Kapitola 3
Parciální derivace

Derivace funkce je druhým základním pojmem diferenciálního počtu. Cílem této kapitoly je zavést tento pojem pro funkci více proměnných a ukázat souvislost s limitou a spojitostí funkce.

Připomeňme definici a geometrický význam derivace funkce jedné proměnné: derivace funkce f : v bodě x₀ je limita

(3.1)

Derivace funkce v bodě udává směrnici tečny ke křivce y = f(x) v bodě [x₀,f(x₀)]. Má-li funkce derivaci v bodě x₀, je v tomto bodě spojitá, a tudíž zde existuje také limita funkce.

Jak jsme již ukázali v předcházející kapitole, limita funkce dvou a více proměnných je komplikovanějším pojmem než v případě funkce jedné proměnné, neboť k bodu [x₀,y₀] (v případě dvou proměnných) se můžeme blížit mnoha způsoby. Zcela přirozené je začít zkoumat situaci, blížíme-li se k bodu [x₀,y₀] ve směru souřadných os x a y. Tím se dostáváme k pojmu parciální derivace funkce dvou proměnných. Při „parciálním“¹ derivování se vždy na jednu z proměnných x,y díváme jako na konstantu a podle druhé derivujeme. Blížíme-li se k bodu [x₀,y₀] ve směru předem daného vektoru u = (u₁,u₂), jde o směrovou derivaci, která je přirozeným zobecněním pojmu parciální derivace. Pro funkci n proměnných je situace analogická.

3.1 Parciální derivace 1. řádu

Definice 3.1. Nechť funkce f : 2 je definovaná v bodě [x0,y0] a nějakém jeho okolí. Položme (x) = f(x,y0). Má-li funkce derivaci v bodě x0, nazýváme tuto derivaci parciální derivací funkce f podle proměnné x v bodě [x0,y0] a označujeme fx(x0,y0), event. (x0,y0), fx(x0,y0). To znamená, že Podobně, má-li funkce (y) = f(x0,y) derivaci v bodě y0, nazýváme tuto derivaci parciální derivací funkce f podle proměnné y v bodě [x0,y0] a označujeme fy(x0,y0) ((x0,y0), fy(x0,y0)).

Poznámka 3.1. i) Má-li funkce z = f(x,y) parciální derivace ve všech bodech množiny N (f), jsou tyto derivace funkcemi proměnných x,y. Označujeme je f_x(x,y), f_y(x,y), popř. f(x,y), f(x,y), f_x(x,y), f_y(x,y), z_x, z_y, z_x, z_y.

ii) Zcela analogicky se definují parciální derivace funkce n proměnných. Je-li z = f(x₁,…,x_n) funkce n proměnných, x^∗ = [x₁^∗,…,x_n^∗] ⁿ, definujeme

iii) Z definice parciální derivace plyne, že při jejím výpočtu postupujeme tak, že všechny argumenty kromě toho, podle něhož derivujeme, považujeme za konstanty.

 

Protože parciální derivace f_xi funkce n proměnných je definována jako „obyčejná“ derivace podle proměnné x_i, platí pro počítání parciálních derivací obvyklá pravidla pro derivování. Uvedeme je přímo pro funkci n proměnných.

Věta 3.1. Nechť funkce f,g : ⁿ mají parciální derivaci podle proměnné x_i , i {1,…,n}, na otevřené množině M. Pak jejich součet, rozdíl, součin a podíl má na M parciální derivaci podle x_i a platí

	= f(x) g(x),
	[f(x)g(x)] = f(x)g(x) + g(x)f(x),
	= ,

přičemž tvrzení o podílu derivací platí za předpokladu, že g(x)≠0.

 

Příklad 3.1. i) Vypočtěte parciální derivace funkce dvou proměnných:

a) z = arctg

b) z = xy, x > 0.

 

Řešení. a) Při výpočtu parciální derivace podle proměnné x považujeme proměnnou y za konstantu, tj.

Analogicky b) Parciální derivaci podle x určíme jako derivaci mocninné funkce a derivaci podle y jako derivaci exponenciální funkce se základem x, tj.

ii) Vypočtěte parciální derivace 1. řádu funkce

Řešení. Při výpočtu parciální derivace podle proměnné x_i považujeme všechny ostatní proměnné za konstanty:

 

Geometrický význam parciálních derivací

Nechť je dána funkce f : ² a G_f je její graf. Nechť p je rovina daná rovnicí y =y₀. Za rozumných předpokladů (např. spojitost funkce f) je průsečíkem G_f p křivka  v rovině p a parciální derivace f_x(x₀,y₀) udává směrnici tečny t k této křivce v bodě Q₀ = [x₀,y₀,f(x₀,y₀)], viz vedlejší obrázek. (Připomeňme, že směrnice tečny t je tg .)

Analogicky, derivace f_y(x₀,y₀) udává směrnici tečny ke křivce v bodě Q₀, která vznikne průsečíkem plochy G_f s rovinou x = x₀.

Zatímco u funkcí jedné proměnné plyne z existence derivace v daném bodě její spojitost, u funkcí více proměnných toto tvrzení neplatí.

Má-li funkce f : ² parciální derivace v bodě [x₀,y₀], nemusí být v tomto bodě spojitá, jak ukazuje následující příklad.

Příklad 3.2. Funkce definovaná předpisem

má v bodě [0,0] obě parciální derivace (rovny nule) a není zde spojitá, neboť v tomto bodě neexistuje limita (grafem funkce je podstavná rovina, z níž je „vyzdvižen“ osový kříž).

 

Skutečnost, že z existence parciálních derivací neplyne spojitost, je zcela přirozená Parciální derivace totiž udávají informaci pouze o chování funkce ve směrech rovnoběžných se souřadnými osami, v jiných směrech se funkce může chovat „velmi divoce“.

3.2 Derivace vyšších řádů

Obdobně definujeme parciální derivace 2. řádu f_yx(x₀,y₀) a f_yy(x₀,y₀).

Parciální derivace n-tého řádu (n ≥ 3) definujeme jako parciální derivace derivací (n − 1)-tého řádu.

Příklad 3.3. i) Vypočtěte derivace 2. řádu obou funkcí z Příkladu 3.1 i).

Řešení. a) V případě funkce z = arctg jsme vypočetli z_x = −, z_y = . Odtud

Podobně

zxy =	= − = ,
zyx =	= = ,
zyy =	= −.

Pro funkci z = x^y z části b) je z_x = yx^y−1, z_y = x^y lnx. Odtud

zxx =	y(y − 1)xy−2, zxy = xy−1 + yxy−1 lnx,
zyx =	yxy−1 lnx + xy = xy−1 + yxy−1 lnx, zyy = xy ln2x.

ii) Ukažte, že pro funkci u = platí u_xx+u_yy+u_zz = 0.²

Řešení. Při výpočtu parciálních derivací využijeme skutečnost, že funkce u závisí na proměnných x,y,z symetricky. Platí

ux =	−,
uxx =	− =
=	− +

Ze symetrické závislosti na zbývajících proměnných pak dostáváme Odtud nyní snadno ověříme platnost rovnice u_xx + u_yy + u_zz = 0.

 

Všimněme si, že u obou funkcí v části i) předcházejícího příkladu vyšla rovnost z_xy = z_yx. Následující věta ukazuje, že tyto rovnosti nejsou náhodné.

Věta 3.2. (Schwarzova³) Nechť funkce f má spojité parciální derivace f_xy, f_yx v bodě [x₀,y₀]. Pak jsou tyto derivace záměnné, tj. platí

(3.2)

 

 

Důkaz. Ze spojitosti funkcí f_xy a f_yx v bodě [x₀,y₀] plyne existence -okolí = (x₀ − ,x₀ + ) (y₀ − ,y₀ + ) bodu [x₀,y₀], v němž jsou parciální derivace f_xy a f_xy definovány. Pro 0 < h < položme

(3.3)

a dále označme (y) = f(x₀ + h,y) −f(x₀,y), (x) = f(x,y₀ + h) −f(x,y₀). Funkci F pak můžeme psát ve tvaru

Podle Lagrangeovy⁴ věty existuje ₁ (0,1) takové, že

	(y0 + h) − (y0) = h(y0 + 1h) =
	= h.

Označme ještě g(x) = f_y(x,y₀ + ₁h). Pak g(x) = f_yx(x,y₀ + ₁h) a rozdíl v poslední hranaté závorce je (opět podle Lagrangeovy věty) g(x₀ + h) − g(x₀) = g(x₀ + ₂h) = f_yx(x₀ + ₂h,y₀ + ₁h), kde ₂ (0,1). Dosadíme-li odtud do (3.3 ), dostáváme Aplikujeme-li nyní úplně stejné úvahy na funkci , dostáváme Poslední dva vztahy a spojitost funkcí f_xy,f_yx v bodě [x₀,y₀] implikují platí tedy (3.2 ). □

 

Následující příklad ukazuje, že bez předpokladu spojitosti smíšených parciálních derivací rovnost (3.2) obecně neplatí (viz příklad 12.4 ).

Příklad 3.4. Nechť funkce f je dána předpisem

Pak pro y≠0 je f_x(0,y) = 0 a pro y = 0 je podle definice parciální derivace Pro x≠0 a h v absolutní hodnotě dostatečně malá je f( x,h) = xh, tedy a konečně Využitím těchto výsledků plyne z definice parciálních derivací 2. řádu

	fxy(0,0) = limh0 = limh00 = 0,
	fyx(0,0) = limh0 = limh0 = 1.

 

Matematickou indukcí můžeme tvrzení Schwarzovy věty rozšířit pro derivace vyšších řádů.

3.3 Směrové derivace

Parciá lní derivace funkce f v bodě x ⁿ jsou obyčejné derivace, které získáme zúžením definičního oboru funkce f na přímku jdoucí bodem x a rovnoběžnou s i-tou souřadnicovou osou. Zobecněním parciálních derivací jsou směrové derivace, které získáme zúžením definičního oboru funkce na přímku jdoucí bodem x a mající směr daného vektoru u ⁿ. To znamená, že vyšetřujeme funkci (t) = f(x + tu), která je již funkcí jedné proměnné, a pro ni je pojem derivace již dobře znám.

Poznamenejme, že ⁿ je standardní označení pro zaměření n-rozměrného euklidovského prostoru.

Definice 3.3. Nechť f je funkce n proměnných, x je vnitřní bod (f), u n. Položme (t) = f(x + tu). Má-li funkce derivaci v bodě 0, nazýváme ji směrovou derivací funkce f v bodě x (derivací f ve směru vektoru u) a označujeme fu(x). To znamená, že

Poznámka 3.2. i) Nechť (e₁,…,e_n) je standardní báze v ⁿ (vektor e_i má na i-tém místě jedničku a na ostatních místech nuly). Pak f_ei(x) = f_xi(x), tj. směrová derivace podle vektoru e_i je totožná s parciální derivací podle proměnné x_i .

ii) Jelikož je směrová derivace obyčejnou derivací funkce , platí pro počítání tato pravidla: Nechť existuje f_u,g_u v bodě x ⁿ. Pak:

a) pro všechna c existuje f_cu(x) a platí f_cu(x) = cf_u(x)

b) (f g)_u(x) = f_u(x) g_u(x)

c) (fg)_u(x) = f_u(x)g(x) + f(x)g_u(x)

d) Je-li g(x)≠0, pak

iii) Naopak neplatí aditivita směrových derivací vzhledem ke směrům. Jestliže existují f_u,f_v, nemusí existovat f_u+v, a pokud existuje f_u+v, může být f_u + f_v≠f_u+v, viz následující příklad, část ii).

iv) V Příkladu 3.2 na straně 91 jsme ukázali, že z existence parciálních derivací funkce f v bodě [x₀,y₀] neplyne spojitost funkce. V části iii) následujícího příkladu ukážeme, že ani existence směrové derivace v bodě [x₀,y₀] ve směru libovolného vektoru u ² není postačující pro spojitost. To je na první pohled překvapující skutečnost. Uvědomíme-li si však, že směrové derivace popisují chování funkce f, blížíme-li se k bodu [x₀,y₀] po přímkách, a definice limity (pomocí níž je definována spojitost v bodě [x₀,y₀]) zachycuje všechny způsoby „přiblížení“ (např. po parabolách), je toto zcela přirozené.

 

Příklad 3.5. i) Vypočtěte směrovou derivaci funkce f(x,y) = arctg (x²+ y²) v bodě [1,−1] ve směru vektoru u = (1,2).

Řešení. Přímým dosazením do definice a využitím l’Hospitalova pravidla dostáváme

ii) Ukažte, že pro funkci

a vektory u = (1,0), v = (0,1) existují f_u(0,0),f_v(0,0), f_u+v(0,0), avšak f_u+v(0,0)≠f_u(0,0) + f_v(0,0).

Řešení. Platí f_u = f_x, f_v = f_y. Protože f(t,0) = 0 = f(0,t), je f_u(0,0) = 0 = f_v(0,0). Pro derivaci ve směru vektoru u + v = (1,1) dostáváme z definice směrové derivace

Tedy 1 = f_u+v(0,0)≠f_u(0,0) + f_v(0,0) = 0.

iii) Ukažte, že funkce f definovaná předpisem

má v bodě [0,0] směrovou derivaci ve směru libovolného vektoru u ², a přesto není v tomto bodě spojitá.

Řešení. Je-li 0≠u = (u₁,u₂) ² libovolný, podle definice směrové derivace platí

Blížíme-li se k bodu [0,0] po parabolách y = kx², dostáváme To však znamená, že lim_(x,y)(0,0)f(x,y) neexistuje, tedy funkce f není v bodě [0,0] spojitá.

 

Definujeme-li směrové derivace 2. řádu vztahem

Věta 3.4. Nechť u,v ⁿ, funkce f : ⁿ má v bodě x^∗ spojité směrové derivace f_uv a f_vu. Pak jsou si tyto derivace rovny, tj.

 

Poznámka 3.3. Předpokládejme, že funkce f má v bodě x^∗ spojité parciální derivace 2. řádu, a označme f(x^∗) = (f_xix_j), i,j = 1,…,n matici parciálních derivací druhého řádu funkce f v bodě x^∗ (tato matice se někdy nazývá Hessova matice funkce f v bodě x^∗), pak pro libovolná u,v ⁿ existuje smíšená směrová derivace f_uv(x^∗) a platí

kde , je obvyklý skalární součin v ⁿ.

 

3.4 Lagrangeova věta o střední hodnotě

Jedním z důležitých tvrzení diferenciálního počtu funkcí jedné proměnné je Lagrangeova věta o střední hodnotě. Ta říká, že pro diferencovatelnou funkci f : [a,b] lze rozdíl f(b) − f(a) vyjádřit ve tvaru

Věta 3.5. Předpokládejme, že funkce f má parciální derivace f_x a f_y ve všech bodech nějakého obdélníku M ², a nechť [x₀,y₀],[x₁,y₁] M. Pak existují čísla , ležící mezi x₀,x₁, resp. y₀,y₁ taková, že

 

Důkaz. Platí

V poslední úpravě jsme aplikovali Lagrangeovu větu pro funkce jedné proměnné na funkce (x) = f(x,y₁) a (y) = f(x₀,y). □

 

Poznámka 3.4. Body [,y₁],[x₀,] leží na sousedních stranách obdélníku určeného body [x₀,y₀] a [x₁,y₁] se stranami rovnoběžnými se souřadnými osami (načrtněte si obrázek). Upravíme-li si rozdíl f(x₁,y₁) − f(x₀,y₀) poněkud odlišně, a to

dostáváme nepatrně odlišné vyjádření V tomto vyjádření body [₁,y₀] a [x₁,₁] leží na zbývajících dvou stranách obdélníku.

 

Projdeme-li důkaz Věty 3.5 , snadno zformulujeme analogickou větu pro funkce n proměnných. Jsou-li x^∗ = [x₁^∗,…,x_n^∗], x = [x₁,…,x_n] ⁿ, existují body z₁,…,z_n ⁿ ležící na hranách n-rozměrného kvádru určeného body x^∗ a x takové, že

Aplikujeme-li Lagrangeovu větu o střední hodnotě pro funkci jedné proměnné na funkci (t) = f(x + tu), dostáváme větu o přírůstku v n ásledujícím tvaru.

Věta 3.6. Nechť f : ⁿ má derivaci ve směru vektoru u ⁿ ve všech bodech úsečky {x+tu;t [0,1]}. Pak existuje takové číslo (0,1), že platí

 

Cvičení

3.1.  Vypočtěte parciální derivace 1. řádu funkcí:

a) z = x3 + 2x2y + 3xy2 + 4x − 5y + 100

h) z = arctg

 

b) z =

i) z =

 

c) z = xsin(x + 2y)

j) z = ln(x + )

 

d) z = sin cos

k) u = ex2(1−y−z)

 

e) u = x + y − z

l) z = arctg

 

f) z = e−

m) z = arcsin

 

g) z = ln()

n) u = ln

 

 

 

3.2.  Vypočtěte parciální derivace 1. řádu funkcí:

a) z = xxy

g) z = xy esin pxy

 

b) z = 2

h) u = x

 

c) z = ()

i) z = arctg (x − y)2

 

d) z = xy ln(x + y)

j) u = sin(x2 + y2 + z2)

 

e) z = (2x + y)2x+y

k) u = xyz

 

f) z = + arcsin

 

 

3.3.  Vypočtěte parciální derivace 1. řádu následujících funkcí v daných bodech:

a) z = y2 + y

v [2,5]

 

b) z = ln(x + )

v [1,2]

 

c) z =

v [0,0]

 

 

3.6.  Najděte parciální derivace 1. a 2. řádu funkcí:

a) z = x4 + y4 − 4x2y2

g) z = x(x+y)

 

b) z =

h) z = ln

 

c) z =

i) z = ln(x + y2)

 

d) z =

j) z = ln

 

e) z = xsin(x + y)

k) z = arcsin

 

f) z =

l) z = (1 + x2)y