1. Řešení diferenciálních rovnic se separovanými proměnnými
Nalezněte obecné řešení diferenciální rovnice $ y´ = 2x $ a partikulární řešení splňující podmínku pro $ x=2 $ je $ y=1 $ .
Řešení:
Rovnici si přepíšeme do tvaru s pomocí diferenciálů:
$$ \dfrac{dy}{dx} = 2x $$Oddělíme od sebe jednotlivé proměnné,
$$ dy = 2x dx $$Nyní již můžeme integrovat obě strany rovnice.
$$ \displaystyle{\int} dy = \displaystyle{\int} 2xdx $$Integrací získáme výsledek:
$$ y = 2. \dfrac{x^2}{2} + c $$Obecné řešení zadané rovnice má tvar:
$$ y=x^2 + c $$Nyní nalezneme konkrétní partikulární řešení, tak že dosadíme hodnoty 2 a 1 za proměnné $ x $ a $ y $ a vypočítáme hodnotu konstanty $ c $ .
$$ 1 = 2^2 +c $$ $$ 1 = 4 +c $$Tedy:
$$ c= -3 $$Partikulární řešení má tedy tvar:
$$ y=x^2 -3 $$2. Řešení diferenciálních rovnic se separovanými proměnnými
Nalezněte obecné řešení diferenciální rovnice $ yy´ = \dfrac{1+2x}{y} $ a partikulární řešení splňující podmínku $ y(0) = 1 $ . (Tedy pro $ x=0 $ je $ y=1 $ ).
Řešení:
Rovnici opět přepíšeme do diferenciálového tvaru:
$$ y \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1+2x}{y} $$Oddělíme od sebe jednotlivé proměnné:
$$ y^2 dy = 1+2x dx $$Po integraci získáme:
$$ \dfrac{y^3}{3} = x + 2 \dfrac{x^2}{2} +c $$ $$ y^3 = 3x + 3x^2 +3c $$Dosazením $ k=3c $ získáme obecné řešení zadané diferenciální rovnice:
$$ y^3 = 3x + 3x^2 +k $$Nyní zbývá nalézt partikulární řešení splňující zadanou podmínku. Dosazením hodnot $ x=0 $ a $ y=1 $ do obecného řešení vypočítáme hodnotu konstanty $ k $ .
$$ 1 = 3.0 + 3. 0^2 +k $$ $$ 1=k $$Partikulární řešení zadané rovnice má tedy tvar: $ y^3 = 3x + 3x^2 +1 $ .
3. Řešení diferenciálních rovnic se separovanými proměnnými
Nalezněte obecné řešení diferenciální rovnice $ xyy´ = 1 -x^2 $ a její partikulární řešení splňující počáteční podmínku $ y(1) = 2 $ .
Řešení:
Rovnici přepíšeme do diferenciálového tvaru
$$ xy \dfrac{dy}{dx} = 1 - x^2 $$Oddělíme od sebe jednotlivé proměnné
$$ ydy = \dfrac{1-x^2}{x} dx $$a můžeme integrovat
$$ \displaystyle{\int} ydy = \displaystyle{\int} (\dfrac{1}{x} - x)dx $$ $$ \dfrac{y^2}{2} = \ln |x| - \dfrac{x^2}{2} + c $$ $$ y^2 = 2 \ln |x| - x^2 + 2c $$po zavedení $ 2c=k $ dostáváme obecné řešení zadané rovnice
$$ y^2 = 2 \ln |x| - x^2 + k $$Partikulární řešení rovnice získáme dosazením $ x=1 $ a $ y = 2 $ do obecného řešení a vypočítáním konstanty $ k $ .
$$ 2^2 = 2 \ln |1| - 1 + k $$ $$ 4 = 2 \ln 1 -1 + k $$ $$ 4 = 2.0 -1 + k $$ $$ 5 = k $$Partikulární řešení splňující zadanou podmínku má tvar: $ y^2 = 2 \ln |x| - x^2 + 5 $
4. Řešení diferenciálních rovnic se separovanými proměnnými
Nalezněte obecné řešení diferenciální rovnice $ \displaystyle{\dfrac{x}{1+y} - \dfrac{y}{1+x} y´ = 0} $ a její partikulární řešení splňující podmínku $ y(0) = 1 $ .
Řešení:
Nejprve převedeme jeden zlomek na pravou stranu rovnice a odstraníme zlomky vynásobením jejich jmenovateli, teprve potom přepíšeme rovnici do difirenciálového tvaru
$$ \dfrac{y}{1+x} y´ = \dfrac{x}{1+y} $$Zavedením $ k= 6c $ získáme obecné řešení zadané rovnice:
$$ 3y^2 + 2y^3 = 3x^2 + 2x^3 +k $$Dosazením $ x=0 $ a $ y=1 $ vypočítáme hodnotu konstanty $ k $ a získáme partikulární řešení splňující zadanou podmínku:
$$ 3.1^2 + 2.1^3 = 3.0^2 + 2 0^3 +k $$ $$ 3+2 = 0 + 0 +k $$ $$ 5 = k $$Partikulární řešení rovnice má tedy tvar: $ 3y^2 + 2y^3 = 3x^2 + 2x^3 +5 $ .