1. Derivujte a upravte:
$ f(x) = \ln (x^2 + 1) $ ,
$ f(x) = 2x^4 - 3x^3 + 5x^2 - x + 100 $ ,
$ f(x) = \ln \left( \dfrac{x-4}{\sqrt{x^2 - 4}}\right) $ ,
$ f(x) = \sqrt[3]{\cos (x^3 - \pi)} $ ,
$ f(x) = 2 \sin x + \sin 2x + \sin^2 x + \sin x^2 $ ,
$ f(x) = \dfrac{2x^3 - \sqrt[3]{x} + \sqrt{x}}{x} $ ,
$ f(x) = \dfrac{x \cdot \mathrm{e}^x}{1 + x^2} $ ,
$ f(x) = \sqrt{\dfrac{1- \mathrm{e}^x}{1 + \mathrm{e}^x}} $ ,
$ f(x) = \sin (x^3 - x) $ ,
$ f(x) = \dfrac{12}{1-x^4} $ ,
$ f(x) = \dfrac{x^3 - 2x^2 -1}{x-3} $ ,
$ f(x) = 2 \sqrt{x+1} + \ln \dfrac{x+2 + 2\sqrt{x+1}}{x} $ ,
$ f(x) = \ln \sqrt{1-\sin x}{1 + \cos x} $ ,
$ f(x) = \dfrac{1-\sin x}{\cos x} - x \mathrm{e}^{-x^2} $ ,
$ f(x) = \dfrac{2x^6 -1}{x^3} $ ,
$ f(x) = (x-\ln x)^{100} $ ,
$ f(x) = 5x^4 - \dfrac{\pi}{x^3} + \sqrt[8]{x} + \cos x^2 $ ,
$ f(x) = (x-3) \cdot (\ln (x-3) -3) $ ,
$ f(x) = \dfrac{\sin x \cos x}{\tan x} $ ,
$ f(x) = \dfrac{1 + x - x^2}{1 - x + x^2} $ .
Výsledky:
$ \dfrac{x}{x^2 + 1} $
$ 8x^3-9x^2+10x -1 $
$ \dfrac{4 \cdot (x-1)}{(x-4) \cdot (x^2 - 4)} $
$ \dfrac{x^2 \cdot \sin(x^3)}{\sqrt[3]{(-\cos(x^3))^2}} $
$ 2 \cos x + 2 \cos 2x + 2 \sin x \cos x + 2x \cos x^2 $
$ \dfrac{1}{2 \sqrt{x^3}} + \dfrac{2}{3 \sqrt[3]{x^5} + 4x} $
$ \mathrm{e}^x \cdot \dfrac{x^3 - x^2 + x + 1}{(x^2 + 1)^2} $
$ - \sqrt{\dfrac{1 + \mathrm{e}^x }{1 - \mathrm{e}^x}} \cdot \dfrac{\mathrm{e}^x}{(\mathrm{e}^x + 1)^2} $
$ (x^2 -1) \cdot \cos(x^3 -x) $
$ \dfrac{48x^3}{(1- x^4 )^2} $
$ \dfrac{2x^3 - 11x^2 + 12x + 1}{(x-3)^2} $
$ \dfrac{x-1}{x\sqrt{x+1}} $
$ -\dfrac{1}{\cos x} $
$ \mathrm{e}^{-x^2} \cdot (2x^2 -1) + \dfrac{\sin x -1}{\cos ^2 x} $
$ 6x^2 - \dfrac{3}{x^4} $
$ \dfrac{100 \cdot (x-1) (x- \ln x)^{99}}{x} $
$ \dfrac{1}{8 \cdot \sqrt[8]{x^7}} + \dfrac{3 \pi}{x^4} + 20x^3 - 2x \sin x^2 $
$ \ln (x-3) -2 $
$ -2 \sin x \cos x $
$ \dfrac{2 \cdot (1-2x)}{(1 - x + x^2)^2} $
2. Vypočítejte derivace vyšších řádů:
$ f'''(x) = ? \qquad f(x) = \dfrac{x-3}{x-2} $ ,
$ f''(x) = ? \qquad f(x) = (\ln x - x) \cdot (\ln x + x) $ ,
$ f''(x) = ? \qquad f(x) = x^n $ ,
$ f'''(x) = ? \qquad f(x) = \dfrac{x^3 -1}{x^3 + 1} $ ,
$ f^{(4)}(x) = ? \qquad f(x) = \ln (1-x) $ ,
$ f''(x) = ? \qquad f(x) = \ln (\mathrm{e}^x + \sqrt{1 + \mathrm{e}^{2x}}) $ ,
$ f''(x) = ? \qquad f(x) = \tan(x) $ .
Výsledky:
$ \dfrac{6}{(x-2)^4} $
$ -\dfrac{2 \cdot (x^2 + \ln x -1)}{x^2} $
$ (n^2 - n) \cdot x^{n-2} $
$ \dfrac{12 \cdot (10x^6 - 16x^3 + 1)}{(x^3 + 1)^4} $
$ - \dfrac{6}{(1-x)^4} $
$ \dfrac{\mathrm{e}^x}{\sqrt(\mathrm{e}^{2x} + 1)^3} $
$ \dfrac{2 \tan x}{\cos^2 x} $
3. Vypočtěte limity:
$ \lim \limits_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{1+x}- \sqrt{1-x}}{x} $
$ \lim \limits_{x \to \dfrac{\pi}{2}} \dfrac{2 - 2\sin^2 x}{11 \cos^2 x} $
$ \lim \limits_{x \to \infty} \dfrac{x^3 - 4x + 2}{5x^3 - 1} $
$ \lim \limits_{x \to \infty} \dfrac{\ln(\pi + \mathrm{e}^{\pi \cdot x})}{\ln(3 + \mathrm{e}^{3x})} $
$ \lim \limits_{x \to \infty} \dfrac{1-\mathrm{e}^x}{1+\mathrm{e}^x} $
$ \lim \limits_{x \to 1} \dfrac{\ln x}{\cos \left(\dfrac{\pi}{2} x\right)} $
$ \lim \limits_{x \to 0} \dfrac{x \cdot (\mathrm{e}^x + 1) - 2 \cdot (\mathrm{e}^x -1)}{x^3} $
$ \lim \limits_{x \to -\infty} \dfrac{\sqrt{x^2 - 10}}{10 x} $
$ \lim \limits_{x \to \sqrt{\pi} } \dfrac{x^2 - \pi}{\sin(x^2)} $
$ \lim \limits_{x \to \infty } \dfrac{\ln x + \ln x^2}{\ln(x + x^2)} $
Výsledky:
$ 1 $
$ \dfrac{2}{11} $
$ \dfrac{1}{5} $
$ \dfrac{\pi}{3} $
$ -1 $
$ -\dfrac{2}{\pi} $
$ \dfrac{1}{6} $
$ -\dfrac{1}{10} $
$ -1 $
$ \dfrac{3}{2te} $