M8350 Algebra IV

Přírodovědecká fakulta
jaro 2022
Rozsah
2/1/0. 5 kr. Ukončení: zk.
Vyučující
doc. Lukáš Vokřínek, PhD. (přednášející)
Garance
prof. RNDr. Jiří Rosický, DrSc.
Ústav matematiky a statistiky – Ústavy – Přírodovědecká fakulta
Dodavatelské pracoviště: Ústav matematiky a statistiky – Ústavy – Přírodovědecká fakulta
Rozvrh
St 12:00–13:50 M3,01023
  • Rozvrh seminárních/paralelních skupin:
M8350/01: Po 11:00–11:50 M6,01011, L. Vokřínek
Předpoklady
Algebra I, II, III
Omezení zápisu do předmětu
Předmět je otevřen studentům libovolného oboru.
Cíle předmětu
Cílem předmětu je dokončit kurz algebry a použít získané znalostí na následující oblasti:
- homologickou algebru
- podmínky konečnosti v teorii modulů
- komutativní algebru v souvislosti s algebraickou geometrií
- reprezentace grup.
Výstupy z učení
Student bude po absolvování předmětu mít představu o speciálních metodách algebry a jejich použití. Zejména bude schopen:
- použít metody homologické algebry;
- mít představu o rozšíření konečné rozměrnosti z lineární algebry na teorii modulů;
- porozumět základním metodám komutativní algebry v souvislosti s algebraickou geometrií;
- ocenit účinnost reprezentace grup maticemi.
Osnova
  • 1. Řetězcové komplexy: komplexy, exaktnost, homologie, projektivní a injektivní resolventy. 2. Derivované funktory: derivované funktory, funktor Ext, funktor Tor, rozšíření modulů, souvislost s grupou Ext. 3. Homologická dimenze: projektivní a injektivní dimenze modulu, globální dimenze okruhu. 4. Noetherovské okruhy a moduly: noetherovské moduly, artinovské moduly, radikál okruhu, Nakayamovo lemma. 5. Komutativní algebra: Dedekindovy okruhy, lokální okruhy, lokalizace, primární rozklad, spektrum okruhu, souvislost s algebraickou geometrií. 6. Lineární reprezentace grup: grupové okruhy a grupové algebry a moduly nad nimi, ireducibilní reprezentace, rozložitelnost na přímé součty ireducibilních reprezentací, Schurovo lemma, Maschkeho věta. 7. Charaktery grup: charaktery, ortogonalita, aplikace v teorii konečných grup, indukované reprezentace, Frobeniova věta o reciprocitě.
Literatura
  • J. R. Rotman, Advanced Modern Algebra, AMS 2017
Výukové metody
Přednáška poskytující porozumění látce, jejím vzájemným souvislostem a jejímu použití v jiných oblastech matematiky. Cvičení ilustrující látku na příkladech.
Metody hodnocení
ústní zkouška + 3 úkoly
Informace učitele
Výuka probíhá většinou v češtině nebo dle potřeby v angličtině, příslušná terminologie je za všech okolností uváděna i s anglickými ekvivalenty. Mezi cílové dovednosti studia patří schopnost používat anglický jazyk pasivně i aktivně ve vlastní odbornosti a také v potenciálních oblastech aplikací matematiky. Hodnocení ve všech případech může probíhat v češtině i v angličtině, dle volby studenta.
Další komentáře
Studijní materiály
Předmět je vyučován každoročně.
Předmět je zařazen také v obdobích jaro 2020, jaro 2021, jaro 2023, jaro 2024, jaro 2025.