y₁)t₀], dostaneme g(C) = 0, tj. f(C) = c. □

 

Cvičení

2.1.  Pomocí konkrétní specifikace okolí limitního bodu a limity definujte:

a) lim(x,y)(−1,2)f(x,y) =

b) lim(x,y)(,1)f(x,y) = −

 

 

2.2.  Vypočtěte limity následujících funkcí:

a) lim(x,y)(1,1)

d) lim(x,y)(−4,−1)

 

b) lim(x,y)(e2,1)

e) lim(x,y)(0,0)xy2 cos

 

c) lim(x,y)(1,0)

 

 

2.3.  Vypočtěte limity následujících funkcí:

a) lim(x,y)(0,0)

e) lim(x,y)(,)

 

b) lim(x,y)(0,0)

f) lim(x,y)(0,2)

 

c) lim(x,y)(0,0)

g) lim(x,y)(,)

 

d) lim(x,y)(0,0)(x2 + y2)x2y2

h) lim(x,y)(0,2)

 

 

2.4.  Vypočtěte limity následujících funkcí:

a) lim(x,y)(,)(x2 + y2)e−(x+y)

d) lim(x,y)(,)x2

 

b) lim(x,y)(,1)

e) lim(x,y)(0,0)

 

c) lim(x,y)(0,0)

f) lim(x,y)(0,0)(1 + x2y2)−

 

 

2.6.  Určete body nespojitosti funkcí:

a) z =

d) z = sin

 

b) z =

e) z =

 

c) z =

f) z = ln1 − x2 − y2

 

 

2.7.  Určete body nespojitosti funkcí:

a) z =

d) z = arccos

 

b) z =

e) z =

 

c) z =

f) z = ln

 

 

2.8.  Zjistěte, zda funkce f je spojitá v bodě [0,0]:

a) f(x,y) =

 

b) f(x,y) =