M7960 Dynamické systémy

Přírodovědecká fakulta
jaro 2012
Rozsah
2/2/0. 4 kr. (příf plus uk k 1 zk 2 plus 1 > 4). Ukončení: zk.
Vyučující
doc. RNDr. Josef Kalas, CSc. (přednášející)
Garance
doc. RNDr. Josef Kalas, CSc.
Ústav matematiky a statistiky – Ústavy – Přírodovědecká fakulta
Dodavatelské pracoviště: Ústav matematiky a statistiky – Ústavy – Přírodovědecká fakulta
Rozvrh
Čt 8:00–9:50 M6,01011
  • Rozvrh seminárních/paralelních skupin:
M7960/01: Čt 10:00–11:50 M6,01011, J. Kalas
Předpoklady
Obyčejné diferenciální rovnice: Lineární a nelineární systémy diferenciálních rovnic, existence a jednoznačnost řešení, závislost řešení na počátečních podmínkách a parametrech, základy teorie stability.
Lineární algebra: Systémy lineárních rovnic, determinanty, lineární prostory, lineární transformace a matice, kanonický tvar matice.
Omezení zápisu do předmětu
Předmět je nabízen i studentům mimo mateřské obory.
Mateřské obory/plány
Cíle předmětu
Kurz je úvodem do teorie dynamických systémů. Pozornost je věnována zejména spojitým dynamickým systémům, teorii autonomních systémů diferenciálních rovnic a matematickému modelování. Cílem kursu je seznámit studenty s vybranými partiemi výše uvedených oblastí. Po úspěšném absolvování tohoto kurzu bude student schopen: definovat a interpretovat základní pojmy užívané ve výše uvedených oblastech; formulovat příslušné matematické věty a tvrzení; ovládat efektivní techniky používané v těchto oblastech; aplikovat získané poznatky při řešení konkrétních situací; analyzovat vybrané matematické dynamické deterministické modely.
Osnova
  • 1. Přehled vybraných výsledků z teorie obyčejných diferenciálních rovnic.
  • 2. Autonomní rovnice - základní pojmy a vlastnosti, elementární typy singulárních bodů dvojrozměrných systémů, klasifikace singulárních bodů lineárních a perturbovaných lineárních systémů, struktura limitní množiny v R2, Poincaré-Bendixsonova věta, Dulacovo kritérium, charakteristické směry.
  • 3. Obecné pojetí dynamického systému, spojité a diskrétní dynamické systémy.
  • 4. Matematické modely, klasifikace modelů, základní etapy procesu matematického modelování, sestavení matematického modelu, dimenzionální a matematická analýza matematických modelů, vybrané matematické modely v přírodních vědách.
Literatura
  • VERHULST, Ferdinand. Nonlinear differential equations and dynamical systems. Berlin: Springer Verlag, 1990, 277 s. ISBN 3-540-50628-4. info
  • PERKO, Lawrence. Differential equations and dynamical systems. 2nd ed. New York: Springer-Verlag, 1996, xiv, 519. ISBN 0387947787. info
  • KALAS, Josef a Zdeněk POSPÍŠIL. Spojité modely v biologii. 1. vyd. Brno: Masarykova univerzita, 2001, vii, 256. ISBN 802102626X. info
  • BRAUN, Martin. Differential equations and their applications : an introduction to applied mathematics. 2nd ed. New York: Springer-Verlag, 1978, xiii, 518. ISBN 0-387-90266-X. info
Výukové metody
přednášky a cvičení
Metody hodnocení
Výuka: přednáška 2 hod. týdně, cvičení 2 hod. týdně. Zkouška: písemná a ústní.
Informace učitele
Předmět je ukončen zkouškou, která má dvě části - ústní a písemnou. Nutnou podmínkou pro absolvování zkoušky je udělení zápočtu. Požadavky na úspěšné zakončení předmětu: Písemná část zkoušky prokazuje schopnost praktické aplikace získaných poznatků na konkrétní příklady a dosažení potřebné početní praxe. V průběhu ústní zkoušky je požadováno pochopení zavedených pojmů, porozumění vyloženým větám a schopnost jejich formulace. Je vyžadována znalost jednodušších důkazů a myšlenkových postupů složitějších důkazů.
Další komentáře
Předmět je vyučován každoročně.
Předmět je zařazen také v obdobích jaro 2011 - akreditace, podzim 2003, jaro 2006, jaro 2011, jaro 2012 - akreditace, jaro 2013, jaro 2014, jaro 2015, jaro 2016, jaro 2017, jaro 2018, jaro 2019, jaro 2020, jaro 2021, jaro 2022, jaro 2023, jaro 2024, jaro 2025.