Úvod do matematiky 7.1.2 Řešené příklady

7.1.2 Řešené příklady

1. Výpočet dvojného integrálu přes obdélníkovou oblast

Vypočtěte dvojný integrál funkce $ z = 5x^2 - 2y^3 $ přes množinu $ D = \langle 2;5 \rangle \times \langle 1;3 \rangle $ .

Řešení:

Nejdříve se podíváme na integrační oblast. Načrtneme si ji do souřadného systému. V našem případě je integrační oblastí obdélník znázorněný na následujícím obrázku:

[figure]
Obr. 1: Grafické znázornění integrační množiny $ D = \langle 2;5 \rangle \times \langle 1;3 \rangle $

Nyní jsme schopni určit integrační hranice a dvojný integrál převést na dvojnásobný. Proměnná $ x $ nabývá hodnot od 2 do 5, proměnná $ y $ od 1 do 3. Integrační meze budou tedy pro $ x $ od 2 do 5, pro $ y $ od 1 do 3. Matematické vyjádření bude tedy:

$$ \iint _D = (5x^2 - 2y^3) \mathrm{d}x \mathrm{d}y = \int _2 ^5 ( \int _1 ^3 (5x^2 - 2y^3)\mathrm{d}y)\mathrm{d}x $$

Nejprve vyřešíme vnitřní integrál dle proměnné $ y $ .

$$ \int _1 ^3 (5x^2 - 2y^3)\mathrm{d}y = \left[5x^2 y - \frac{1}{2}y^4\right]_1 ^3 = 15x^2 - \frac{1}{2} \cdot 81 - 5x^2 + \frac{1}{2} = 10x^2 - 40 $$

Následuje řešení vnějšího integrálu:

$$ \int _2 ^5 (10x^2 - 40)\mathrm{d}x = \left[\frac{30x^3}{3} - 40x\right] _2 ^5 = 10 \cdot \dfrac{5^3}{3} - 40 \cdot 5 - 10 \cdot \dfrac{2^3}{3} + 40 \cdot 2 = $$

$$ = \dfrac{1250}{3} -200 - \dfrac{80}{3} + 80 = \underline{\underline{270}} $$

Dvojný integrál má hodnotu 270.

2. Výpočet dvojného integrálu přes obdélníkovou oblast

Vypočítejte dvojný integrál funkce $ z = 2x\mathrm{e}^y $ přes množinu $ D = \langle 0;2 \rangle \times \langle 0; 1 \rangle $ .

Řešení:

Integrační množinou je opět obdélník s vrcholem v počátku soustavy souřadnic a délkami stran 2 a 1 délkové jednotky. Dvojný integrál tedy převedeme na dvojnásobný a vyřešíme.

$$ \iint _D 2x\mathrm{e}^y \mathrm{d}x\mathrm{d}y = \int _0 ^2 \left( \int _0 ^1 \left(2x\mathrm{e}^y\right)\mathrm{d}y\right)\mathrm{d}x $$

Vyřešíme vnitřní integrál:

$$ \int _0 ^1 (2x\mathrm{e}^y)\mathrm{d}y = \left[2x \mathrm{e}^y\right] _0 ^1 = 2x\mathrm{e}^1 - 2x\mathrm{e}^0 = 2x\mathrm{e} - 2x $$

Nyní vyřešíme vnější integrál:

$$ \int _0 ^2 (2x\mathrm{e} - 2x) \mathrm{d}x = \left[2\frac{x^2}{2} \mathrm{e} - 2 \frac{x^2}{2}\right]_0 ^2 = \left[x^2 \mathrm{e} - x^2\right]_0 ^2 = 4\mathrm{e} -4 -0 +0 = \underline{\underline{4(\mathrm{e} -1)}} $$

Hodnota integrálu je tedy $ 4(\mathrm{e}-1) $ .

Ukážeme si ještě jednu možnost převodu dvojného integrálu, kterou lze použít pouze pro čtvercovou nebo obdélníkovou oblast a  pro funkci, kterou lze rozdělit na součin dvou funkcí, jedné proměnné $ x $ a druhé proměnné $ y $ . Zadaná funkce splňuje obě podmínky. Pro ostatní případy musíme použít předchozí postup!!!

$$ \iint _D 2x\mathrm{e}^y \mathrm{d}x\mathrm{d}y = \left(\int _0 ^2 2x \mathrm{d}x\right)\cdot \left(\int _0 ^1 \mathrm{e}^y \mathrm{d}y\right) = [x^2] _0 ^2 \cdot [\mathrm{e}^y] _0 ^1 = 4(\mathrm{e} -1) $$

Jak je vidět, došli jsme ke stejnému výsledku s menším počtem výpočetních operací.

3. Výpočet dvojného integrálu na množině ohraničené spojitými křivkami

Vypočtěte dvojný inegrál: $ \iint _D (x-y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y $ , kde $ D $ je množina ohraničená křivkami $ y=x $ a  $ y=x^2 $ .

Řešení:

Nejdříve si nakreslíme křivky a určíme jejich průsečíky. Z  obrázku níže také poznáme hranice pro integraci:

[figure]
Obr. 2: Integrační množina ohraničená křivkami $ y=x $ a  $ y=x^2 $ .

Jak je vidět z obrázku, zvýrazněná plocha integrační množiny nabývá pro $ x $ hodnot od 0 do 1 a pro $ y $ od $ x^2 $ do $ x $ . Mezní hodnoty pro proměnnou $ x $ jsou průsečíky přímky $ y=x $ a paraboly $ y=x^2 $ . Musí zde tedy platit rovnost jejich funkčních hodnot, tedy $ x=x^2 $ , neboli $ x^2 -x =0 $ . Tato rovnice má dva kořeny $ x=0 $ a  $ x=1 $ . Podíváme-li se na obrázek a budeme sledovat hodnoty proměnné $ y $ v závislosti na proměnné $ x $ . Vidíme, že blíže ose $ x $ je parabola $ y=x^2 $ , bude to tedy dolní integrační mez a horní mezí bude tedy přímka $ y=x $ . Dvojný integrál tedy přepíšeme na dvojnásobný následovně:

$$ \iint _D (x-y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y = \int _0 ^1 \left( \int ^x _{x^2} (x -y) \mathrm{d}y\right)\mathrm{d}x = \int _0 ^1 \left[xy -\frac{y^2}{2}\right]^x _{x^2} \mathrm{d}x= \int _0 ^1 \left(x^2 - \frac{x^2}{2} - x^3 + \frac{x^4}{2}\right)\mathrm{d}x= $$

$$ = \left[\frac{x^3}{3} - \frac{1}{2} \frac{x^3}{3} -\frac{x^4}{4} + \frac{1}{2} \frac{x^5}{5}\right] _0 ^1 = \frac{1}{3} - \frac{1}{6} - \frac{1}{4} + \frac{1}{10} = \frac{20 - 10 -15 +6}{60} = \underline{\underline{\frac{1}{60}}} $$

4. Výpočet dvojného integrálu přes trojúhelníkovu oblast

Vypočtěte dvojný integrál $ \iint _D x^2 y \mathrm{d}x\mathrm{d}y $ , kde $ D $ je trojúhelník ohraničený přímkami: $ x=1 $ , $ y=1 $ a  $ y=3-x $ .

Řešení:

Nejdříve si zakreslíme přímky do souřadného systému a  vyznačíme oblast integrace. Určíme průsečíky a hraniční funkce - meze pro integraci.

[figure]
Obr. 3: Znázornění trojúhelníkové integrační oblasti ohraničené přímkami: $ x=1 $ , $ y=1 $ a  $ y=3-x $ .

Je vidět, že $ x $ nabývá hodnot od 1 do 2 a  $ y $ je funkcí od $ y=1 $ do $ y=3-x $ . Dvojný integrál tedy přepíšeme na dvojnásobný a  vyřešíme:

$$ \iint _D x^2y \mathrm{d}x\mathrm{d}y = \int _1 ^2 \left(\int _1 ^{3-x} x^2y \mathrm{d}y\right)\mathrm{d}x = \int _1 ^2 \frac{1}{2} \left[ x^2 y^2\right] _1 ^{3-x} \mathrm{d}x= \frac{1}{2} \int _1 ^2 \left(x^2(3-x)^2 - x^2\right) \mathrm{d}x = $$

$$ \frac{1}{2} \int _1 ^2 \left(9x^2 -6x^3 + x^4 - x^2\right)\mathrm{d}x =\frac{1}{2} \int _1 ^2 (8x^2 -6x^3 + x^4)\mathrm{d}x = \frac{1}{2}\left[\frac{8}{3}x^3 -\frac{6}{4}x^4 + \frac{x^5}{5}\right] _1 ^2 = $$

$$ \frac{1}{2}\left(\frac{64}{3} - 24 + \frac{32}{5} - \frac{8}{3}+\frac{3}{2} - \frac{1}{5}\right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{640 - 720 + 192 - 80 + 45 - 6}{30} = \frac{1}{2} \cdot \frac{71}{30}= \underline{\underline{\frac{71}{60}}} $$

5. Výpočet obsahu plochy dvojným integrálem

Vypočítejte obsah plochy ohraničené křivkami $ y=4-x $ a  $ y=\frac{x^2}{2} $ .

Řešení:

Nejdříve si nakreslíme jak daná plocha vypadá. A určíme hraniční body pro proměnnou $ x $ a hraniční funkce pro proměnnou $ y $ .

[figure]
Obr. 4: Znázornění integrační oblasti ohraničené křivkami $ y=4-x $ a  $ y=\dfrac{x^2}{2} $ .

Průsečíky funkcí mají $ x $ hodnotu -4 a 2. Snadno spočítáme porovnáním obou funkcí:

$$ 4-x = \frac{x^2}{2} $$
$$ 8 - 2x = x^2 $$
$$ x^2 +2x -8 = 0 $$
$$ (x+4)(x-2) = 0. $$

Nyní si zapíšeme dvojný integrál funkce $ f(xy)=1 $ .

$$ \iint _D 1 \mathrm{d}x\mathrm{d}y = \int _{-4} ^2 \left( \int _{x^2/2} ^{4-x} 1 \mathrm{d}y\right)\mathrm{d}x = \int _{-4} ^2 [y] _{x^2/2} ^{4-x} \mathrm{d}x = \int _{-4} ^2 \left(4-x - \frac{x^2}{2}\right)\mathrm{d}x = \left[4x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{6}\right] _{-4} ^2 $$

$$ = 8 -2 - \frac{8}{6} - \left(-16 - \frac{16}{2} - \left(\frac{-64}{6}\right)\right) = 8 -2 +16 +8 -12 = \underline{\underline{18}}. $$

Obsah plochy je tedy 18 plošných jednotek.

Pro kontrolu zkuste daný obsah spočítat ještě pomocí jednoduchého integrálu.

Technická realizace: Veronika Švandová
ve spolupráci se Servisním střediskem pro e-learning na MU
 
Tvorba tohoto webu je spolufinancována Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky.