M7350 Algebra III

Přírodovědecká fakulta
podzim 2022
Rozsah
2/1/0. 5 kr. Ukončení: zk.
Vyučující
prof. RNDr. Jiří Rosický, DrSc. (přednášející)
Kristóf Kanalas, MSc (cvičící)
Garance
prof. RNDr. Jiří Rosický, DrSc.
Ústav matematiky a statistiky – Ústavy – Přírodovědecká fakulta
Dodavatelské pracoviště: Ústav matematiky a statistiky – Ústavy – Přírodovědecká fakulta
Rozvrh
Út 10:00–11:50 M6,01011
  • Rozvrh seminárních/paralelních skupin:
M7350/01: Čt 10:00–10:50 M3,01023, K. Kanalas
Předpoklady
Algebra I, Algebra II
Omezení zápisu do předmětu
Předmět je otevřen studentům libovolného oboru.
Cíle předmětu
Cílem předmětu je navázat na bakalářský kurz algebry a seznámit studenty s vybranými oblastmi moderní algebry. Zejména:
- zavést jazyk teorie kategorií a ilustrovat jej na příkladech;
- vysvětlit pojem univerzální algebry s důrazem na termy a volné algebry;
- prezentovat základy teorie modulů s důrazem na volné, projektivní, ploché a injektivní moduly.
Výstupy z učení
Student bude po absolvování předmětu schopen:
- přemýšlet v jazyce teorie kategorií;
- použít hlavní myšlenky univerzální algebry, včetně termů a volných algeber;
- chápat teorii modulů jako zobecnění lineární algebry;
- uplatnit získané znalosti v jiných oblastech matematiky.
Osnova
  • 1. Kategorie: kategorie, funktory, přirozené transformace, příklady. 2. Univerzální algebry: univerzální algebry, podalgebry, součiny, faktorové algebry, termy, volné algebry, Birkhoffova věta. 3. Moduly: moduly, podmoduly, homomorfismy, faktorové moduly, součiny, přímé součty, jádra, kojádra. 4. Volné a projektivní moduly: volné moduly, projektivní moduly, polojednoduché moduly. 5. Tenzorový součin: tenzorový součin a jeho vlastnosti. 6. Ploché moduly: ploché moduly, direktní kolimity, Lazardova věta, regulární okruhy. 7. Injektivní moduly: injektivní moduly, injektivní obal.
Literatura
  • Jiří ROSICKÝ, Algebra 3, učební text
  • J. R. Rotman, Advanced Modern Algebra, AMS 2017
  • BICAN, Ladislav a Jiří ROSICKÝ. Teorie svazů a univerzální algebra. Vyd. 1. Praha: Ministerstvo školství, mládeže a tělovýchovy ČSR, 1989, 84 s. info
Výukové metody
Přednáška: teoretická výuka založená na zadané literatuře doplněná příklady a aplikacemi. Bude se konat prezenčně, v případě potřeby on-line.
Cvičení: teoretické cvičení zaměřené na procvičení základních pojmů a tvrzení.
Metody hodnocení
Přednáška zakončena ústní zkoušku. Zkouška proběhne prezenčně, v případě nutnosti distančně, pomocí Zoom. Účast na přednášce žádoucí. Domácí práce zadávána, odevzdávána ve cvičení.
Vyučovací jazyk
Angličtina
Další komentáře
Studijní materiály
Předmět je vyučován každoročně.
Předmět je zařazen také v obdobích podzim 2019, podzim 2020, podzim 2021, podzim 2023, podzim 2024.