F4260 Variační počet a jeho aplikace

Přírodovědecká fakulta
jaro 2008
Rozsah
2/0/0. 3 kr. (plus ukončení). Ukončení: k.
Vyučující
prof. RNDr. Jana Musilová, CSc. (přednášející)
Garance
prof. RNDr. Michal Lenc, Ph.D.
Ústav teoretické fyziky a astrofyziky – Fyzikální sekce – Přírodovědecká fakulta
Kontaktní osoba: prof. RNDr. Jana Musilová, CSc.
Rozvrh
St 11:00–12:50 F4,03017
Předpoklady
diferenciální a integrální počet funkcí jedné a více proměnných, základy multilineární algebry (tenzory), diferenciální formy na euklidovských prostorech
Omezení zápisu do předmětu
Předmět je nabízen i studentům mimo mateřské obory.
Mateřské obory/plány
předmět má 13 mateřských oborů, zobrazit
Cíle předmětu
Významné fyzikální teorie jsou často založeny na tzv. variačním principu, spočívajícím v nalezení podmínek pro stacionárnost jistého funkcionálu. Například v mechanice se jedná o zobrazení přiřazující přípustným trajektoriím v konfiguračním prostoru mechanické soustavy reálné číslo vhodně definovaným integrálem (definice vychází z fyziky). Podmínka stacionarity pak vede k nalezení pohybových rovnic soustavy. Obdobná je situace v teorii polí, kde se "trajektoriemi" rozumí vyjádření veličin popisujících pole v závislosti na prostoročasových souřadnicích. Podstata problému je však stejná. Vedle problému pohybových rovnic samotných je třeba řešit otázku okrajových podmínek (tzv. úlohy s pevnými resp. volnými konci). Ve fyzice bývají časté i situace, kdy je soustava podrobena vazebním podmínkám. Jedná se o tzv. vázané (podmíněné) stacionární úlohy. Uvedené a mnohé další problémy jsou v matematice řešeny v rámci disciplíny zvané "Variační počet."

Cílem předmětu je poskytnout jeho absolventům základní matematické znalosti z oblasti variačního počtu, zejména se zaměřením na výše uvedené problémy, a představu o možnostech využití variačního počtu pro řešení fyzikálních, popřípadě technických úloh.
Osnova
  • I. Úvod.
  • I-1. Fyzikální a geometrické úlohy variačního typu (šíření světla, úloha o brachistochroně, izoperimetrický problém, úloha o minimální rotační ploše,....).
  • II. Elementární způsoby řešení stacionárních úloh - funkce jedné proměnné.
  • II-2. Funkcionál, podmínka stacionarity, Eulerova rovnice a její odvození, speciální případy.
  • II-3. Aplikace (geometrické úlohy, úlohy z mechaniky hmotného bodu a soustav hmotných bodů).
  • II-4. Přibližné řešení variačních úloh.
  • III. Metoda variací - funkce jedné proměnné.
  • III-5. Klasifikace stacionárních bodů.
  • III-6. Variace funkce, variace funkcionálu, věty variačního počtu.
  • III-7. Eulerovy rovnice, invariance.
  • IV. Funkcionály pro funkce více proměnných.
  • IV-8. Formulace úlohy, Eulerovy rovnice.
  • IV-9. Aplikace - teorie polí.
  • V. Úlohy s volnými konci.
  • V-10. Formulace úlohy, úloha s volnými konci v jednorozměrném prostoru, aplikace.
  • V-11. Úloha s volnými konci v trojrozměrném prostoru, aplikace.
  • VI. Vázané (podmíněné) stacionární úlohy.
  • VI-12. Obecná formulace vázané úlohy, typy vazebních podmínek ve fyzice, příklady.
  • VI-13. Metoda Lagrangeových multiplikátorů.
  • VII. Úvod do variačního počtu na fibrovaných prostorech.
  • VII-14. Fibrované euklidovské prostory, řezy a jejich prodloužení, vektorová pole, diferenciální formy.
  • VII-15. Variační problém na fibrovaném prostoru, Lagrangeova struktura, extremály, aplikace.
Literatura
  • Průběžně zveřejňovaný text k přednášce
  • GEL'FAND, Izrail Moisejevič a Sergej Vasil'jevič FOMIN. Calculus of variations. Edited by Richard A. Silverman. Mineola, N. Y.: Dover Publications, 2000, vii, 232 s. ISBN 0-486-41448-5. info
Metody hodnocení
Typ výuky: přednáška. Závěrečné hodnocení: kolokvium (rozprava).
Další komentáře
Předmět je vyučován každoročně.
Předmět je zařazen také v obdobích jaro 2008 - akreditace, jaro 2011 - akreditace, jaro 2009, jaro 2010, jaro 2011, jaro 2012, jaro 2012 - akreditace, jaro 2013, jaro 2014, jaro 2015, jaro 2016, jaro 2018, jaro 2021, jaro 2023, jaro 2025.