3 Obyčejné diferenciální rovniceNávody k řešení různých speciálních typů diferenciálních rovnic je možné nalézt v literatuře, např. v publikacích: Plch (2002); Bartsch (2008); Rektorys (2009).

3.1 Obyčejné diferenciální rovnice 1. řádu

Obyčejnými lineárními diferenciálními rovnicemi nazýváme rovnice, obsahující derivace funkce jedné nezávislé proměnné (zpravidla značíme $x$, závisle proměnnou obvykle značíme $y(x)$) v obecném tvaru

$$ y^{(n)}+a_{n-1}(x)y^{(n-1)}+\ldots +a_1(x)y^\prime+a_0(x)=f(x), $$

3.1

kde $y^{(k)}$ značí $k$-tou derivaci funkce $y(x)$. Členy $a_k(x)$ jsou koeficienty, které mohou být funkcemi proměnné $x$, pokud jsou konstantní, mluvíme o diferenciální rovnici s konstantními koeficienty, a funkce $f(x)$ představuje pravou stranu diferenciální rovnice. Pokud $f(x)=0$, potom se jedná o homogenní diferenciální rovnici (rovnici bez pravé strany). Diferenciální rovnice s derivacemi funkcí více nezávislých proměnných nazýváme parciální diferenciální rovnice (viz příloha B). Řád diferenciální rovnice je dán nejvyšším řádem derivace závisle proměnné $y(x)$, který se v rovnici vyskytuje, v případě rovnic 1. řádu půjde o 1. derivaci $y^\prime=\text{d} y/\text{d} x$.

nahoru

3.1.1 Rovnice separovatelné a homogenní

Pokud lze diferenciální rovnici 1. řádu vyjádřit v jednoduchém tvaru $ y^\prime=f(x),$ řešíme ji přímou integrací, tj.

$$ y=\int f(x)\,\text{d} x.$$

3.2

Pokud lze diferenciální rovnici 1. řádu vyjádřit ve tvaru $ y^\prime=f(x)g(y),$ kde $g(y)\ne 0$, řešíme ji rozdělením funkcí s nezávisle proměnnou $x$ a se závisle proměnnou $y$ na různé strany rovnice (separací proměnných), tedy

$$ \int\frac{\text{d} y}{g(y)}=\int f(x)\,\text{d} x. $$

3.3

Funkci $f(x,y)$ nazýváme homogenní, $n$-tého stupně, pokud pro všechna $x,y$ a pro všechna $z>0$, kde $z$ je libovolný parametr, platí $f(zx,zy)=z^nf(x,y)$. Obyčejná diferenciální rovnice 1. řádu

$$ M(x,y)\,\text{d} x+N(x,y)\,\text{d} y=0 $$

3.4

je homogenní, pokud $M(x,y)$ a $N(x,y)$ jsou homogenní funkce stejného stupně. Pokud je homogenní rovnice zapsána v obecném tvaru 3.4, resp. ve tvaru

$$y^\prime=f\left(\frac{y}{x}\right), $$

3.5

řešíme ji vhodnou substitucí, například $y=zx$ a převedeme na separovatelnou rovnici. Obdobně rovnici ve tvaru

$$ y^\prime=f\left(\text{a} x+\text{b} y+\text{c}\right) $$

3.6

převedeme na rovnici se separovatelnými proměnnými pomocí substituce $z=\text{a} x+\text{b} y+\text{c}$. Rovnice ve tvaru racionální funkce

$$y^\prime=\frac{\text{a} x+\text{b} y+\text{c}}{\text{A} x+\text{B} y+\text{C}}, $$

3.7

pokud výrazy $\text{a} x+\text{b}{y}$, $\text{A} x+\text{B} y$ nejsou lineárně závislé, řešíme eliminací absolutních členů $c,\,C$ pomocí substituce $u=x-x_0,\,v=y-y_0$, kde $x_0,\,y_0$ jsou kořeny soustavy rovnic $\text{a} x+\text{b} y+\text{c}=0$, $\text{A} x+\text{B} y+\text{C}=0$ a následným převedením na tvar rovnice 3.5. Pokud výrazy $\text{a} x+\text{b} y$, $\text{A} x+\text{B} y$ jsou lineárně závislé (soustava nemá řešení), soustavu řešíme pomocí substituce $\text{a} x+\text{b} y=z$ (nebo $\text{A} x+\text{B} y=z$), která umožní její následné převedení na tvar rovnice 3.5.

Řešení diferenciálních rovnic 1. řádu obsahují vždy jednu nezávislou (integrační) konstantu. Její hodnotu získáme z tzv. počáteční (Cauchyho) podmínky, kdy $y(x_{\text{p}})=y_{\text{p}}.$

nahoru

Příklady

3.1

$\dfrac{yy^\prime}{\sqrt{1+y^2}}+\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}=0$

$\sqrt{1+y^2}=\text{C}-\sqrt{1+x^2}$

3.2

$(x^2–1)y^3-\text{e}^xy^\prime=0$

$y=0\,\vee\,\dfrac{1}{2y^2}-(x+1)^2\,\text{e}^{-x}=\text{C},\,\,y\ne 0$

3.3

$y^\prime=3^{3x+2y},\,\,y(0)=1$

$y=-\dfrac{\log_3\left(\frac{7}{9}-\frac{2}{3}\cdot 3^{3x}\right)}{2},\,\,x<\dfrac{1}{3}\log_3\dfrac{7}{6}$

3.4

$x^2(y^3+5)\,\text{d} x+(x^3+5)y^2\,\text{d} y=0,\,\,y(0)=1$

$(y^3+5)(x^3+5)=30$

3.5

$y^\prime=\cos(x-y),\,\,y(0)=\dfrac{\pi}{2}$

$y=x+2\,\text{arccotg}\,(x+1)+2k\pi,\,\,k\in\mathbb{Z}$

3.6

$x^2\left(y^\prime-\dfrac{1}{\ln x}\right)=xy$

$y=x\ln(\text{C}\,|\ln x|),\,\,x>0,\,\text{C}>0,\,x\ne 1$

3.7

$y^\prime=\sqrt{2x+y-3},\,\,y(0)=3$

$2(\sqrt{2x+y-3}+2)-4\ln(\sqrt{2x+y-3}+2)=x-(4\ln 2–4),\,\,2x+y-3\ge 0$

3.8

$(x+y)^2y^\prime=4,\,\,y(0)=2$

$y=2\,\text{arctg}{x}\left(\dfrac{x+y}{2}\right)-\dfrac{\pi}{2}+2$

3.9

$y^\prime=\dfrac{y}{x}\left(1+\ln\dfrac{y}{x}\right)$

$y=x\,\text{e}^{\text{C} x},\,\,\dfrac{y}{x}>0$

3.10

$y^\prime=\dfrac{y}{x}+\text{tg}\dfrac{y}{x}$

$y=0\,\vee\,\sin\dfrac{y}{x}=\text{C} x,\,\,x\ne 0,\,y\ne(2k+1)\dfrac{\pi}{2}\,x,\,k\in\mathbb{Z}$

3.11

$x^2y^\prime=xy+\ln x$

$y=-\dfrac{2\ln x+1}{4x}+\text{C} x,\,\,x>0$

3.12

$xy^\prime=y+\dfrac{y}{x}$

$y=\text{C} x\,\text{e}^{-\frac{1}{x}}\vee y=0,\,\,x\ne 0$

3.13

$x^3y^\prime=x^2[y+\ln(x^2)]$

$y=-2\left(\ln|x|+1\right)+\text{C} x,\,\,x\ne 0$

3.14

$y^\prime=1+(x-y)^2$

$ y=x-\dfrac{1}{x+\text{C}},\,\,x\ne -\text{C}$

3.15

$y^\prime=(y+x)\ln(y+x)-1$

$y=\text{e}^{\text{C}\,\text{e}^x}-x,\,\,x\in\mathbb{R}$

3.16

$y^\prime=\dfrac{\text{e}^{(x+y)^2}}{x+y}-1$

$y=\pm\sqrt{\ln\left(\dfrac{1}{\text{C}-2x}\right)}-x,\,\,x\in(-\infty,\dfrac{\text{C}}{2})$.

3.17

$y^\prime=\text{e}^{y+x^2}-2x$

$y=\ln\left[(\text{C}-x)^{-1}\right]-x^2,\,\,x\in(-\infty,\text{C})$.

3.18

$y^\prime=\dfrac{x+2y-7}{x-3}$

$ x+y-5=\text{C}(x-3)^2,\,\,x\ne 3$

3.19

$y^\prime=\dfrac{1+9x-3y}{3x-y}$

$(3x-y)^2+2x=\text{C},\,\,y\ne 3x$

3.20

$y^\prime=\dfrac{2x-y+3}{x-2y+3}$

$x^2+y^2-xy+3x-3y=\text{C},\,\,2y\ne x+3$

3.21

$y^\prime=\dfrac{x-y}{x+y}$

$y=\pm\sqrt{\text{C}+2x^2}-x,\,\,2x^2+\text{C}\ge 0$

nahoru

3.1.2 Nehomogenní rovnice

Nehomogenní lineární diferenciální rovnici 1. řádu (nazývanou také rovnice s pravou stranou), zapsanou v obecném tvaru

$$y^\prime+P(x)y=Q(x),$$

3.8

kde $Q(x)\neq 0$, řešíme metodou variace konstanty. Nejprve řešíme homogenní rovnici ve tvaru $y^\prime+P(x)y=0$, kdy její integrační konstantou $\text{C}$ bude obecná funkce nezávisle proměnné $C(x)$, obecné řešení tedy bude

$$y=C(x)\,\text{e}^{-\int P(x)\,\text{d} x}. $$

3.9

Funkci $C(x)$ nalezneme dosazením rovnice 3.9 do rovnice 3.8), její tvar bude

$$ C(x)=\int Q(x)\,\text{e}^{\int P(x)\,\text{d} x}\,\text{d} x+\text{K}, $$

3.10

kde K je konstanta. Takto získaný výraz pro funkci $C(x)$ dosadíme do rovnice 3.9, výsledné partikulární řešení bude

$$ y=\left(\int Q(x)\,\text{e}^{\int P(x)\,\text{d} x}\,\text{d} x+\text{K}\right)\text{e}^{-\int P(x)\,\text{d} x}. $$

3.11

nahoru

Příklady

3.22

$y^\prime+2xy=x\,\text{e}^{-x^2}\sin x,\,\,y(0)=1$

$ y=(\sin x-x\cos x+1)\,\text{e}^{-x^2}$

3.23

$y^\prime+y\cos x=\cos x$

$ y=\text{C}\,\text{e}^{-\sin x}+1$

3.24

$(1+x^2)y^\prime-2xy=(1+x^2)^2$

$y=(x+\text{C})(1+x^2)$

3.25

$y^\prime−6xy=4x\,\text{e}^{3x^2},\,\,y(0)=1$

$y=\left(2x^2+1\right)\,\text{e}^{3x^2}$

3.26

$y^\prime+3x\,\text{e}^{3x}=-y+7,\,\,y(0)=7$

$y=7+\left(\dfrac{3}{16}-\dfrac{3}{4}x\right)\,\text{e}^{3x}-\dfrac{3}{16}\,\text{e}^{-x}$

3.27

$xy^\prime+y=x\sin x,\,\,y\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=0$

$y=\dfrac{\sin x-1}{x}-\cos x,\,\,x\ne 0$

3.28

$y^\prime=2x+3y+2$, $y(0)=0$

$y=\dfrac{8}{9}\left(\text{e}^{3x}-1\right)-\dfrac{2x}{3}$

3.29

$y^\prime=4x^2+3y-1$, $y(0)=0$

$y=\dfrac{1}{27}\left(1-\text{e}^{3x}\right)-\dfrac{4}{3}x^2-\dfrac{8}{9}x$

3.30

$y^\prime=2x^2-y+1$, $y(0)=0$

$y=2x^2–4x+5\left(1-\text{e}^{-x}\right)$

3.31

$y^\prime=2x^3-y+1$, $y^\prime(0)=0$

$y=2x^3–6x^2–11+12(x+\text{e}^{-x})$

3.32

$y^\prime=−\dfrac{4x}{x^2+1}y+\dfrac{1}{x^2+1},\,\,y(0)=1$

$y=\dfrac{1}{3}\left(x^3+3x+3\right)\left(x^2+1\right)^{-2}$

nahoru

3.1.3 Bernoulliova rovnice

Bernoulliovou rovnicí nazýváme diferenciální rovnici 1. řádu s $n$-tou mocninou závisle proměnné $y(x)$ ve tvaru

$ y^\prime+p(x)\,y+q(x)\,y^n=0$, kde $n\in\mathbb{R}$,

3.12

která má i přes svoji nelinearitu analytické řešení. Pokud $n=0$, přejde Bernoulliova rovnice na nehomogenní lineární rovnici 3.8, pro $n=1$ přejde na jednoduše separovatelnou homogenní lineární rovnici 3.3. Pomocí substituce

$ z=y^{1-n}$ pro $n\ne 0,1 $

3.13

dostaneme nehomogenní lineární diferenciální rovnici 1. řádu typu 3.8 ve tvaru

$$ z^\prime+\left(1-n\right)p(x)z+\left(1-n\right)q(x)=0. $$

3.14

nahoru

Příklady

3.33

$y^\prime=6x^2y^3$

$y^2=\dfrac{1}{\text{C}-4x^3},\,\,y=0,\,\,4x^3<\text{C}$

3.34

$xy^\prime-y=−xy^2$

$y=\dfrac{2x}{x^2+\text{C}},\,\,y=0,\,\,x^2\ne -\text{C}$

3.35

$y^\prime+\dfrac{4}{x}y=x^3y^2$

$y=\dfrac{1}{x^4(\text{C}-\ln x)},\,\,y=0,\,\,x>0$

3.36

$y^\prime+\dfrac{y}{x}-\sqrt{y}=0$

$y=\left(\dfrac{x}{3}+\dfrac{\text{C}}{\sqrt{x}}\right)^2,\,\,y=0,\,\,x>0,\,\,x^{\frac{3}{2}}\ge -3\text{C}$

3.37

$y^\prime+xy=xy^3,\,\, y^2(0)=\dfrac{1}{2}$

$y^2=\left(\text{e}^{x^2}+1\right)^{-1},\,\,y=0$

3.38

$xy^\prime+y=y^2\ln x,\,\,y(1)=-{1}$

$y=\dfrac{1}{1+\ln x-2x},\,\,y=0$

3.39

$2xyy^\prime-y^2=x^2,\,\,y(1)=0$

$y^2-x^2=x$

3.40

$x^2y^2y^\prime+xy^3=1,\,\,y(-2)=-1$

$y^3=\dfrac{2}{x^3}+\dfrac{3}{2x}$

nahoru

3.1.4 Rovnice exaktní

Rovnici ve tvaru 3.4 nazýváme exaktní, pokud výraz na její levé straně je totálním diferenciálem nějaké skalární (tzv. kmenové) funkce $F(x,y)$, tedy (podrobněji v kapitole 5.2)

$$ \text{d} F(x,y)=\frac{\partial F(x,y)}{\partial x}\,\text{d} x+\frac{\partial F(x,y)}{\partial y}\,\text{d} y. $$

3.15

Funkce $M(x,y),\,N(x,y)$ z rovnice 3.4 odpovídají jednotlivým parciálním derivacím (tj. složkám gradientu – viz kapitola 5.1) skalární funkce funkce $F(x,y)$ v pořadí podle rovnice 3.15. Pokud jsou obě funkce $M(x,y),\,N(x,y)$ spojitě diferencovatelné, musí podle Schwarzovy věty o rovnosti smíšených derivací platit,

$$ \frac{\partial M(x,y)}{\partial y}=\frac{\partial N(x,y)}{\partial x}. $$

3.16

K vyřešení rovnice 3.4 je třeba najít kmenovou funkci $F(x,y)$, jejíž obecné řešení zpravidla zapíšeme ve tvaru $F(x,y)=\text{C}$. Pokud rovnice 3.16 neplatí, rovnice 3.4 není rovnicí exaktní. Pokud však nalezneme funkci $R(x,y)$ (tzv. integrační faktor) takovou, že platí

$$ R(x,y)\left[M(x,y)\,\text{d} x+N(x,y)\,\text{d} y\right]=0, $$

3.17

rovnice 3.17 bude rovnicí exaktní. Pro spojitě diferencovatelné funkce $M(x,y)\ne 0,N(x,y)\ne 0$ takový integrační faktor $R(x,y)$ existuje.

nahoru

Příklady

3.41

$2xy-9x^2+\left(2y+x^2+1\right)y^\prime=0$

$y^2+\left(x^2+1\right)y-3x^3=\text{C}$

3.42

$(2xy+6x)\,\text{d} x+(x^2+4y^3)\,\text{d} y=0$

$x^2y+3x^2+y^4=\text{C}$

3.43

$\left(8y−x^2y\right)y^\prime+x−xy^2=0$

$\dfrac{1}{2}x^2\left(1−y^2\right)+4y^2=\text{C}$

3.44

$\left(\text{e}^{4x}+2xy^2\right)\,\text{d} x+\left(\cos y+2x^2y\right)\,\text{d} y=0$

$\dfrac{1}{4}\,\text{e}^{4x}+x^2y^2+\sin y=\text{C}$

3.45

$\left(3x^2+y\cos x\right)\,\text{d} x+\left(\sin x−4y^3\right)\,\text{d} y=0$

$x^3+y\sin x−y^4=\text{C}$

3.46

$x\,\text{arctg}\,y\,\text{d} x+\dfrac{x^2}{2(1+y^2)}\,\text{d} y=0$

$\dfrac{x^2}{2}\,\text{arctg}\, y=\text{C}$

3.47

$\left(2x+x^2y^3\right)\,\text{d} x+\left(x^3y^2+4y^3\right)\,\text{d} y=0$

$x^2+\dfrac{x^3y^3}{3}+y^4=\text{C}$

3.48

$\left(2x^3−3x^2y+y^3\right)y^\prime=2x^3−6x^2y+3xy^2$

$\dfrac{x^4}{2}−2x^3y+\dfrac{3}{2}x^2y^2−\dfrac{y^4}{4}=\text{C}$

3.49

$\left(y^2\cos x−\sin x\right)\,\text{d} x+\left(2y\sin x+2\right)\,\text{d} y=0$

$y^2\sin x+\cos x+2y=\text{C}$

3.50

$2xy^2\,\text{d} x+\left(3x^2y+4\right)\,\text{d} y=0$

$x^2y^3+2y^2=\text{C}$

3.51

$\left(2y+4x^2y^2\right)\,\text{d} x+\left(x+2yx^3\right)\,\text{d} y=0$

$x^2y+x^4y^2=\text{C}$

3.52

$2xy\,\text{d} x+\left(y^2–3x^2\right)\,\text{d} y=0$

$\dfrac{x^2}{y^3}-\dfrac{1}{y}=\text{C}$