Řešení:

Funkce $ f(x) = \dfrac{x^3 - 3x^2 - 1}{1-x^2} $ je v bodě $ x = 2 $ definována a je v tomto bodě spojitá. Proto stačí dosadit do funkčního předpisu a vypočítat limitu funkce:

Řešení:

Vidíme, že ani jedna část součtu není v bodě $ x=1 $ definována. Proto nelze užít přímočarého výpočtu limity. Pokusíme se ale funkci upravit tak, aby byl bod nespojitosti $ x=1 $ odstraněn. Odečtením obou zlomků a úpravou dostaneme:

$ \lim \limits_{x \to 1} \left( \dfrac{1}{1-x} - \dfrac{3}{1-x^3} \right) = \lim \limits_{x \to 1} \dfrac{(1 + x + x^2) - 3}{(1-x)(1+x+x^2)} = \lim \limits_{x \to 1} \dfrac{x^2 + x -2}{(1-x)(1+x+x^2)} $ .

Kvadratický trojčlen v čitateli se dá snadno rozložit jako $ x^2 + x -2 = (x-1)(x+2) $ :

$ \lim \limits_{x \to 1} \dfrac{x^2 + x -2}{(1-x)(1+x+x^2)} = \lim \limits_{x \to 1} \dfrac{(x-1)(x+2)}{(1-x)(1+x+x^2)} = -\lim \limits_{x \to 1} \dfrac{(1-x)(x+2)}{(1-x)(1+x+x^2)} = $

$ = -\lim \limits_{x \to 1} \dfrac{x+2}{1+x+x^2} $ .

Tato upravená limita je již v bodě $ x=1 $ spojitá a můžeme vypočítat její hodnotu:

$ -\lim \limits_{x \to 1} \dfrac{x+2}{1+x+x^2} = - \dfrac{1+2}{1 + 1 + 1^2} = \underline {\underline{-1}} $ .

Řešení:

Je zřejmé, že limita není v bodě $ x=1 $ definována, protože jmenovatel zlomku by byl v takovém případě roven nule. Pokusíme se tedy odstranit bod nespojitosti $ x=1 $ úpravou funkce. Jako mírnou nepříjemnost můžeme vnímat odmocninu ve jmenovateli. Úpravu zlomku proto zahájíme jeho usměrněním. Celý zlomek proto rozšíříme výrazem $ (\sqrt{x} + 1) $ , abychom se zbavili zlomku ve jmenovateli. Zároveň upravíme čitatel zlomku do součinového tvaru vytknutím:

$ \lim \limits_{x \to 1} \dfrac{x^2 - x}{\sqrt{x} -1} \cdot \dfrac{(\sqrt{x} + 1)}{(\sqrt{x} + 1)}= \lim \limits_{x \to 1} \dfrac{x \cdot (x-1) \cdot (\sqrt{x} + 1)}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)}= \lim \limits_{x \to 1} \dfrac{x \cdot (x-1) \cdot (\sqrt{x} + 1)}{x-1} $ .

Po krácení je již odstraněn bod nespojitosti a limitu vypočteme dosazením:

$ \lim \limits_{x \to 1} \dfrac{x \cdot (x-1) \cdot (\sqrt{x} + 1)}{x-1} = \lim \limits_{x \to 1} x \cdot (\sqrt{x} + 1) = 1 \cdot (\sqrt{1} + 1) = \underline {\underline{2}} $ .

Řešení:

Funkce, jejíž limitu máme vypočítat není v bodě $ x = \sqrt{2} $ definována. Navíc neexistuje možnost, jak tuto funkci racionálně upravit tak, aby byl tento bod nespojitosti odstraněn. Určíme proto jednostranné limity v bodě $ x = \sqrt{2} $ . Myšlenkovým dosazením čísla jen nepatrně většího, než je $ \sqrt{2} $ (pro výpočet limity zprava) obdržíme v čitateli zlomku záporné číslo a ve jmenovateli velmi malé kladné číslo (označíme si jej $ 0_+ $ ). Záporné číslo dělené velmi malým kladným číslem se intuitivně blíží $ -\infty $ :

$ \lim \limits_{x \to \sqrt{2}^+} \dfrac{x-2}{x-\sqrt{2}} = \dfrac{\ominus}{0_+} = -\infty $ .

Podobně učiníme i pro výpočet limity zleva:

$ \lim \limits_{x \to \sqrt{2}^-} \dfrac{x-2}{x-\sqrt{2}} = \dfrac{\ominus}{0_-} = +\infty $ .

Jednostranné limity nejsou shodné a proto můžeme říci, že limita $ \lim \limits_{x \to \sqrt{2}} \dfrac{x-2}{x-\sqrt{2}} $ $ \underline {\underline{neexistuje}} $ .

Řešení:

Uvedená funkce není v bodě $ x = 0 $ definována. Pokusíme se ji upravit a tuto nespojitost odstranit. Využijeme vytknutí z  mnohočlenu v čitateli:

$ \lim \limits_{x \to 0} \dfrac{4x^2 + 2x^4 + x^6}{x^6} = \lim \limits_{x \to 0} \dfrac{x^2 \cdot (4 + 2x^2 + x^4)}{x^6} = \lim \limits_{x \to 0} \dfrac{4 + 2x^2 + x^4}{x^4} $ .

Je zřejmé, že bod nespojitosti v bodě $ x=0 $ není odstranitelný úpravami. Přistoupíme proto k výpočtu jednostranných limit podobně, jako tomu bylo v předchozím příkladu. Dosazením čísla jen o málo většího než je nula ( $ 0_+ $ ) obdržíme limitu zprava:

$ \lim \limits_{x \to 0^+} \dfrac{4 + 2x^2 + x^4}{x^4} = \dfrac{4 + 2\cdot (0_+)^2 + (0_+)^4}{(0_+)^4} = \dfrac{4}{0_+} = + \infty $ .

Podobně pro limitu zleva   Uvědomme si, že i velmi malé číslo umocněné na sudou mocninu je sice stále velmi malé, ale stane se kladným. :

$ \lim \limits_{x \to 0^-} \dfrac{4 + 2x^2 + x^4}{x^4} = \dfrac{4 + 2\cdot (0_-)^2 + (0_-)^4}{(0_-)^4} = \dfrac{4}{0_+} = + \infty $ .

Jednostranné limity jsou totožné a proto můžeme říci, že funkce $ f(x) = \dfrac{4x^2 + 2x^4 + x^6}{x^6} $ má v bodě $ x = 0 $ nevlastní limitu rovnou $ + \infty $ a psát $ \lim \limits_{x \to 0} \dfrac{4x^2 + 2x^4 + x^6}{x^6} = \underline {\underline{+\infty}} $ .

Řešení:

Výraz napovídá, že se bude dát využít znalost limity $ \lim \limits_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x} = 1 $ . Musíme však zlomek nejdříve do takového tvaru upravit:

$ \lim \limits_{x \to 0} \dfrac{\sin 5x}{2x} = \lim \limits_{x \to 0} \dfrac{\sin 5x}{\dfrac{2}{5} \cdot 5x} = \lim \limits_{x \to 0} \dfrac{5}{2} \cdot \dfrac{\sin 5x}{ 5x} $ .

Nyní využijeme metodu substituce.   Není nezbytně nutné využít metodu substituce, intuitivně je jasné, že pokud platí $ \lim \limits_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x} = 1 $ , pak platí i  $ \lim \limits_{x \to 0} \dfrac{\sin 5x}{5x} = 1 $ . Metoda substituce se používá zejména ve složitějších případech. Položíme $ t = 5x $ . Vzhledem k tomu, že $ x \to 0 $ a $ t = 5x = 5\cdot 0 = 0, $ pak i  $ t \to 0 $ a můžeme psát dále:

$ \lim \limits_{x \to 0} \dfrac{5}{2} \cdot \dfrac{\sin 5x}{ 5x} = | t = 5x | = \lim \limits_{t \to 0} \dfrac{5}{2} \cdot \dfrac{\sin t}{t} = \dfrac{5}{2} \cdot 1 = \underline {\underline{\dfrac{5}{2}}} $ .

Řešení:

Zadaná funkce není v bodě $ x = 0 $ definována. Je však poměrně dobře upravitelná – úpravu provedeme vytknutím $ \sin x $ v  čitateli a  $ x $ ve jmenovateli. Obdržíme tak:

$ \lim \limits_{x \to 0} \dfrac{x \sin x - \sin x}{x^2 + 2x} = \lim \limits_{x \to 0} \dfrac{ \sin x \cdot (x-1)}{x \cdot (x + 2)} $ .

Nyní je jasné, že se bude dát využít pravidlo o limitě $ \lim \limits_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x} = 1 $ , nicméně, funkce obsahuje i další členy. Využijeme tedy příjemné vlastnosti limity součinu – limita součinu dvou funkcí je totiž rovna součinu limit jednotlivých činitelů, proto můžeme jednoduše vypočítat, že:

$ \lim \limits_{x \to 0} \dfrac{ \sin x \cdot (x-1)}{x \cdot (x + 2)} = \lim \limits_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x} \cdot \lim \limits_{x \to 0} \dfrac{x-1}{x + 2} = 1 \cdot \left( -\dfrac{1}{2} \right) = \underline {\underline{- \dfrac{1}{2}}} $ .

Řešení:

Jedná se limitu funkce, která je podílem dvou polynomů. Nejvyšší mocnina v celé funkci je mocnina řádu 3. Celý výraz v  limitě tedy rozšíříme $ \dfrac{1}{x^3} $ :

$ \lim \limits_{x \to -\infty} \dfrac{2x^3 + 2x - 1}{4x^3 + 4x^2 + 5} \cdot \dfrac{\dfrac{1}{x^3}}{\dfrac{1}{x^3}} = \lim \limits_{x \to -\infty} \dfrac{2 + \dfrac{2}{x^2} - \dfrac{1}{x^3}}{4 + \dfrac{4}{x} + \dfrac{5}{x^3}} $ .

Nyní využijeme vlastnosti limity $ \lim \limits_{x \to \pm \infty} \dfrac{1}{x^n} = 0 $ , tím veškeré zlomky tvaru $ \dfrac{a}{x^n} $ v čitateli i jmenovateli můžeme prohlásit za nulové a psát tak výslednou limitu funkce:

$ \lim \limits_{x \to -\infty} \dfrac{2 + \dfrac{2}{x^2} - \dfrac{1}{x^3}}{4 + \dfrac{4}{x} + \dfrac{5}{x^3}} = \dfrac{2 + 0 + 0}{4 + 0 + 0} = \underline {\underline{\dfrac{1}{2}}} $ .

Řešení:

Jedná se o rozdíl odmocnin. Upravíme limitu rozšířením tak, aby byla v podílovém tvaru – rozšíříme výrazem $ \sqrt{x^2 - 3x} + \sqrt{x^2 - 5} $ tak, aby v čitateli byly odstraněny odmocniny:

$ \lim \limits_{x \to \infty} (\sqrt{x^2 - 3x} - \sqrt{x^2 - 5}) \cdot \dfrac{\sqrt{x^2 - 3x} + \sqrt{x^2 - 5}}{\sqrt{x^2 - 3x} + \sqrt{x^2 - 5}} = \lim \limits_{x \to \infty} \dfrac{(x^2-3x)-(x^2 - 5)}{\sqrt{x^2 - 3x} + \sqrt{x^2 - 5}} $ .

Tento podílový tvar upravíme a z mocnin ve jmenovateli vytkneme $ x $ :

$ \lim \limits_{x \to \infty} \dfrac{(x^2-3x)-(x^2 - 5)}{\sqrt{x^2 - 3x} + \sqrt{x^2 - 5}} = \lim \limits_{x \to \infty} \dfrac{-3x + 5}{x \cdot \sqrt{1 - \dfrac{3}{x}} + x \cdot \sqrt{1 - \dfrac{5}{x^2}}} $ .

Výraz již jen rozšíříme $ \dfrac{1}{x} $ a vypočítáme hodnotu limity za užití (10):

$ \lim \limits_{x \to \infty} \dfrac{-3x + 5}{x \cdot \sqrt{1 - \dfrac{3}{x}} + x \cdot \sqrt{1 - \dfrac{5}{x^2}}} \cdot \dfrac{\dfrac{1}{x}}{\dfrac{1}{x}} = \lim \limits_{x \to \infty} \dfrac{-3 + \dfrac{5}{x}}{\sqrt{1 - \dfrac{3}{x}} + \sqrt{1 - \dfrac{5}{x^2}}} = \dfrac{-3}{1+1} = \underline {\underline{-\dfrac{3}{2}}} $ .

Řešení:

Limita je neurčitého typu, nicméně funkci tangens lze přepsat tak, aby se dalo využít vlastnosti limity (9). Výpočet je pak přímočarý:

$ \lim \limits_{x \to 0} \dfrac{\tan x}{x} = \lim \limits_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x \cdot \cos x} = \lim \limits_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x} \cdot \dfrac{1}{\cos x} = 1 \cdot 1 = \underline {\underline{1}} $ .

Řešení:

Je evidentní, že funkce, jejíž limitu chceme počítat není v  bodě $ x=O $ definována. Pokusíme se ale upravit čitatel zlomku v  limitě roznásobením:

$ \lim \limits_{x \to 0} \dfrac{(1+x)(1+2x)(1+3x)-1}{x} = \lim \limits_{x \to 0} \dfrac{6x^3 + 11x^2 + 6x + 1 -1}{x} = \lim \limits_{x \to 0} \dfrac{x\cdot(6x^2 + 11x + 6)}{x} $ .

Po krácení $ x $ obdržíme funkci, která již nemá bod $ x=0 $ jako bod nespojitosti a limitu lze vypočítat dosazením do předpisu:

$ \lim \limits_{x \to 0} \dfrac{x\cdot(6x^2 + 11x + 6)}{x} = \lim \limits_{x \to 0} (6x^2 + 11x + 6) = \underline {\underline{6}} $ .

Řešení:

Jmenovatel zlomku v limite je roven nule a proto funkce není v bodě $ x=16 $ definována. Je třeba ji proto příslušně upravit. Využijeme notoricky známého vztahu $ (a^2-b^2) = (a+b)(a-b) $ na jmenovatel zlomku. Obdržíme tak:

$ \lim \limits_{x \to 16} \dfrac{\sqrt[4]{x} -2 }{\sqrt{x} - 4} = \lim \limits_{x \to 16} \dfrac{\sqrt[4]{x} -2 }{(\sqrt[4]{x} +2)(\sqrt[4]{x} -2)} = \lim \limits_{x \to 16} \dfrac{1}{\sqrt[4]{x} +2} = \dfrac{1}{\sqrt[16]{x} +2} = \dfrac{1}{2 + 2} = \underline {\underline{\dfrac{1}{4}}} $ .

Řešení:

Funkce, jejíž limitu chceme počítat není v bodě $ x=3 $ definována. Bude třeba provést úpravy tak, aby ze jmenovatele pokud možno zmizel činitel $ (x-3) $ , který nespojitost způsobuje. Dosáhneme toho standardní úpravou, kdy odstraníme odmocniny:

$ \lim \limits_{x \to 3} \dfrac{\sqrt{x+13} - 2 \cdot \sqrt{x+1}}{x^2 - 9} \cdot \dfrac{\sqrt{x+13} + 2 \cdot \sqrt{x+1}}{\sqrt{x+13} + 2 \cdot \sqrt{x+1}} = $

$ = \lim \limits_{x \to 3} \dfrac{x+13 - 4 \cdot (x+1)}{(x+3)\cdot(x-3)\cdot (\sqrt{x+13} + 2 \cdot \sqrt{x+1})} $ .

Upravíme výraz v čitateli a vykrátíme jej s problematickou částí jmenovatele:

$ \lim \limits_{x \to 3} \dfrac{x+13 - 4 \cdot (x+1)}{(x+3)\cdot(x-3)\cdot (\sqrt{x+13} + 2 \cdot \sqrt{x+1})} = $

$ = \lim \limits_{x \to 3} \dfrac{-3x + 9}{(x+3)\cdot(x-3)\cdot (\sqrt{x+13} + 2 \cdot \sqrt{x+1})} = $

$ = -3 \cdot \lim \limits_{x \to 3} \dfrac{x - 3}{(x+3)\cdot(x-3)\cdot (\sqrt{x+13} + 2 \cdot \sqrt{x+1})} = $

$ = -3 \cdot \lim \limits_{x \to 3} \dfrac{1}{{(x+3)\cdot (\sqrt{x+13} + 2 \cdot \sqrt{x+1})}} $ .

Tento výraz, jakkoliv vypadá nepříjemně, je již v bodě $ x=3 $ definován a limitu vypočteme dosazením:

$ -3 \cdot \lim \limits_{x \to 3} \dfrac{1}{{(x+3)\cdot (\sqrt{x+13} + 2 \cdot \sqrt{x+1})}} = -3 \cdot \dfrac{1}{{(3+3)\cdot (\sqrt{3+13} + 2 \cdot \sqrt{3+1})}} = \underline {\underline{-\dfrac{1}{16}}} $ .

Řešení:

Ve jmenovateli funkce, jejíž limitu máme vypočítat je hodnota $ \cos(2 \cdot \dfrac{\pi}{4}) = 0 $ . To je bod ve kterém funkce není definována a proto musíme provést úpravu. Využijeme znalosti vztahů pro dvojnásobné argumenty goniometrických funkcí, konkrétně $ \cos 2x = \cos ^2 x - \sin ^2 x $ . Potom můžeme pokračovat elementárními úpravami:

$ \lim \limits_{x \to \dfrac{\pi}{4}} \dfrac{\cos x - \sin x}{\cos 2x} = \lim \limits_{x \to \dfrac{\pi}{4}} \dfrac{\cos x - \sin x}{\cos ^2 x - \sin ^2 x} = \lim \limits_{x \to \dfrac{\pi}{4}} \dfrac{\cos x - \sin x}{(\cos x + \sin x)\cdot(\cos x - \sin x)} = $

$ = \lim \limits_{x \to \dfrac{\pi}{4}} \dfrac{1}{\cos x + \sin x} $ .

Taková funkce je již v bodě $ x= \dfrac{\pi}{4} $ definována a  řešíme prostým dosazením:

$ \lim \limits_{x \to \dfrac{\pi}{4}} \dfrac{1}{\cos x + \sin x} = \dfrac{1}{\cos \dfrac{\pi}{4} + \sin \dfrac{\pi}{4}} = \dfrac{1}{\dfrac{\sqrt{2}}{2} + \dfrac{\sqrt{2}}{2}} = \dfrac{2}{2\sqrt{2}} = \underline {\underline{\dfrac{\sqrt{2}}{2}}} $ .

Řešení:

Jedná se o limitu v nevlastním bodě z podílu dvou funkcí. Takové limity se dají řešit rozšířením celého zlomku výrazem $ \dfrac{1}{x^n} $ , kde $ n $ je stupeň nejvyšší mocniny ve výrazu a  následně využijeme vlastnosti limity (10). Pohlédneme-li na čitatel zlomku, je nejvyšší mocnina řádu 2. Podobně je tomu (po drobné úpravě) ve jmenovateli (výraz $ \sqrt{x^4 - 1} $ je de facto mocnina $ x $ stupně 2). Z odmocniny ve jmenovateli proto vytkneme $ x^2 $ a následně zlomek rozšíříme výrazem $ \dfrac{1}{x^2} $ :

$ \lim \limits_{x \to \infty} \dfrac{4x^2 - 4x + 7}{\sqrt{x^4 - 1}} = \lim \limits_{x \to \infty} \dfrac{4x^2 - 4x + 7}{x^2 \sqrt{1 - \dfrac{1}{x^4}}} \cdot \dfrac{\dfrac{1}{x^2}}{\dfrac{1}{x^2}} = \lim \limits_{x \to \infty} \dfrac{4 - \dfrac{4}{x} + \dfrac{7}{x^2}}{\sqrt{1 - \dfrac{1}{x^4}}} = \dfrac{4}{1} = \underline {\underline{4}} $ .

Řešení:

Jedná se o limitu v nevlastním bodě z rozdílu odmocnin. Využijeme proto rozšíření a zbavení se odmocnin:

$ \lim \limits_{x \to \infty} (\sqrt{x} - \sqrt{x-1}) \cdot \dfrac{\sqrt{x} + \sqrt{x-1}}{\sqrt{x} + \sqrt{x-1}} = \lim \limits_{x \to \infty} \dfrac{ x - (x-1)}{\sqrt{x} + \sqrt{x-1}} = \lim \limits_{x \to \infty} \dfrac{1}{\sqrt{x} + \sqrt{x-1}} $ .

Takovou limitu lze již řešit tak, že dosadíme do jmenovatele myšlené velké číslo ( $ \infty $ ). V takovém případě obdržíme výraz s  jedničkou v čitateli a velkým číslem ve jmenovateli, což konverguje k nule:

$ \lim \limits_{x \to \infty} \dfrac{1}{\sqrt{x} + \sqrt{x-1}} = \dfrac{1}{\sqrt{\infty} + \sqrt{\infty-1}} = \dfrac{1}{\infty} = \underline {\underline{0}} $ .