M6170 Analýza v komplexním oboru

Přírodovědecká fakulta
jaro 2008 - akreditace
Rozsah
4/2/0. 6 kr. (příf plus uk plus > 4). Ukončení: zk.
Vyučující
doc. RNDr. Josef Kalas, CSc. (přednášející)
Garance
doc. RNDr. Josef Kalas, CSc.
Ústav matematiky a statistiky – Ústavy – Přírodovědecká fakulta
Kontaktní osoba: doc. RNDr. Josef Kalas, CSc.
Předpoklady
( M3100 Matematická analýza III || M4502 Matematická analýza 3 ) && M2110 Lineární algebra II
Matematická analýza: Diferenciální počet funkcí jedné i více proměnných, integrální počet, číselné a funkční posloupnosti a řady, metrické prostory. Lineární algebra: Systémy lineárních rovnic, determinanty, matice, lineární prostory, lineární transformace.
Omezení zápisu do předmětu
Předmět je nabízen i studentům mimo mateřské obory.
Mateřské obory/plány
Cíle předmětu
Analýza v komplexním oboru je klasickou partií matematematické analýzy. Má různé elegantní a mnohdy i nečekané aplikace v mnoha oblastech matematiky. Je účinným nástrojem i mimo matematiku, hlavně ve fyzice a technice. Kurs je zaměřen zejména na integraci v C a Cauchyovu teorii, vlastnosti holomorfních funkcí, teorii reziduí a její aplikace, celé a meromorfní funkce, základy teorie konformního zobrazení.
Osnova
  • 1. Úvod do předmětu - komplexní čísla, přímka, kružnice, zobecněná kružnice, afinita v C a její speciální případy. Topologické základy, stereografická projekce, Gaussova a rozšířená Gaussova rovina. Posloupnosti a řady komplexních čísel. 2. Funkce komplexní proměnné - spojitost, komplexní diferencovatelnost, Cauchy-Riemannovy rovnice, holomorfní funkce. Řady funkcí, mocninné řady. Elementární funkce, mocnina,odmocnina, exponenciální, logaritmické, goniometrické, cyklometrické, hyperbolické a hyperbolometrické funkce, obecná mocnina. 3. Integrál, Cauchyova teorie - křivky v C, integrace v komplexním oboru, primitivní funkce, nezávislost na integrační cestě. Cauchyova věta, Cauchyovy integrální vzorce. 4. Vlastnosti holomorfních funkcí - Liouvilleova věta, Cauchyova nerovnost, Morerova věta, řady a posloupnosti holomorfních funkcí, Taylorův rozvoj, věta o jednoznačnosti, princip maxima modulu. 5. Teorie reziduí - Laurentova řada, izolované singularity, reziduum funkce v bodě, reziduová věta, aplikace teorie reziduí. 6. Celé funkce - definice celé funkce, rozdělení celých funkcí, nekonečné součiny čísel a funkcí, Weierstrasovy věty, řád celé funkce, Hadamardova věta. 7. Meromorfní funkce - logaritmická derivace, princip argumentu, Rouchéova věta. Funkce mermorfní v oblasti, věta o jednoznačnosti. Meromorfní funkce v C, Mittag-Lefflerovy věty, Cauchyova věta o rozvoji meromorfní funkce. 8. Úvod do teorie konformního zobrazení - homografie, konformní zobrazení a jeho vlastnosti, hlavní úloha konformního zobrazení, Riemannova věta, princip vzájemně jednoznačného přiřazení hranic, princip symetrie, Schwarz-Christoffelova věta.
Literatura
  • KALAS, Josef. Analýza v komplexním oboru. 1. vyd. Brno: Masarykova univerzita v Brně, 2006, 202 s. ISBN 80-210-4045-9. info
  • ČERNÝ, Ilja. Analýza v komplexním oboru. 1. vyd. Praha: Academia, 1983, 822 s. info
  • NOVÁK, Vítězslav. Analýza v komplexním oboru. 1. vyd. Praha: Státní pedagogické nakladatelství, 1984, 103 s. info
  • VESELÝ, Jiří. Komplexní analýza. 1. vyd. Praha: Univerzita Karlova v Praze, Nakladatelství Karolinum, 2000, 244 s. ISBN 80-246-0202-4. info
  • LANG, Serge. Complex Analysis. 3. vyd. Springer-Verlag, 1993, 458 s. ISBN 0-387-97886-0. info
  • JEVGRAFOV, Marat Andrejevič. Funkce komplexní proměnné. Translated by Ladislav Průcha. Vyd. 1. Praha: SNTL - Nakladatelství technické literatury, 1981, 379 s. URL info
  • JEVGRAFOV, Marat Andrejevič. Sbírka úloh z teorie funkcí komplexní proměnné. Translated by Anna Něničková - Věra Maňasová - Eva Nováková. Vyd. 1. Praha: SNTL - Nakladatelství technické literatury, 1976, 542 s. URL info
Metody hodnocení
Výuka: přednáška, klasické cvičení. Zkouška: písemná a ústní.
Informace učitele
Požadavky na úspěšné zakončení předmětu: Písemná část zkoušky prokazuje schopnost praktické aplikace získaných poznatků na konkrétní příklady a dosažení potřebné početní praxe. Při písemné části lze dosáhnout maximálního počtu 4 bodů. K postoupení k ústní části zkoušky je třeba získat alespoň 1,5 bodu. V průběhu ústní zkoušky je požadováno pochopení zavedených pojmů, porozumění vyloženým větám a schopnost jejich formulace. Je vyžadována znalost jednodušších důkazů a myšlenkových postupů složitějších důkazů.
Další komentáře
Předmět je vyučován každoročně.
Výuka probíhá každý týden.
Předmět je zařazen také v obdobích jaro 2011 - akreditace, jaro 2002, jaro 2003, jaro 2004, jaro 2005, jaro 2006, jaro 2007, jaro 2008, jaro 2009, jaro 2010, jaro 2011, jaro 2012, jaro 2012 - akreditace, jaro 2013, jaro 2014, jaro 2015, jaro 2016, jaro 2017, jaro 2018, jaro 2019, jaro 2020, jaro 2021, jaro 2022, jaro 2023, jaro 2024, jaro 2025.