Přechod na menu, Přechod na obsah, Přechod na patičku

Sbírka řešených příkladů z matematické analýzy I
Přírodovědecká fakulta Masarykovy univerzity
Mgr. Petr Zemánek, Ph.D., Mgr. Petr Hasil, Ph.D.

Ovládání příkladů

Rozbalit zadání Rozbalit řešení Rozbalit vše

Zpět nahoru

II. 1. Základní integrační metody

Definice 28

Nechť funkce $f$ je definována na intervalu $I$ . Funkce $F$ se nazývá primitivní k funkci $f$ na $I$ , jestliže platí $F'(x)=f(x)$ pro každé $x\in I$ . Množina všech primitivních funkcí k funkci $f$ na $I$ se nazývá neurčitý integrál z funkce $f$ a značí se $\int f(x)\,\mathrm{d}x$ , tj.

$\displaystyle\int f(x)\,\mathrm{d}x:=\left\{F:~F~\text{je primitivní funkce k $f(x)$ na $I$}\right\}.$

Základní vzorce pro integrování ( $k\in\mathbb{R}$ ):

$\displaystyle\int \left(f(x)\pm g(x)\right)\,\mathrm{d}x$	$=\displaystyle\int f(x)\,\mathrm{d}x\pm \displaystyle\int g(x)\,\mathrm{d}x,$
$\displaystyle\int k\cdot f(x)\,\mathrm{d}x$	$=k\cdot\displaystyle\int f(x)\,\mathrm{d}x.$

Integrování elementárních funkcí $(a,b,k,C,\alpha,\beta\in\mathbb{R}$ , $a>0$ , $b\not =0$ jsou dané konstanty a $C$ je integrační konstanta $)$ :

$\displaystyle\int k\,\mathrm{d}x$	$=kx+C,$	$\quad \displaystyle\int x^{n}\,\mathrm{d}x$	$=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C,$
$\displaystyle\int \dfrac{1}{x}\,\mathrm{d}x$	$=\ln \lvert x \rvert +C,$	$\quad \displaystyle\int \operatorname{e}^x\,\mathrm{d}x$	$=\operatorname{e}^x+C,$
$\displaystyle\int a^x\,\mathrm{d}x$	$=\dfrac{a^x}{\ln a}+C,$	$\quad \displaystyle\int \sin x\,\mathrm{d}x$	$=-\cos x+C,$
$\displaystyle\int \cos x\,\mathrm{d}x$	$=\sin x+C,$	$\quad \displaystyle\int \dfrac{1}{x^2+1}\,\mathrm{d}x$	$=\operatorname{arctg} x+C,$
$\displaystyle\int \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,\mathrm{d}x$	$=\operatorname{arcsin} x+C,$	$\quad \displaystyle\int \dfrac{1}{\cos^2 x}\,\mathrm{d}x$	$=\operatorname{tg} x+C,$
$\displaystyle\int \dfrac{1}{\sin^2x}\,\mathrm{d}x$	$=-\operatorname{cotg} x+C,$	$\quad \displaystyle\int \dfrac{f'(x)}{f(x)}\,\mathrm{d}x$	$=\ln \lvert f(x) \rvert +C.$
$\displaystyle\int f(x)\,\mathrm{d}x$	$=F(x)+C\qquad$	$\Longrightarrow\qquad \displaystyle\int f(\alpha x+\beta)\,\mathrm{d}x$	$=\dfrac{1}{\alpha}\,F(\alpha x+\beta)+C.$

Věta 29 (Integrování per-partes)

Nechť funkce $u$ a $v$ mají derivaci na intervalu $I$ . Pak platí

$\displaystyle\int u(x)\cdot v'(x)\,\mathrm{d}x=u(x)\cdot v(x)-\displaystyle\int u'(x)\cdot v(x)\,\mathrm{d}x,$

pokud alespoň jeden z uvedených integrálů existuje.

	$u(x)$	$v'(x)$
$P(x)\cdot\operatorname{e}^{kx}$	$P(x)$	$\operatorname{e}^{kx}$
$P(x)\cdot a^{kx}$	$P(x)$	$a^{kx}$
$P(x)\cdot\sin (kx)$	$P(x)$	$\sin (kx)$
$P(x)\cdot\cos (kx)$	$P(x)$	$\cos (kx)$

	$u(x)$	$v'(x)$
$P(x)\cdot\ln^{n} x$	$\ln^{n} x$	$P(x)$
$P(x)\cdot\log_{b}^{n} x$	$\log_{b}^{n} x$	$P(x)$
$P(x)\cdot\operatorname{arcsin} (kx)$	$\operatorname{arcsin} (kx)$	$P(x)$
$P(x)\cdot\operatorname{arccos} (kx)$	$\operatorname{arccos} (kx)$	$P(x)$
$P(x)\cdot\operatorname{arctg} (kx)$	$\operatorname{arctg} (kx)$	$P(x)$
$P(x)\cdot\operatorname{arccotg} (kx)$	$\operatorname{arccotg} (kx)$	$P(x)$

Tabulka 1. Jak volit funkce při integrování per-partes $(P(x)$ je polynom, $k\in\mathbb{R})$ .

Věta 30 (Substituční metoda)

Nechť funkce $f$ má na otevřeném intervalu $J$ primitivní funkci $F$ , funkce $\varphi$ má derivaci na otevřeném intervalu $I$ a pro libovolné $x\in I$ je $\varphi(x)\in J$ . Pak má složená funkce $f(\varphi)\,\varphi'$ na intervalu $I$ primitivní funkci a platí

$\displaystyle\int f[\varphi(x)]\,\varphi'(x)\,\mathrm{d}x \left\|\begin{matrix} \varphi(x)=u\\ \varphi'(x)\,\mathrm{d}x=\mathrm{d}u \end{matrix}\right\|$	$= \displaystyle\int f(u)\,\mathrm{d}u= F(u)+C= F[\varphi(x)]+C.$

Příklad č. 314» Zobrazit zadání «

Vypočtěte

$\displaystyle\int x\, \mathrm{d}x.$

Řešení» Zobrazit řešení «

S využitím základních vzorců obdržíme přímo

$\displaystyle\int x\, \mathrm{d}x=\dfrac{x^2}{2}+C.$

Příklad č. 315» Zobrazit zadání «

Vypočtěte

$\displaystyle\int \dfrac{1}{x^2}\, \mathrm{d}x.$

Řešení» Zobrazit řešení «

S využitím základních vzorců obdržíme přímo

$\displaystyle\int \dfrac{1}{x^2}\, \mathrm{d}x=\displaystyle\int x^{-2}\, \mathrm{d}x=\dfrac{x^{-1}}{-1}+C=-\dfrac{1}{x}+C.$

Příklad č. 316» Zobrazit zadání «

Vypočtěte

$\displaystyle\int \sqrt{x}\, \mathrm{d}x.$

Řešení» Zobrazit řešení «

S využitím základních vzorců obdržíme přímo

$\displaystyle\int \sqrt{x}\, \mathrm{d}x=\displaystyle\int x^{1/2}\, \mathrm{d}x=\dfrac{x^{3/2}}{3/2}+C=\dfrac{2}{3}\sqrt{x^{3}}+C.$

Příklad č. 317» Zobrazit zadání «

Vypočtěte

$\displaystyle\int \dfrac{1}{\sqrt[3]{x}}\, \mathrm{d}x.$

Řešení» Zobrazit řešení «

S využitím základních vzorců obdržíme přímo

$\displaystyle\int \dfrac{1}{\sqrt[3]{x}}\, \mathrm{d}x=\displaystyle\int x^{-1/3}\, \mathrm{d}x=\dfrac{x^{2/3}}{2/3}+C=\dfrac{3}{2}\sqrt[3]{x^{2}}+C.$

Příklad č. 318» Zobrazit zadání «

Vypočtěte

$\displaystyle\int \operatorname{e}^{-x}\, \mathrm{d}x.$

Řešení» Zobrazit řešení «

S využitím základních vzorců obdržíme přímo

$\displaystyle\int \operatorname{e}^{-x}\, \mathrm{d}x=-\operatorname{e}^{-x}+C.$

Příklad č. 319» Zobrazit zadání «

Vypočtěte

$\displaystyle\int \dfrac{1}{x^2+3}\, \mathrm{d}x.$

Řešení» Zobrazit řešení «

S pomocí úpravy můžeme využít jeden ze základních vzorců, tj.

$\displaystyle\int \dfrac{1}{x^2+3}\, \mathrm{d}x=\dfrac{1}{3}\displaystyle\int \dfrac{1}{\frac{x^2}{3}+1}\, \mathrm{d}x=\dfrac{1}{3}\displaystyle\int \dfrac{1}{\left(\frac{x}{\sqrt{3}}\right)^{2}+1}\, \mathrm{d}x=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\operatorname{arctg} \dfrac{x}{\sqrt{3}}+C.$

Příklad č. 320» Zobrazit zadání «

Vypočtěte

$\displaystyle\int \dfrac{1}{\sqrt{4-x^2}}\, \mathrm{d}x.$

Řešení» Zobrazit řešení «

S pomocí úpravy můžeme využít jeden ze základních vzorců, tj.

$\displaystyle\int \dfrac{1}{\sqrt{4-x^2}}\, \mathrm{d}x=\displaystyle\int \dfrac{1}{2\sqrt{1-\frac{x^2}{4}}}\, \mathrm{d}x=\dfrac{1}{2}\displaystyle\int\dfrac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{x}{2}\right)^{2}}}\, \mathrm{d}x=\operatorname{arcsin}\dfrac{x}{2}+C.$

Příklad č. 321» Zobrazit zadání «

Vypočtěte

$\displaystyle\int \dfrac{3x^2+1}{x^3+x+2}\, \mathrm{d}x.$

Řešení» Zobrazit řešení «

S využitím základních vzorců obdržíme přímo

$\displaystyle\int \dfrac{3x^2+1}{x^3+x+2}\, \mathrm{d}x=\ln \lvert x^3+x+2 \rvert +C.$

Příklad č. 322» Zobrazit zadání «

Vypočtěte

$\displaystyle\int \left(\dfrac{2}{\cos^2 x}-3\sin 5x+2\cos\dfrac{x}{2}+3^x-\dfrac{7}{2^x}+\dfrac{4}{3-x}-\dfrac{2}{3x+2}+2\operatorname{e}^{\frac{2x}{3}}\right)\mathrm{d}x.$

Řešení» Zobrazit řešení «

Aplikací základních vzorců získáme

	$\displaystyle\int \left(\dfrac{2}{\cos^2 x}-3\sin 5x+2\cos\dfrac{x}{2}+3^x-\dfrac{7}{2^x}+\dfrac{4}{3-x}-\dfrac{2}{3x+2}+2\operatorname{e}^{\frac{2x}{3}}\right) \mathrm{d}x=$
	$\hspace*{5mm}= 2\operatorname{tg} x +\dfrac{3}{5}\cos 5x+4\sin\dfrac{x}{2}+\dfrac{3^x}{\ln 3}+\dfrac{7}{2^x\ln2}-$
	$\hspace*{9mm}-4\ln \left\lvert 3-x \right\rvert -\dfrac{2}{3}\ln \left\lvert 3x+2 \right\rvert +3\operatorname{e}^{\frac{2x}{3}}+C.$

Příklad č. 323» Zobrazit zadání «

Vypočtěte

$\displaystyle\int \operatorname{tg}^2\,(au)\, \mathrm{d}u,\quad a\not =0.$

Řešení» Zobrazit řešení «

Postupným upravováním obdržíme

$\displaystyle\int \operatorname{tg}^2\,(au)\, \mathrm{d}u$	$=\displaystyle\int \dfrac{\sin^2\,(au)}{\cos^2\,(au)}\, \mathrm{d}u=\displaystyle\int \dfrac{1-\cos^2\,(au)}{\cos^2\,(au)}\, \mathrm{d}u=$
	$=\displaystyle\int \dfrac{1}{\cos^2\,(au)}\, \mathrm{d}u-\displaystyle\int 1\, \mathrm{d}u=$
	$=\dfrac{1}{a}\mathop{\operatorname{tg}} (au)-u+C.$

Příklad č. 324» Zobrazit zadání «

Vypočtěte

$\displaystyle\int \operatorname{tg} (bs)\, \mathrm{d}s,\quad b\not =0.$

Řešení» Zobrazit řešení «

Ze základních vzorců získáme

$\displaystyle\int \operatorname{tg}(bs)\, \mathrm{d}s=\displaystyle\int \dfrac{\sin\,(bs)}{\cos\,(bs)}\, \mathrm{d}s=-\dfrac{1}{b}\ln \lvert \cos\,(bs) \rvert +C.$

Příklad č. 325» Zobrazit zadání «

Vypočtěte

$\displaystyle\int \dfrac{x}{\cos^2x}\, \mathrm{d}x.$

Řešení» Zobrazit řešení «

S využitím metody per-partes dostaneme

	$\displaystyle\int \dfrac{x}{\cos^2x}\, \mathrm{d}x \left\bracevert\begin{matrix} u=x & u'=1 \\ v=\operatorname{tg} x & v'=\dfrac{1}{\cos^2 x} \end{matrix}\right\bracevert = x~\operatorname{tg} x-\displaystyle \int \operatorname{tg} x \, \mathrm{d}x =$
	$\hspace*{5mm} =x~\operatorname{tg} x-\displaystyle \int \dfrac{\sin x}{\cos x} \, \mathrm{d}x =x~\operatorname{tg} x +\ln \lvert \cos x \rvert +C.$

Příklad č. 326» Zobrazit zadání «

Vypočtěte

$\displaystyle\int x\ln x\, \mathrm{d}x.$

Řešení» Zobrazit řešení «

Metodou per-partes získáme

$\displaystyle\int x\ln x\, \mathrm{d}x \left\bracevert\begin{matrix} u=\ln x & u'=\dfrac{1}{x} \\ v=\dfrac{x^2}{2} & v'=x \end{matrix}\right\bracevert = \dfrac{x^2}{2}\ln x-\displaystyle \int \dfrac{x}{2} \, \mathrm{d}x =\dfrac{x^2}{2}\ln x-\dfrac{x^2}{4}+C.$

Příklad č. 327» Zobrazit zadání «

Vypočtěte

$\displaystyle\int (2x-1)\ln x\, \mathrm{d}x.$

Řešení» Zobrazit řešení «

Metodou per-partes získáme

	$\displaystyle\int (2x-1)\ln x\, \mathrm{d}x \left\bracevert\begin{matrix} u=\ln x & u'=\dfrac{1}{x} \\ v=x^2-x & v'=2x-1 \end{matrix}\right\bracevert =$
	$\hspace*{5mm}= (x^2-x)\ln x-\displaystyle\int \dfrac{1}{x}(x^2-x)\, \mathrm{d}x=(x^2-x)\ln x-\displaystyle\int (x-1)\, \mathrm{d}x=$
	$\hspace*{5mm}=(x^2-x)\ln x-\dfrac{x^2}{2}+x+C.$

Příklad č. 328» Zobrazit zadání «

Vypočtěte

$\displaystyle\int (x^2+1)\,\operatorname{e}^{-x}\, \mathrm{d}x.$

Řešení» Zobrazit řešení «

S opakovaným využitím metody per-partes dostaneme

	$\displaystyle\int (x^2+1)\,\operatorname{e}^{-x}\, \mathrm{d}x \left\bracevert\begin{matrix} u=x^2+1 & u'=2x \\ v=-\operatorname{e}^{-x} & v'=\operatorname{e}^{-x} \end{matrix}\right\bracevert =$
	$\hspace*{5mm}=-(x^2+1)\,\operatorname{e}^{-x}+\displaystyle\int 2x\,\operatorname{e}^{-x}\, \mathrm{d}x \left\bracevert\begin{matrix} u=2x & u'=x \\ v=-\operatorname{e}^{-x} & v'=\operatorname{e}^{-x} \end{matrix}\right\bracevert =$
	$\hspace*{5mm}=-(x^2+1)\,\operatorname{e}^{-x}-2x\,\operatorname{e}^{-x}+\displaystyle\int 2\operatorname{e}^{-x}\, \mathrm{d}x=$
	$\hspace*{5mm}=-(x^2+1)\,\operatorname{e}^{-x}-2x\,\operatorname{e}^{-x}+ -2\operatorname{e}^{-x}+C=-\operatorname{e}^{-x}(x^2+2x+3)+C.$

Příklad č. 329» Zobrazit zadání «

Vypočtěte

$\displaystyle\int x^2\operatorname{e}^{-3x}\, \mathrm{d}x.$

Řešení» Zobrazit řešení «

Metodou per-partes získáme

	$\displaystyle\int x^2\operatorname{e}^{-3x}\, \mathrm{d}x \left\bracevert\begin{matrix} u=x^2 & u'=2x \\ v=-\dfrac{1}{3}\operatorname{e}^{-3x} & v'=\operatorname{e}^{-3x} \end{matrix}\right\bracevert =$
	$\hspace*{3mm}= -\dfrac{1}{3}x^2\operatorname{e}^{-3x}+\dfrac{2}{3}\displaystyle\int x\,\operatorname{e}^{-3x}\, \mathrm{d}x \left\bracevert\begin{matrix} u=x & u'=1 \\ v=-\dfrac{1}{3}\operatorname{e}^{-3x} & v'=\operatorname{e}^{-3x} \end{matrix}\right\bracevert =$
	$\hspace*{3mm}= -\dfrac{1}{3}x^2\operatorname{e}^{-3x}-\dfrac{2}{9}x\,\operatorname{e}^{-3x}+\dfrac{2}{9}\displaystyle\int \operatorname{e}^{-3x}\, \mathrm{d}x= -\dfrac{1}{3}\operatorname{e}^{-3x}\left(x^2+\dfrac{2}{3}x+\dfrac{2}{9}\right)+C.$

Příklad č. 330» Zobrazit zadání «

Vypočtěte

$\displaystyle\int \operatorname{e}^x\sin x\, \mathrm{d}x.$

Řešení» Zobrazit řešení «

Po dvojnásobném použití metody per-partes dostaneme

	$\displaystyle\int \operatorname{e}^x\sin x\, \mathrm{d}x \left\bracevert\begin{matrix} u=\operatorname{e}^{x} & u'=\operatorname{e}^{x} \\ v=-\cos x & v'=\sin x \end{matrix}\right\bracevert =$
	$\hspace*{5mm}= -\operatorname{e}^{x}\cos x+\displaystyle\int \operatorname{e}^x\cos x\, \mathrm{d}x \left\bracevert\begin{matrix} u=\operatorname{e}^{x} & u'=\operatorname{e}^{x} \\ v=\sin x & v'=\cos x \end{matrix}\right\bracevert =$
	$\hspace*{5mm}= -\operatorname{e}^{x}\cos x+\operatorname{e}^{x}\sin x-\displaystyle\int \operatorname{e}^x\sin x\, \mathrm{d}x,$

což znamená, že jsme ve výsledku obdrželi stejný integrál jako v zadání pouze s opačným znaménkem, tj.

$\displaystyle\int \operatorname{e}^x\sin x\, \mathrm{d}x=\dfrac{1}{2}\operatorname{e}^{x}\left(\sin x-\cos x\right)+C.$

Příklad č. 331» Zobrazit zadání «

Vypočtěte

$\displaystyle\int \cos^2x\, \mathrm{d}x.$

Řešení» Zobrazit řešení «

S využitím metody per-partes obdržíme

	$\displaystyle\int \cos^2x\, \mathrm{d}x \left\bracevert\begin{matrix} u=\cos x & u'=-\sin x \\ v=\sin x & v'=\cos x \end{matrix}\right\bracevert =$
	$\hspace*{5mm}= \cos x\cdot \sin x+\displaystyle\int \sin^2x\, \mathrm{d}x=\cos x\cdot \sin x+\displaystyle\int \left(1-\cos^2x\right)\, \mathrm{d}x=$
	$\hspace*{5mm}= \cos x\cdot \sin x+\displaystyle\int \left(1-\cos^2x\right)\, \mathrm{d}x=\cos x\cdot \sin x+x-\displaystyle\int \cos^2x\, \mathrm{d}x$

odtud plyne

$\displaystyle\int \cos^2x\, \mathrm{d}x=\dfrac{1}{2}\,(\sin x\cdot \cos x+x)+C.$

Příklad č. 332» Zobrazit zadání «

Vypočtěte

$\displaystyle\int \operatorname{arctg} x\, \mathrm{d}x.$

Řešení» Zobrazit řešení «

Metodou per-partes obdržíme

	$\displaystyle\int \operatorname{arctg} x\, \mathrm{d}x \left\bracevert\begin{matrix} u=\operatorname{arctg} x & u'=\dfrac{1}{1+x^2}\vspace{2mm}\\ v=x & v'=1 \end{matrix}\right\bracevert =$
	$\hspace*{5mm}= x\,\operatorname{arctg} x-\displaystyle\int \dfrac{x}{1+x^2}\, \mathrm{d}x=x\,\operatorname{arctg} x+\dfrac{1}{2}\ln \lvert x^2+1 \rvert +C.$

Příklad č. 333» Zobrazit zadání «

Vypočtěte

$\displaystyle\int \ln x\, \mathrm{d}x.$

Řešení» Zobrazit řešení «

Metodou per-partes obdržíme

$\displaystyle\int \ln x\, \mathrm{d}x \left\bracevert\begin{matrix} u=\ln x & u'=\dfrac{1}{x} \\ v=x & v'=1 \end{matrix}\right\bracevert =x\ln x-\displaystyle \int 1 \, \mathrm{d}x =x\ln x-x+C.$

Příklad č. 334» Zobrazit zadání «

Vypočtěte

$\displaystyle\int \dfrac{\ln x}{x} \mathrm{d} x.$

Řešení» Zobrazit řešení «

Tento příklad je možné řešit jak substitucí, tak i per-partes.

Per-partes:

$I$	$= \displaystyle\int \dfrac{\ln x}{x}\,\mathrm{d} x \left\bracevert\begin{matrix} u'=\dfrac{1}{x} & u=\ln x \\ v=\ln x & v'=\dfrac{1}{x} \end{matrix}\right\bracevert =$
	$= \ln^2 x - \displaystyle\int \dfrac{\ln x}{x} \,\mathrm{d} x = \ln^2 x - I$
	$\Rightarrow \quad I=\ln^2 x - I \quad \Rightarrow \quad 2I = \ln^2 x \quad \Rightarrow \quad I=\dfrac{\ln^2 x}{2} + C.$

Substitucí:

$\displaystyle\int \dfrac{\ln x}{x} \,\mathrm{d} x \left\bracevert\begin{matrix} t=\ln x \\ \,\mathrm{d} t = \dfrac{1}{x} \,\mathrm{d} x \end{matrix}\right\bracevert = \displaystyle\int t \,\mathrm{d} t = \dfrac{t^2}{2} + C = \dfrac{\ln^2 x}{2} + C.$

Příklad č. 335» Zobrazit zadání «

Vypočtěte

$\displaystyle\int (4-7x)^{10}\, \mathrm{d}x.$

Řešení» Zobrazit řešení «

Substituční metodou obdržíme

$\displaystyle\int (4-7x)^{10}\, \mathrm{d}x \left\bracevert\begin{matrix} t=4-7x\\ \operatorname{d} t=-7\, \operatorname{d} x \end{matrix}\right\bracevert$	$=-\dfrac{1}{7}\displaystyle\int t^{10}\, \operatorname{d} t=-\dfrac{1}{7}\dfrac{t^{11}}{11}+C=$
	$=-\dfrac{1}{77}(4-7x)^{11}+C.$

Příklad č. 336» Zobrazit zadání «

Vypočtěte

$\displaystyle\int \sqrt{2x-5}\, \mathrm{d}x.$

Řešení» Zobrazit řešení «

Použitím substituční metody získáme

$\displaystyle\int \sqrt{2x-5}\, \mathrm{d}x \left\bracevert\begin{matrix} t=2x-5\\ \operatorname{d} t=2\,\operatorname{d} x \end{matrix}\right\bracevert$	$=\dfrac{1}{2}\displaystyle\int \sqrt{t}\, \operatorname{d} t= \dfrac{1}{2}\dfrac{t^{3/2}}{\frac{3}{2}}+C=$
	$=\dfrac{1}{3}\sqrt{(2x-5)^3}+C.$

Příklad č. 337» Zobrazit zadání «

Vypočtěte

$\displaystyle\int \dfrac{\cos x}{(2+\sin x)^2}\, \mathrm{d}x.$

Řešení» Zobrazit řešení «

Substituční metodou obdržíme

$\displaystyle\int \dfrac{\cos x}{(2+\sin x)^2}\, \mathrm{d}x \left\bracevert\begin{matrix} t=2+\sin x\\ \operatorname{d} t=\cos x\,\operatorname{d} x \end{matrix}\right\bracevert$	$=\displaystyle\int\dfrac{\operatorname{d} t}{t^2}=-\dfrac{1}{t}+C=$
	$=-\dfrac{1}{2+\sin x}+C.$

Příklad č. 338» Zobrazit zadání «

Vypočtěte

$\displaystyle\int \dfrac{(1+\ln x)^4}{x}\, \mathrm{d}x.$

Řešení» Zobrazit řešení «

Substituční metodou dostaneme

$\displaystyle\int \dfrac{(1+\ln x)^4}{x}\, \mathrm{d}x \left\bracevert\begin{matrix} t=\ln x\\ \,\mathrm{d} t=\dfrac{1}{x}\,\mathrm{d} x\end{matrix}\right\bracevert$	$=\displaystyle\int (1+t)^4\,\mathrm{d} t=\dfrac{(1+t)^5}{5}+C=$
	$=\dfrac{(1+\ln x)^5}{5}+C.$

Příklad č. 339» Zobrazit zadání «

Vypočtěte

$\displaystyle\int \sin x\cdot \cos^5x\, \mathrm{d}x.$

Řešení» Zobrazit řešení «

Substituční metodou obdržíme

$\displaystyle\int \sin x\cdot \cos^5x\, \mathrm{d}x \left\bracevert\begin{matrix} u=\cos x\\ \,\mathrm{d} u=-\sin x\, \mathrm{d} x \end{matrix}\right\bracevert$	$=-\displaystyle\int u^5\, \mathrm{d} u=-\dfrac{u^6}{6}+C=$
	$=-\dfrac{\cos^6x}{6}+C.$

Příklad č. 340» Zobrazit zadání «

Vypočtěte

$\displaystyle\int x\,\operatorname{e}^{-x^2}\, \mathrm{d}x.$

Řešení» Zobrazit řešení «

Substituční metodou získáme

$\displaystyle\int x\,\operatorname{e}^{-x^2}\, \mathrm{d}x \left\bracevert\begin{matrix} t=-x^2 \\ \mathrm{d} t=-2x\,\mathrm{d} x \end{matrix}\right\bracevert =-\dfrac{1}{2}\displaystyle\int \operatorname{e}^{t}\, \mathrm{d} t=-\dfrac{1}{2}\operatorname{e}^{t}+C=-\dfrac{1}{2}\operatorname{e}^{-x^2}+C.$

Příklad č. 341» Zobrazit zadání «

Vypočtěte

$\displaystyle\int \dfrac{\cos x}{\sqrt{1+\sin^2x}}\, \mathrm{d}x.$

Řešení» Zobrazit řešení «

S pomocí substituční metody získáme

	$\displaystyle\int \dfrac{\cos x}{\sqrt{1+\sin^2x}}\, \mathrm{d}x \left\bracevert\begin{matrix} t=\sin x\\ \mathrm{d} t=\cos\, \mathrm{d} x \end{matrix}\right\bracevert =$
	$\hspace*{5mm}=\displaystyle\int \dfrac{\mathrm{d} t}{\sqrt{1+t^2}} \left\bracevert\begin{matrix} u=t+\sqrt{1+t^2}\\ \mathrm{d} u=\left(1+\dfrac{2t}{2\sqrt{1+t^2}}\right)\mathrm{d} t=\dfrac{\sqrt{1+t^2}+t}{\sqrt{1+t^2}}\mathrm{d} t\\ \dfrac{\mathrm{d} u}{t+\sqrt{1+t^2}}=\dfrac{\mathrm{d} t}{\sqrt{1+t^2}} \end{matrix}\right\bracevert =$
	$\hspace*{5mm} =\displaystyle\int \dfrac{\mathrm{d} u}{u}=\ln \lvert u \rvert +C=\ln \lvert t+\sqrt{1+t^2} \rvert +C=$
	$\hspace*{5mm}=\ln\left\|\sin x+\sqrt{1+\sin^2x}\right\|+C.$

Příklad č. 342» Zobrazit zadání «

Vypočtěte

$\displaystyle\int x^3\operatorname{e}^{-x^2}\, \mathrm{d}x.$

Řešení» Zobrazit řešení «

Kombinace substituce a metody per-partes dává

	$\displaystyle\int x^3\operatorname{e}^{-x^2}\, \mathrm{d}x \left\bracevert\begin{matrix} t=-x^2\\ \mathrm{d} t=-2x\, \mathrm{d} x \end{matrix}\right\bracevert =-\dfrac{1}{2}\displaystyle\int \left(-t\right)\operatorname{e}^{t}\,\mathrm{d} t=$
	$\hspace*{5mm}=\dfrac{1}{2}\displaystyle\int t\,\operatorname{e}^{t}\,\mathrm{d} t \left\bracevert\begin{matrix} u=t & u'=1 \\ v=\operatorname{e}^{t} & v'=\operatorname{e}^{t} \end{matrix}\right\bracevert =\dfrac{1}{2}\,t\,\operatorname{e}^{t}-\dfrac{1}{2}\displaystyle\int\operatorname{e}^{t}\,\mathrm{d} t=$
	$\hspace*{5mm}=\dfrac{1}{2}\,t\operatorname{e}^{t}-\dfrac{1}{2}\operatorname{e}^{t}+C=-\dfrac{1}{2}\operatorname{e}^{-x^2}(x^2+1)+C.$

Příklad č. 343» Zobrazit zadání «

Vypočtěte

$\displaystyle\int \operatorname{e}^{\sqrt{x}}\, \mathrm{d}x.$

Řešení» Zobrazit řešení «

Kombinace substituce a metody per-partes dává

	$\displaystyle\int \operatorname{e}^{\sqrt{x}}\, \mathrm{d}x \left\bracevert\begin{matrix} t=\sqrt{x}\\ t^{2}=x\\ 2t\,\mathrm{d} t=\mathrm{d} x \end{matrix}\right\bracevert =2\displaystyle\int t\,\operatorname{e}^{t}\,\mathrm{d} t \left\bracevert\begin{matrix} u=t & u'=1\\ v=\operatorname{e}^{t} & v'=\operatorname{e}^{t} \end{matrix}\right\bracevert =$
	$\hspace*{5mm} =2t\,\operatorname{e}^{t}-2\displaystyle\int \operatorname{e}^{t}\,\mathrm{d} t=2t\,\operatorname{e}^{t}-2\operatorname{e}^{t}+C=2\operatorname{e}^{\sqrt{x}}(\sqrt{x}-1)+C.$

Příklad č. 344» Zobrazit zadání «

Vypočtěte

$\displaystyle\int x\operatorname{arcsin} x^2\, \mathrm{d}x.$

Řešení» Zobrazit řešení «

Kombinace substituce a metody per-partes dává

$\displaystyle\int x\operatorname{arcsin} x^2\, \mathrm{d}x$	$\left\bracevert\begin{matrix} t=x^2\\ \operatorname{d} t=2x\, \operatorname{d} x \end{matrix}\right\bracevert =$
	$=\dfrac{1}{2}\displaystyle\int \operatorname{arcsin} t\,\operatorname{d} t \left\bracevert\begin{matrix} u=\operatorname{arcsin} t & u'=\dfrac{1}{\sqrt{1-t^2}}\\ v=t & v'=1 \end{matrix}\right\bracevert =$
	$= \dfrac{1}{2}t\operatorname{arcsin} t-\dfrac{1}{2}\displaystyle\int \dfrac{t}{\sqrt{1-t^2}}\,\operatorname{d} t \left\bracevert\begin{matrix} w=1-t^2\\ \operatorname{d} w=-2t\, \operatorname{d} t \end{matrix}\right\bracevert =$
	$=\dfrac{1}{2}t\operatorname{arcsin} t+\dfrac{1}{4}\displaystyle\int\dfrac{\operatorname{d} w}{\sqrt{w}}=$
	$= \dfrac{1}{2}t\operatorname{arcsin} t+\dfrac{1}{4}\dfrac{w^{1/2}}{\frac{1}{2}}+C=\dfrac{1}{2}x^2\operatorname{arcsin} x^2+\dfrac{1}{2}\sqrt{1-x^4}+C.$

Příklad č. 345» Zobrazit zadání «

Vypočtěte pomocí per-partes i substituční metodou

$\displaystyle\int \sqrt{1-x^2}\, \mathrm{d}x.$

Řešení» Zobrazit řešení «

Tento příklad lze řešit dvěma způsoby. Metodou per-partes obdržíme

	$\displaystyle\int \sqrt{1-x^2}\, \mathrm{d}x \left\bracevert\begin{matrix} u=\sqrt{1-x^2} & u'=\dfrac{-2x}{2\sqrt{1-x^2}}\\ v=x & v'=1 \end{matrix}\right\bracevert =$
	$\hspace*{5mm} =x\sqrt{1-x^2}+\displaystyle\int\dfrac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}\,\mathrm{d} x=x\sqrt{1-x^2}-\displaystyle\int\dfrac{1-x^2+1}{\sqrt{1-x^2}}\,\mathrm{d} x=$
	$\hspace*{5mm} =x\sqrt{1-x^2}-\displaystyle\int\left(\dfrac{1-x^2}{\sqrt{1-x^2}}-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right)\,\mathrm{d} x=$
	$\hspace*{5mm} =x\sqrt{1-x^2}-\displaystyle\int\sqrt{1-x^2}\,\mathrm{d} x+\displaystyle\int\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,\mathrm{d} x=$
	$\hspace*{5mm} =x\sqrt{1-x^2}+\operatorname{arcsin} x-\displaystyle\int\sqrt{1-x^2}\,\mathrm{d} x,$

tj.

$\displaystyle\int \sqrt{1-x^2}\, \mathrm{d}x=\dfrac{1}{2}\,\left(x\sqrt{1-x^2}+\operatorname{arcsin} x\right)+C.$

Vhodnou substitucí dostaneme tentýž výsledek, tj.

$\displaystyle\int \sqrt{1-x^2}\, \mathrm{d}x$	$\left\bracevert\begin{matrix} x=\sin t\\ \mathrm{d} x=\cos t\,\mathrm{d} t \end{matrix}\right\bracevert =\displaystyle\int\sqrt{1-\sin^2 t}\cos t\,\operatorname{d} t=$
	$=\displaystyle\int\cos^2\, \mathrm{d} t\overset{\text{Př. 331}}{=}\dfrac{1}{2}\sin t\cos t+\dfrac{t}{2}+C=$
	$=\dfrac{1}{2}\sin t\,\sqrt{1-\sin^2 t}+\dfrac{\operatorname{arcsin} x}{2}+C=$
	$=\dfrac{1}{2}x\,\sqrt{1-x^2}+\dfrac{1}{2}\operatorname{arcsin} x+C.$

Příklad č. 346» Zobrazit zadání «

Vypočtěte

$\displaystyle\int \max\{1,x^2\}\, \mathrm{d}x.$

Řešení» Zobrazit řešení «

Pro $\lvert x \rvert \leq 1$ platí

$\displaystyle\int \max\{1,x^2\}\, \mathrm{d}x=\displaystyle\int 1\, \mathrm{d}x=x+C.$

Je-li $\lvert x \rvert > 1$ , platí

$\displaystyle\int \max\{1,x^2\}\, \mathrm{d}x=\displaystyle\int x^2\, \mathrm{d}x=\dfrac{x^3}{3}+C.$

Protože výsledná funkce musí být spojitá, platí

$\displaystyle\int \max\{1,x^2\}\, \mathrm{d}x= \begin{cases} \dfrac{x^3}{3}-\dfrac{2}{3}+C &\quad \text{pro }x<-1,\\ x+C &\quad \text{pro } \lvert x \rvert \leq 1,\\ \dfrac{x^3}{3}+\dfrac{2}{3}+C &\quad \text{pro }x>1. \end{cases}$

nahoru

Tisková verze

Mgr. Petr Zemánek, Ph.D., Mgr. Petr Hasil, Ph.D. |
ÚMS, Přírodovědecká fakulta, Masarykova univerzita |
Návrat na úvodní stránku webu, přístupnost |

| Technická spolupráce:
| Servisní středisko pro e-learning na MU
| Fakulta informatiky Masarykovy univerzity, 2012

Technické řešení této výukové pomůcky je spolufinancováno Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky.

Nahoru

INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ