PřF:M6170 Analýza v komplexním oboru - Informace o předmětu
M6170 Analýza v komplexním oboru
Přírodovědecká fakultajaro 2010
- Rozsah
- 4/2/0. 6 kr. (příf plus uk plus > 4). Ukončení: zk.
- Vyučující
- doc. RNDr. Josef Kalas, CSc. (přednášející)
- Garance
- doc. RNDr. Josef Kalas, CSc.
Ústav matematiky a statistiky – Ústavy – Přírodovědecká fakulta - Rozvrh
- Po 10:00–11:50 M3,01023, Čt 8:00–9:50 M3,01023
- Rozvrh seminárních/paralelních skupin:
- Předpoklady
- ( M3100 Matem. analýza III || M4502 Matematická analýza 3 ) && M2110 Lineární algebra a geom. II
Matematická analýza: Diferenciální počet funkcí jedné i více proměnných, integrální počet, číselné a funkční posloupnosti a řady, metrické prostory. Lineární algebra: Systémy lineárních rovnic, determinanty, matice, lineární prostory, lineární transformace. - Omezení zápisu do předmětu
- Předmět je nabízen i studentům mimo mateřské obory.
- Mateřské obory/plány
- Matematika (program PřF, M-MA)
- Matematika (program PřF, N-MA)
- Cíle předmětu
- Analýza v komplexním oboru je klasickou partií matematematické analýzy. Má různé elegantní a mnohdy i nečekané aplikace v mnoha oblastech matematiky. Je účinným nástrojem i mimo matematiku, hlavně ve fyzice a technice.
Cílem kurzu je seznámit studenty se základy teorie funkcí komplexní proměnné, zejména s integrací v C a Cauchyovou teorií, vlastnostmi holomorfních funkcí, teorií reziduí a jejími aplikacemi, celými a meromorfními funkcemi, základy teorie konformního zobrazení.
Po úspěšném absolvování tohoto kurzu bude student schopen:
definovat a interpretovat základní pojmy užívané v základních partiích analýzy v komplexním oboru a vysvětlit souvislosti mezi nimi;
formulovat příslušné matematické věty a tvrzení a vysvětlit metody jejich důkazů;
porovnat rozdíly mezi teorií funkcí komplexní proměnné a teorií funkcí reálné proměnné;
ovládat efektivní techniky používané v základních oblastech analýzy v komplexním oboru;
aplikovat získané poznatky při řešení konkrétních příkladů včetně příkladů aplikačního charakteru. - Osnova
- 1. Úvod do předmětu - komplexní čísla, přímka, kružnice, zobecněná kružnice, afinita v C a její speciální případy. Topologické základy, stereografická projekce, Gaussova a rozšířená Gaussova rovina. Posloupnosti a řady komplexních čísel. 2. Funkce komplexní proměnné - spojitost, komplexní diferencovatelnost, Cauchy-Riemannovy rovnice, holomorfní funkce. Řady funkcí, mocninné řady. Elementární funkce, mocnina,odmocnina, exponenciální, logaritmické, goniometrické, cyklometrické, hyperbolické a hyperbolometrické funkce, obecná mocnina. 3. Integrál, Cauchyova teorie - křivky v C, integrace v komplexním oboru, primitivní funkce, nezávislost na integrační cestě. Cauchyova věta, Cauchyovy integrální vzorce. 4. Vlastnosti holomorfních funkcí - Liouvilleova věta, Cauchyova nerovnost, Morerova věta, řady a posloupnosti holomorfních funkcí, Taylorův rozvoj, věta o jednoznačnosti, princip maxima modulu. 5. Teorie reziduí - Laurentova řada, izolované singularity, reziduum funkce v bodě, reziduová věta, aplikace teorie reziduí. 6. Celé funkce - definice celé funkce, rozdělení celých funkcí, nekonečné součiny čísel a funkcí, Weierstrasovy věty, řád celé funkce, Hadamardova věta. 7. Meromorfní funkce - logaritmická derivace, princip argumentu, Rouchéova věta. Funkce mermorfní v oblasti, věta o jednoznačnosti. Meromorfní funkce v C, Mittag-Lefflerovy věty, Cauchyova věta o rozvoji meromorfní funkce. 8. Úvod do teorie konformního zobrazení - homografie, konformní zobrazení a jeho vlastnosti, hlavní úloha konformního zobrazení, Riemannova věta, princip vzájemně jednoznačného přiřazení hranic, princip symetrie, Schwarz-Christoffelova věta.
- Literatura
- KALAS, Josef. Analýza v komplexním oboru. 1. vyd. Brno: Masarykova univerzita v Brně, 2006, 202 s. ISBN 80-210-4045-9. info
- ČERNÝ, Ilja. Analýza v komplexním oboru. 1. vyd. Praha: Academia, 1983, 822 s. info
- NOVÁK, Vítězslav. Analýza v komplexním oboru. 1. vyd. Praha: Státní pedagogické nakladatelství, 1984, 103 s. info
- VESELÝ, Jiří. Komplexní analýza. 1. vyd. Praha: Univerzita Karlova v Praze, Nakladatelství Karolinum, 2000, 244 s. ISBN 80-246-0202-4. info
- LANG, Serge. Complex Analysis. 3. vyd. Springer-Verlag, 1993, 458 s. ISBN 0-387-97886-0. info
- JEVGRAFOV, Marat Andrejevič. Funkce komplexní proměnné. Translated by Ladislav Průcha. Vyd. 1. Praha: SNTL - Nakladatelství technické literatury, 1981, 379 s. URL info
- JEVGRAFOV, Marat Andrejevič. Sbírka úloh z teorie funkcí komplexní proměnné. Translated by Anna Něničková - Věra Maňasová - Eva Nováková. Vyd. 1. Praha: SNTL - Nakladatelství technické literatury, 1976, 542 s. URL info
- Výukové metody
- přednášky a cvičení
- Metody hodnocení
- Výuka: přednáška 4 hod. týdně, cvičení 2 hod. týdně. Zkouška: písemná a ústní.
- Informace učitele
- Požadavky na úspěšné zakončení předmětu:
-
1. Zápočet ze cvičení. K udělení zápočtu je třeba:
- a) účast na cvičení - v průběhu semestru jsou povoleny maximálně 3 neúčasti,
- b) úspěšné absolvování zápočtových písemek v průběhu semestru.
- 2. Zkouška. Předmět je zakončen zkouškou mající dvě části - písemnou a ústní. Zkoušky se lze zúčastnit až po udělení zápočtu. Písemná část zkoušky prokazuje schopnost praktické aplikace získaných poznatků na konkrétní příklady a dosažení potřebné početní praxe. Při písemné části lze dosáhnout maximálního počtu 4 bodů. K postoupení k ústní části zkoušky je třeba získat alespoň 1,5 bodu. V průběhu ústní zkoušky je požadováno pochopení zavedených pojmů, porozumění vyloženým větám a schopnost jejich formulace. Je vyžadována znalost jednodušších důkazů a myšlenkových postupů složitějších důkazů.
-
1. Zápočet ze cvičení. K udělení zápočtu je třeba:
- Další komentáře
- Studijní materiály
Předmět je vyučován každoročně.
- Statistika zápisu (jaro 2010, nejnovější)
- Permalink: https://is.muni.cz/predmet/sci/jaro2010/M6170