3.1.1.2 Podrobný popis postupu

1. krok

   Musíme nalézt největší podmnožinu v  $ \mathbb{R} $ , pro kterou má zadaná funkce smysl. V praxi to znamená vyloučit body, ve kterých je jmenovatel zlomku rovný 0, nebo najít interval kladných čísel $ x $ pro funkci $ \ln $ a podobně. Všechny body pro které nemá zadaná funkce smysl si pečlivě zapíšeme. Dále je třeba určit průsečíky s osami grafu. Pro průsečík s osou $ y $ platí, že $ x=0 $ a pro průsečík s osou $ x $ musí být $ y=0 $ . Průsečíky s osou $ x $ také nazýváme nulovými body. Tyto nulové body nám společně s body nespojitosti rozdělí definiční obor funkce na intervaly, kde může funkce měnit svou funkční hodnotu z kladné na zápornou a obráceně. Nejjednodušší postup řešení je tedy načrtnout si číselnou osu, na ní si zvýraznit nulové body a body nespojitosti a v každém vzniklém intervalu si zvolit za $ x $ takové číslo, se kterým se nám bude snadno počítat funkční hodnota. Intervaly si označíme znaménkem $ + $ pro kladné a  znaménkem $ - $ pro záporné funkčí hodnoty. Je třeba prozkoumat všechny intervaly, protože ne vždy dochází ke střídání znamének funkčních hodnot v nulovém bodě. Příkladem může být funkce $ y=x^2 $ která má sice nulový bod pro $ x=0 $ , ale v obou intervalech definičního obory nabývá pouze kladných funkčních hodnot.

   

   Obr. 1: Graf funkce $ y=x^2 $

   Pro sudou funkci platí, že její graf je symetrický podle osy $ y $ . Z matematického pohledu to znamená, že pro každé $ x $ z  definičního oboru musí existovat v definičním oboru číslo opačné $ -x $ a funkční hodnoty obou čísel musí být shodné $ f(x) = f(-x) $ . Nalezneme li tedy v definičním oboru jeden bod nespojitosti různý od 0, nemůže být splněna podmínka existence bodu opačného a tedy funkce nemůže být sudá, a jak si ukážeme dále, ani lichá. Pro lichou funkci platí, že její graf je symetrický podle počátku soustavy souřadnic. Z matematického pohledu to znamená, že pro každé $ x $ z definičního oboru musí existovat číslo opačné $ -x $ a pro funkční hodnoty platí $ f(x) = (-1) . f(-x) $ . Pro periodické funkce platí, že u nich dochází k  pravidelnému opakování funkčních hodnot v tak zvaných periodách. Příkladem periodických funkcí jsou funkce goniometrické. Pro klid čtenáře můžeme sdělit, že periodických funkcí není mnoho.

2. krok

   V tomto kroku určíme extrémy funkce. Jak víme z definice derivace funkce, odpovídá derivace funkce v bodě $ x_0 $ směrnici tečny ke grafu funkce v daném bodě. Pro extrémy platí, že v nich je tečna ke grafu rovnoběžná s osou $ x $ . Derivace funkce v tomto bodě je rovna 0. Toto je podmínka nutná pro hledání extrému funkce, nikoli však dostačující. Například funkce $ x^3 $ má v  bodě $ x=0 $ derivaci rovnou 0, ale v tomto bodě nemá funkce ani minimum, ani maximum.

   

   Obr. 2: Graf funkce $ y=x^3 $

   Jak tedy budeme postupovat? Podobně jako v předchozím kroku, budeme ale pracovat s první derivací funkce. Nejdříve tedy funkci zderivujeme a nalezneme nulové body této nové funkce. Budeme tedy hovořit o podezřelých bodech, matematicky o  stacionárních bodech. Tyto body si vyneseme do číselné osy společně s body nespojitosti. Stejně jako v předchozím případě vybereme v každém vzniklém intervalu jednu hodnotu a zjistíme je-li funkční hodnota derivace funkce kladná, nebo záporná. V  případě kladné funkční hodnoty je funkce v daném intervalu rostoucí a interval si označíme znaménkem $ + $ , nebo šipkou $ \nearrow $ . Pro zápornou funkční hodnotu se jedná o funkci klesající. Uvedený interval si označíme znaménkem $ - $ , nebo pro lepší přehled šipkou $ \searrow $ . Extrém se nachází v případě střídání znamének funkčních hodnot v sousedních intervalech. Je-li funkce v levém intervalu rostoucí (klesající) a v pravém klesající (rostoucí), jedná se o lokální maximum (minimum).

3. krok

   Zde se zaměříme na konvexnost (graf funkce je v daném intervalu nad tečnou) a konkávnost funkce (graf funkce je v  daném intervalu pod tečnou) a na body přechodu v průběhu funkce mezi těmito dvěma stavy -inflexní body. Řešení tohoto problému bude podobné předchozímu bodu, jen použijeme druhé derivace funkce. Proč je tomu tak? Podíváme-li se na následující obrázek, zjistíme, že v případě inflexního bodu je tečna nejstrmější v  porovnaní s běžnými body. Směrnice tečny v daném bodě je derivací funkce v daném bodě a proto v inflexním bodě nebývá první derivace funkce svých extrémních hodnot. Budeme tedy hledat extrémy první derivace zadané funkce a ty se hledají za užití derivace. Budeme tedy potřebovat derivaci derivace funkce, tedy druhou derivaci zadané funkce.

   

   Obr. 3: Ukázka tečen v inflexním bodě (t) a tečen v intervalech konvexních(t2) a konkávních (t1) částí grafu funkce

   Konkrétní postup bude tedy následující. Nejdříve určíme druhou derivaci zadané funkce a nalezneme její nulové body. Tyto nulové body společně s body, ve kterých není funkce definována, vyneseme do číselné osy. Ve vzniklých intervalech si zvolíme body, pro které bude nejjednodušší spočítat funkční hodnotu druhé derivace funkce. Je-li tato hodnota kladná, jedná se o  funkci konvexní a graf dané funkce bude nad tečnou, takový interval si označíme znaménkem $ + $ , nebo ještě lépe znaménkem $ \smile $ . V případě záporné funkční hodnoty druhé derivace se jedná o funkci konkávní, u které bude graf funkce pod tečnou v  bodech daného intervalu. Takový interval si na číselné ose označíme znaménkem $ - $ , nebo lépe znaménkem $ \frown $ . Inflexní body jsou body, ve kterých je druhá derivace funkce rovna nule a  ve kterých přechází funkce z konvexní na konkávní a  obráceně.

4. krok

   Asymptoty. Nejdříve si objasníme co to jsou asymptoty. Nebudeme čtenáře strašit matematickou definicí, tu si můžete najít v libovolné knize o matematické analýze. Řekneme si, že asymptota je přímka, lépe řečeno tečna ke grafu funkce v  nekonečnu (ať už $ x = \pm \infty $ nebo $ y = \pm \infty $ . Je to tedy přímka, ke které se graf funkce maximálně přiblíží, ale nikdy se jí v reálném bodě $ [x,y] $ nedotkne. Ne všechny funkce mají asymptotu (např. funkce $ y=\sin x $ ji nemá). Budeme rozlišovat dva typy asymptot. První typ bude přímka rovnoběžná s  osou $ y $ (v některých učebnicích nazývaná \textit{vertikála}). Tato přímka nemá směrnici, nazveme ji tedy \textbf{asymptota bez směrnice}. Tato přímka je tečnou ke grafu funkce v bodech $ y= \pm \infty $ , osu $ x $ protíná v bodě $ x_0 $ . V bodě $ x_0 $ není zadaná funkce definována. Jak tedy zjistíme, má-li daná funkce v  bodě asymptotu bez směrnice? Základní podmínkou pro existenci asymptoty bez směrnice je, že funkce není pro některý bod definována, ale v okolí tohoto bodu definována je. Vyšetříme tedy chování funkce v pravém a levém okolí tohoto bodu nespojitosti. Budeme tedy řešit limitu zleva a zprava pro x jdoucí k bodu nespojitosti pro danou funkci. Pokud se limita zleva nebo zprava blíží nekonečnu, nebo mínus nekonečnu, pak má funkce v daném bodě asymptotu bez směrnice. Asymptotou be směrnice může být i samotná osa $ y $ , jak je znázorněno na obrázku pro funkci $ y=\dfrac{1}{x} $ .

   

   Obr. 4: Graf funkce $ y=\dfrac{1}{x} $

   Druhým typem asymptoty je asymptota se směrnicí. Je to tečna ke grafu funkce pro $ x= \pm \infty $ . Jak vyplývá z názvu jedná se o přímku, kterou můžeme zapsat ve směrnicovém tvaru jako $ y=k.x +q $ . Funkce se v  $ \pm \infty $ blíží k asymptotě. Matematicky to tedy znamená, že pro $ x $ v  $ \pm \infty $ je rozdíl mezi funkční hodnotou a bodem na asymptotě nulový, tedy

   $$ \lim _{x \rightarrow \pm \infty} (f(x) - (k.x) +q)) = 0. $$

   Jak tedy zjistíme, má-li funkce asymptotu se směrnicí? Vyjdeme z předchozího vzorce a úpravou zjistíme, že pro koeficienty $ k $ a  $ q $ platí následující vzorce:

   $$ k = \lim _{x \rightarrow \pm \infty} \dfrac{f(x)}{x} $$
   a 
   $$ q = \lim _{x \rightarrow \pm \infty} (f(x) - k.x). $$

   Podíváme-li se na nám již už známý graf funkce $ y =\dfrac{1}{x} $ zjistíme, že funkce má asymptotu bez směrnice $ x=0 $ (tedy osu $ y $ ) a asymptotu se směrnicí $ y= 0x +0 $ , tedy osu x.

5. krok

   V tomto kroku spojíme všechny nalezené vlastnosti funkce a  nakreslíme její graf. Nejdříve ale potřebujeme znát funkční hodnoty důležitých bodů definičního oboru funkce jako jsou lokální extrémy, inflexní body. Vypočtené funkční hodnoty si zapíšeme do přehledné tabulky. Nyní nám už nic nebrání v tom, abychom sestrojili graf funkce. Nakreslíme si souřadný systém, zaneseme zde průsečíky s osami, extrémy a inflexní body. Pokud má funkce asymptoty, zakreslíme je také do grafu. Nyní již můžeme zakreslit jednotlivé části grafu funkce podle vyšetřovaných intervalů.