Přechod na menu, Přechod na obsah, Přechod na patičku
     

I. 1. Opakování a úvod do matematické analýzy


nahoru

Základní vzorce



Poznámka 1
Nejde o úplný přehled. Je uvedeno pouze znění základních vzorců bez ohledu na to, kde (ne)jsou definovány. Některé vzorce lze snadno odvodit z ostatních zde uvedených.

Mnohočleny

(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2, a^3 \pm b^3 = (a \pm b)(a^2 \mp ab + b^2),
a^2 - b^2 = (a-b)(a+b), (a+b)^n = \sum\limits_{i=0}^n \binom{n}{i}a^{n-i}\cdot b^i.
(a \pm b)^3 = a^3 \pm 3a^2b + 3ab^2 \pm b^3,

Mocninná funkce

a^0 = 1, a^r a^s = a^{r+s},
a^{-r} = \dfrac{1}{a^r}, (a^r)^s = a^{rs}.
a^{\tfrac{1}{r}} = \sqrt[r]{a},

Logaritmus a exponenciála

\log_a x = y \Leftrightarrow x = a^y, \log\dfrac{a}{b} = \log a - \log b,
\log 1 = 0, \log_a a^x = x = a^{\log_a x},
\log_a a = 1, \ln x = \lg x = \log_{\operatorname{e}} x, \operatorname{e} = 2,71828\ldots,
\log a^b = b \log a, \log_a b = \dfrac{\log_c b}{\log_c a} = \dfrac{\ln b}{\ln a}.
\log (ab) = \log a + \log b,

Goniometrické funkce

\operatorname{tg} x = \dfrac{\sin x}{\cos x}, \cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x,
\operatorname{cotg} x = \dfrac{\cos x}{\sin x}, \sin^2\dfrac{x}{2} = \dfrac{1-\cos x}{2},
\sin^2 x + \cos^2 x = 1, \cos^2\dfrac{x}{2} = \dfrac{1+\cos x}{2}.
\sin 2x = 2 \sin x \cos x,
x 0 \frac{\pi}{6} \frac{\pi}{4} \frac{\pi}{3} \frac{\pi}{2}
\sin x 0 \frac{1}{2} \frac{\sqrt{2}}{2} \frac{\sqrt{3}}{2} 1
\cos x 1 \frac{\sqrt{3}}{2} \frac{\sqrt{2}}{2} \frac{1}{2} 0
x 0 \frac{\pi}{6} \frac{\pi}{4} \frac{\pi}{3} \frac{\pi}{2}
\operatorname{tg} x 0 \frac{\sqrt{3}}{3} 1 \sqrt{3} -
\operatorname{cotg} x - \sqrt{3} 1 \frac{\sqrt{3}}{3} 0

Zlomky

\dfrac{a}{b} \pm \dfrac{c}{d} = \dfrac{ad \pm cb}{bd}, \left(\dfrac{a}{b}\right)^r = \dfrac{a^r}{b^r},
\dfrac{a}{b} \dfrac{c}{d} = \dfrac{ac}{bd}, \dfrac{ca}{cb} = \dfrac{a}{b},
\dfrac{\phantom{a}\frac{a}{b}\phantom{a}}{\frac{c}{d}} = \dfrac{a}{b} \dfrac{d}{c} = \dfrac{ad}{bc}, \dfrac{c}{cb} = \dfrac{1}{b},
\left(\dfrac{a}{b}\right)^{-1} = \dfrac{b}{a}, \dfrac{a}{a} = 1.

Ostatní

  • Komplexní čísla ( \mathbb{C} )

    i^2 = -1,

    \overline{a+ib} = a-ib,

    a^2 + b^2 = (a-ib)(a+ib).

  • Kvadratický polynom P(x) = ax^2+bx+c

    D=b^2-4ac,

    x_{1,2}=\tfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a},

    P(x) = a(x-x_1)(x-x_2).

  • Doplnění na čtverec

    ax^2+bx+c = a(x^2+\tfrac{b}{a}x+\tfrac{c}{a}),

    x^2+px+q = (x+\tfrac{p}{2})^2 -\tfrac{p^2}{4} +q.

nahoru

Reálná čísla



Definice 2
Buď A\not =\emptyset uspořádaná množina, B\subseteq A , B\not =\emptyset , libovolná. Řekneme, že prvek a\in A je supremum množiny B (píšeme sup B=a), jestliže
  1. x\leq a pro každé x\in B ;
  2. je-li y\in A takové, že x\leq y pro každé x\in B , pak je a\leq y.
Analogicky se definuje infimum množiny B ( \inf B ).

Je-li a=\max A , pak je a největším prvkem množiny A, tj. pro každý prvek x\in A platí x\leq a. Analogické tvrzení platí pro \min A.

nahoru

Kvadratické rovnice



Rovnice tvaru ax^2+bx+c=0, kde x \in \mathbb{R}, nebo x \in \mathbb{C}. Řešíme pomocí vzorců

D=b^2-4ac, \qquad x_{1,2}=\dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}.

  • D>0 \quad \Rightarrow \quad 2 různé reálné kořeny,
  • D=0 \quad \Rightarrow \quad 1 dvojnásobný reálný kořen,
  • D<0 \quad \Rightarrow \quad 2 komplexně sdružené komplexní kořeny.
nahoru

Posouvání grafu



Nechť je dána funkce y = f(x) a nenulová reálná čísla a, b.

  1. Uvažujme funkci \tilde{y} = f(x+a). Tato funkce má vůči původní funkci graf posunutý buď doleva (je-li a>0 ) nebo doprava (je-li a<0 ), a to o velikost čísla a.
  2. Uvažujme funkci \hat{y} = f(x)+b . Tato funkce má vůči původní funkci graf posunutý buď nahoru (je-li b>0 ) nebo dolů (je-li b<0 ), a to o velikost čísla b .
Příklad č. 1» Zobrazit zadání «

Určete (jestliže existují) \sup M, \inf M, \max M a \min M, kde

  1. M=\left\{0,-1,2,5,6,8\right\};

    Řešení» Zobrazit řešení «

    \max M=\sup M=8 a \min M=\inf M=-1;

  2. M=\left\{\dfrac{1}{n}:~n\in\mathbb{N}\right\};

    Řešení» Zobrazit řešení «

    \max M=\sup M=1, \inf M=0 a \min M neexistuje;

  3. M=\left\{n^2-2n+1: ~n \in\mathbb{Z}\right\};

    Řešení» Zobrazit řešení «

    \max M a \sup M neexistuje, \min M=\inf M=0;

  4. M=[0,1).

    Řešení» Zobrazit řešení «

    \max M neexistuje, \sup M=1 a \min M=\inf M=0.

Příklad č. 2» Zobrazit zadání «

Dokažte následující tvrzení: „Buď M\not =\emptyset, M\subseteq\mathbb{R} a nechť a\in\mathbb{R}. Pak

a=\sup M\Leftrightarrow~~ 1)~x\leq a ~\forall x\in M,
2)~\forall \varepsilon>0~\exists x_1\in M:~x_1>a-\varepsilon. “
Řešení» Zobrazit řešení «

„\Rightarrow“ Buď a=\sup M, pak z definice x\leq a pro \forall x\in M, tj. platí 1). Předpokládejme, že 2) neplatí. Pak existuje \varepsilon_{0}>0 tak, že \forall x\in M je x\leq a-\varepsilon_{0}. Tedy a-\varepsilon_{0} je horní závora množiny M a zároveň a=\sup M \Rightarrow a\leq a-\varepsilon_{0} , což je spor. Tedy 2) platí.

„\Leftarrow“ Nechť platí 1) i 2). Podle definice určitě platí \sup M\leq a. Předpokládejme, že

\sup M<a.

Potom položme \varepsilon=a-\sup M>0. Z 2) plyne, že

\exists x_{1}\in M:~x_{1}>a-\varepsilon=\sup M,

což je spor. Proto nutně \sup M=a.

Příklad č. 3» Zobrazit zadání «

Za předpokladu existence daných výrazů dokažte:

  1. \sup\limits_{x\in A}[-f(x)]=-\inf\limits_{x\in A}[f(x)];

    Řešení» Zobrazit řešení «
    \sup\limits_{x\in A}\left[-f(x)\right]=c\Rightarrow
    \Rightarrow\left[-f(x)\leq c\ \forall x\in A\right]\wedge \left[\left(b\in\mathbb{R},\ -f(x)\leq b\ \forall x\in A\right) \Rightarrow c\leq b\right]\Rightarrow
    \Rightarrow\left[f(x)\geq -c\ \forall x\in A\right]\wedge \left[\left(b\in\mathbb{R},\ f(x)\geq -b\ \forall x\in A\right) \Rightarrow -c\geq -b\right]\Rightarrow
    \Rightarrow\inf\limits_{x\in A}\left[f(x)\right]=-c \Rightarrow \sup\limits_{x\in A}\left[-f(x)\right]=c=-\inf\left[f(x)\right].

  2. \inf\limits_{x\in A}[-f(x)]=-\sup\limits_{x\in A}[f(x)];

    Řešení» Zobrazit řešení «
    \inf\limits_{x\in A}\left[-f(x)\right]=c\Rightarrow
    \Rightarrow\left[-f(x)\geq c\ \forall x\in A\right]\wedge \left[\left(b\in\mathbb{R},\ -f(x)\geq b\ \forall x\in A\right) \Rightarrow c\geq b\right]\Rightarrow
    \Rightarrow\left[f(x)\leq -c\ \forall x\in A\right]\wedge \left[\left(b\in\mathbb{R},\ f(x)\leq -b\ \forall x\in A\right) \Rightarrow -c\leq -b\right]\Rightarrow
    \Rightarrow\sup\limits_{x\in A}\left[f(x)\right]=-c \Rightarrow \inf\limits_{x\in A}\left[-f(x)\right]=c=-\sup\left[f(x)\right].

  3. \sup\limits_{x\in A}[f(x)+g(x)]\leq\sup\limits_{x\in A}[f(x)]+\sup\limits_{x\in A}[g(x)];

    Řešení» Zobrazit řešení «
    f(x)\leq \sup\limits_{x\in A}f(x),\ g(x)\leq \sup\limits_{x\in A}g(x)\ \forall x\in A\Rightarrow
    \hspace{15mm}\Rightarrow f(x)+g(x)\leq \sup\limits_{x\in A}f(x)+\sup\limits_{x\in A}g(x) \forall x\in A\Rightarrow
    \hspace{15mm}\Rightarrow \sup\limits_{x\in A}\left[f(x)+g(x)\right]\leq \sup\limits_{x\in A}\left[\sup\limits_{x\in A}f(x)+\sup\limits_{x\in A}g(x)\right]
    \hspace{15mm}\Rightarrow \sup\limits_{x\in A}\left[f(x)+g(x)\right]\leq \sup\limits_{x\in A}f(x)+\sup\limits_{x\in A}g(x).

  4. \inf\limits_{x\in A}[f(x)+g(x)]\geq\inf\limits_{x\in A}[f(x)]+\inf\limits_{x\in A}[g(x)];

    Řešení» Zobrazit řešení «
    f(x)\geq \inf\limits_{x\in A}f(x),\ g(x)\geq \inf\limits_{x\in A}g(x)\ \forall x\in A\Rightarrow
    \hspace{15mm}\Rightarrow f(x)+g(x)\geq \inf\limits_{x\in A}f(x)+\inf\limits_{x\in A}g(x) \forall x\in A\Rightarrow
    \hspace{15mm}\Rightarrow \inf\limits_{x\in A}\left[f(x)+g(x)\right]\geq \inf\limits_{x\in A}\left[\inf\limits_{x\in A}f(x)+\inf\limits_{x\in A}g(x)\right]
    \hspace{15mm}\Rightarrow \inf\limits_{x\in A}\left[f(x)+g(x)\right]\geq \inf\limits_{x\in A}f(x)+\inf\limits_{x\in A}g(x).
  5. v částech iii) a iv) nelze nerovnosti nahradit rovnostmi.
    Řešení» Zobrazit řešení «

    Tvrzení dokážeme nalezením vhodného protipříkladu. Uvažujme např. funkce f(x)=\sin x a g(x)=\cos x na množině A=\left[0,\frac{\pi}{2}\right]. Pak v iii) obdržíme

    \sup\limits_{x\in A}\left[\sin x+\cos x\right]=\sqrt{2},

    přičemž \sup_{x\in A}\sin x=1 a \sup_{x\in A}\cos x=1. V části iv) dostaneme

    \inf\limits_{x\in A}\left[\sin x+\cos x\right]=1,

    přičemž \inf_{x\in A}\sin x=0 a \inf_{x\in A}\cos x=0.

Příklad č. 4» Zobrazit zadání «

Dokažte pro libovolné podmnožiny A a B množiny \mathbb{R} a libovolná reálná čísla a, b, c:

  1. a=\max M\Rightarrow a=\sup M;

    Řešení» Zobrazit řešení «
    a=\max M \Rightarrow \left[x\leq a\ \forall x\in M\right]\ \wedge\ a\in M\Rightarrow
    \Rightarrow\left[x\leq a\ \forall x\in M\right]\ \wedge \left[\left(b\in\mathbb{R},\ x\leq b\ \forall x\in M\right)\Rightarrow a\leq b\right]\Rightarrow
    \Rightarrow a=\sup M.

  2. A\subseteq B\Rightarrow \sup A\leq \sup B;

    Řešení» Zobrazit řešení «

    Označme a=\sup A a b=\sup B. Pak platí

    b=\sup B\Rightarrow x\leq b\ \forall x\in B \Rightarrow x\leq b\ \forall x\in A \Rightarrow a\leq b,

    neboť a=\sup A.

  3. A\subseteq B\Rightarrow \inf A\geq \inf B;

    Řešení» Zobrazit řešení «

    Označme a=\inf A a b=\inf B. Pak platí

    b=\inf B\Rightarrow x\geq b\ \forall x\in B \Rightarrow x\geq b\ \forall x\in A \Rightarrow a\geq b,

    neboť a=\inf A.

  4. \sup(A\cup B)=\max\,\{\sup A,\sup B\};

    Řešení» Zobrazit řešení «

    Označme a=\sup A, b=\sup B, c=\sup\left(A\cup B\right) a d=\max\left\{\sup A,\sup B\right\}. Pak platí

    x\in A\cup B \Rightarrow x\in A\ \vee\ x\in B\Rightarrow \left[x\leq a\ \forall x\in A\right]\ \vee \left[x\leq b\ \forall x\in B\right]\Rightarrow
    \Rightarrow\left[x\leq a\leq d\ \forall x\in A\right]\ \vee \left[x\leq b\leq d\ \forall x\in B\right]\Rightarrow
    \Rightarrow x\leq d\ \forall x\in A\cup B\Rightarrow c\leq d.
    Také platí

    d=\max\left\{a,b\right\}\Rightarrow \left(d=a\right)\ \vee\ \left(d=b\right)\overset{\text{podle ii)}}{\Rightarrow} d\leq c\ \vee\ d\leq c\Rightarrow d\leq c.

    To znamená, že

    c=d.

  5. \inf(A \cup B)=\min\,\{\inf A,\inf B\};

    Řešení» Zobrazit řešení «

    Označme a=\inf A, b=\inf B, c=\inf\left(A\cup B\right) a d=\min\left\{\inf A,\inf B\right\}. Pak platí

    x\in A\cup B \Rightarrow x\in A\ \vee\ x\in B\Rightarrow \left[x\geq a\ \forall x\in A\right]\ \vee \left[x\geq b\ \forall x\in B\right]\Rightarrow
    \Rightarrow\left[x\geq a\geq d\ \forall x\in A\right]\ \vee \left[x\geq b\geq d\ \forall x\in B\right]\Rightarrow
    \Rightarrow x\geq d\ \forall x\in A\cup B\Rightarrow c\geq d.
    Také platí

    d=\min\left\{a,b\right\}\Rightarrow \left(d=a\right)\ \vee\ \left(d=b\right)\overset{\text{podle iii)}}{\Rightarrow} d\geq c\ \vee\ d\geq c\Rightarrow d\leq c.

    To znamená, že

    c=d.

  6. \sup(A\cap B)\leq\min\,\{\sup A,\sup B\};

    Řešení» Zobrazit řešení «

    Označme a=\sup A, b=\sup B, c=\sup\left(A\cap B\right) a d=\min\left\{\sup A,\sup B\right\}. Pak platí

    x\in A\cap B \Rightarrow x\in A\ \wedge\ x\in B\Rightarrow \left[x\leq a\ \forall x\in A\right]\ \wedge \left[x\leq b\ \forall x\in B\right]\Rightarrow
    \Rightarrow\left[x\leq a\ \forall x\in \left(A\cap B\right)\right]\ \vee \left[x\leq b\ \forall x\in \left(A\cap B\right)\right]\Rightarrow
    \Rightarrow x\leq d\ \forall x\in \left(A\cap B\right)\Rightarrow c\leq d.

  7. \inf(A\cap B)\geq\max\,\{\inf A,\inf B\};

    Řešení» Zobrazit řešení «

    Označme a=\inf A, b=\inf B, c=\inf\left(A\cap B\right) a d=\max\left\{\inf A,\inf B\right\}. Pak platí

    x\in A\cap B \Rightarrow x\in A\ \wedge\ x\in B\Rightarrow \left[x\geq a\ \forall x\in A\right]\ \wedge \left[x\geq b\ \forall x\in B\right]\Rightarrow
    \Rightarrow\left[x\geq a\ \forall x\in \left(A\cap B\right)\right]\ \vee \left[x\geq b\ \forall x\in \left(A\cap B\right)\right]\Rightarrow
    \Rightarrow x\geq d\ \forall x\in \left(A\cap B\right)\Rightarrow c\geq d.

  8. \min\,\{a,b\}=\dfrac{1}{2}(a+b- \left\lvert a-b \right\rvert );

    Řešení» Zobrazit řešení «

    Pro a\geq b platí

    \dfrac{1}{2}\left(a+b- \left\lvert a-b \right\rvert \right)=\dfrac{1}{2}\left(a+b-a+b\right)=b=\min\left\{a,b\right\}.

    Pro a<b platí

    \dfrac{1}{2}\left(a+b- \left\lvert a-b \right\rvert \right)=\dfrac{1}{2}\left(a+b+a-b\right)=a=\min\left\{a,b\right\}.

  9. \max\,\{a,b\}=\dfrac{1}{2}(a+b+ \left\lvert a-b \right\rvert );

    Řešení» Zobrazit řešení «

    Pro a\geq b platí

    \dfrac{1}{2}\left(a+b+ \left\lvert a-b \right\rvert \right)=\dfrac{1}{2}\left(a+b+a-b\right)=a=\max\left\{a,b\right\}.

    Pro a<b platí

    \dfrac{1}{2}\left(a+b+ \left\lvert a-b \right\rvert \right)=\dfrac{1}{2}\left(a+b-a+b\right)=b=\max\left\{a,b\right\}.

  10. \left\lvert a \right\rvert =\max\,\{a,-a\}=-\min\,\{a,-a\};

    Řešení» Zobrazit řešení «

    Z části viii) a ix) plyne

    \max\left\{a,-a\right\}=\dfrac{1}{2}\left(a-a+ \left\lvert a-\left(-a\right) \right\rvert \right)=\dfrac{1}{2} \left\lvert 2a \right\rvert = \left\lvert a \right\rvert ,
    -\min\left\{a,-a\right\}=-\dfrac{1}{2}\left(a-a- \left\lvert a-\left(-a\right) \right\rvert \right)=\dfrac{1}{2} \left\lvert 2a \right\rvert = \left\lvert a \right\rvert .

  11. \min\,\{a,\max\,\{b,c\}\}=\max\,\{\min\,\{a,b\},\min\,\{a,c\}\};

    Řešení» Zobrazit řešení «

    Zvážíme všechny možné varianty. Pro a\geq b a a\geq c platí

    \max\left\{\min\left\{a,b\right\},\min\left\{a,c\right\}\right\}=\max\left\{b,c\right\}= \min\left\{a,\max\left\{b,c\right\}\right\}.

    Pro a<b a a<c platí

    \max\left\{\min\left\{a,b\right\},\min\left\{a,c\right\}\right\}=\max\left\{a,a\right\}=a= \min\left\{a,\max\left\{b,c\right\}\right\}.

    Pro a\geq b a a<c platí

    \max\left\{\min\left\{a,b\right\},\min\left\{a,c\right\}\right\}=\max\left\{b,a\right\}=a= \min\left\{a,\max\left\{b,c\right\}\right\}.

    Pro a<b a a\geq c platí

    \max\left\{\min\left\{a,b\right\},\min\left\{a,c\right\}\right\}=\max\left\{a,c\right\}=a= \min\left\{a,\max\left\{b,c\right\}\right\}.

  12. \max\,\{a,\min\,\{b,c\}\}=\min\,\{\max\,\{a,b\},\max\,\{a,c\}\}.

    Řešení» Zobrazit řešení «

    Zvážíme všechny možné varianty. Pro a\geq b a a\geq c platí

    \min\left\{\max\left\{a,b\right\},\max\left\{a,c\right\}\right\}=\min\left\{a,a\right\}=a= \max\left\{a,\min\left\{b,c\right\}\right\}.

    Pro a<b a a<c platí

    \min\left\{\max\left\{a,b\right\},\max\left\{a,c\right\}\right\}=\min\left\{b,c\right\}= \max\left\{a,\min\left\{b,c\right\}\right\}.

    Pro a\geq b a a<c platí

    \min\left\{\max\left\{a,b\right\},\max\left\{a,c\right\}\right\}=\min\left\{a,c\right\}=a= \max\left\{a,\min\left\{b,c\right\}\right\}.

    Pro a<b a a\geq c platí

    \min\left\{\max\left\{a,b\right\},\max\left\{a,c\right\}\right\}=\min\left\{b,a\right\}=a= \max\left\{a,\min\left\{b,c\right\}\right\}.

Příklad č. 5» Zobrazit zadání «

Dokažte:

  1. \max\left\{x:x=\dfrac{n}{n+1},~n\not =-1,~n\in\mathbb{Z}\right\}=2;

    Řešení» Zobrazit řešení «

    Pro n=-2 je x=\frac{-2}{-1}=2. Dále platí \left\lvert \frac{n}{n+1} \right\rvert = \left\lvert 1-\frac{1}{n+1} \right\rvert \leq1+ \left\lvert \frac{1}{n+1} \right\rvert \leq 2 pro všechna n\in\mathbb{Z}\setminus\{-1\}.

  2. \sup\left\{x:x=\dfrac{n}{n+1},~n\in\mathbb{N}\right\}=1;

    Řešení» Zobrazit řešení «

    Platí \frac{n}{n+1}\leq\frac{n+1}{n+1}\leq 1 pro n\in\mathbb{N}. Buď nyní \varepsilon>0 libovolné. Zvolíme-li n\in\mathbb{N}, n>\frac{1}{\varepsilon}

    \dfrac{n}{n+1}=\dfrac{1}{1+\frac{1}{n}}>\dfrac{1}{1+\varepsilon}=1-\dfrac{\varepsilon}{1+\varepsilon}>1-\varepsilon.

  3. \inf\left\{x:x=\dfrac{1}{n^2+1},~n\in\mathbb{Z}\right\}=0;

    Řešení» Zobrazit řešení «

    Platí \frac{1}{n^2+1}\geq 0 pro n\in\mathbb{Z}. Buď dále \varepsilon>0 libovolné. Zvolíme-li n\in\mathbb{N}, n>\frac{1}{\sqrt{\varepsilon}}

    \dfrac{1}{n^2+1}\leq\dfrac{1}{\frac{1}{\varepsilon}+1}=\dfrac{\varepsilon}{1+\varepsilon}<\varepsilon.

  4. \max\left\{x:x=\dfrac{1}{n^2+1},~n\in\mathbb{Z}\right\}=1;

    Řešení» Zobrazit řešení «

    Platí \frac{1}{n^2+1}\leq 1 pro n\in\mathbb{Z}. Pro n=0 platí x=\frac{1}{0+1}=1.

  5. \sup\left(A\cup B \cup C\right)=1,~ \text{kde}
    A=\left\{x:x=\dfrac{n^2}{n^2+1},~n\in\mathbb{Z}\right\},
    B=\left\{x:x=\dfrac{1}{n},~n\in\mathbb{N}\right\},
    C=\left\{x:x=\dfrac{n-3}{2n+1},~n\geq 0\right\}.
    Řešení» Zobrazit řešení «

    Platí \sup A=1, \sup B=1 a \sup C=\frac{1}{2}. Z Příkladu 4 části iv) plyne

    \sup\left(A\cup B\cup C\right) =\sup\left[\left(A\cup B\right)\cup C\right]=
    = \max\left\{\sup\left(A\cup B\right), \sup C\right\}=
    = \max\left\{\max\left\{\sup A,\sup B\right\}, \sup C\right\}=
    = \max\left\{\sup A,\sup B, \sup C\right\}=1.
Příklad č. 6» Zobrazit zadání «

Dokažte, že pro libovolné množiny A, B a C platí tzv. distributivní zákony

  1. (A\cup B)\cap C=(A\cap C)\cup(B\cap C),

    Řešení» Zobrazit řešení «
    \subseteq:\quad x \in\left(A\cup B\right)\cap C
    \Rightarrow x\in \left(A\cup B\right)~\wedge~x\in C\Rightarrow
    \Rightarrow\left(x\in A~\vee~x\in B\right)~\wedge~x\in C\Rightarrow
    \Rightarrow\left(x\in A~\wedge~x\in C\right)~\vee \left(x\in B~\wedge~x\in C\right)\Rightarrow
    \Rightarrow x\in\left(A\cap C\right)\cup\left(B\cap C\right),
    \supseteq:\quad x \in\left(A\cap C\right)\cup\left(B\cap C\right)
    \Rightarrow x\in\left(A\cap C\right)~\vee~x\in \left(B\cap C\right)\Rightarrow
    \Rightarrow\left(x\in A~\wedge~x\in C\right)~\vee \left(x\in B~\wedge~x\in C\right)\Rightarrow
    \Rightarrow x\in \left(A\cup B\right)~\wedge~x\in C\Rightarrow
    \Rightarrow x\in\left(A\cup B\right)\cap C.

  2. (A\cap B)\cup C=(A\cup C)\cap(B\cup C).

    Řešení» Zobrazit řešení «
    \subseteq:\quad x \in\left(A\cap B\right)\cup C
    \Rightarrow\left(x\in A~\wedge~x\in B\right)~\vee~x\in C\Rightarrow
    \Rightarrow\left(x\in A~\vee~x\in C\right)~\wedge \left(x\in B~\vee~x\in C\right)\Rightarrow
    \Rightarrow x\in\left(A\cup C\right)\cap\left(B\cup C\right),
    \supseteq:\quad x \in\left(A\cup C\right)\cap\left(B\cup C\right)
    \Rightarrow\left(x\in A~\vee~x\in C\right)~\wedge \left(x\in B~\vee~x\in C\right)\Rightarrow
    \Rightarrow\left(x\in A~\wedge~x\in B\right)~\vee x\in C\Rightarrow
    \Rightarrow x\in\left(A\cap B\right)\cup C.
Příklad č. 7» Zobrazit zadání «

Určete množiny dané těmito výrazy:

  1. \left(1,\infty\right)\cap\left(-1,2\right];

    Řešení» Zobrazit řešení «

    \left(1,\infty\right)\cap\left(-1,2\right]=\left(1,2\right];

  2. \left(0,\infty\right)\setminus\left(-1,2\right);

    Řešení» Zobrazit řešení «

    \left(0,\infty\right)\setminus\left(-1,2\right)=\left[2,\infty\right);

  3. \left(\left(-\infty,-2\right)\cup\left[-2,0\right)\right)\cup\left[ 0,\infty\right);

    Řešení» Zobrazit řešení «

    \left(\left(-\infty,-2\right)\cup\left[-2,0\right)\right)\cup\left[ 0,\infty\right)=\left(-\infty,\infty\right);

  4. \left[ -1,5\right]\cap\left[ 5,100\right];

    Řešení» Zobrazit řešení «

    \left[ -1,5\right]\cap\left[ 5,100\right]=\left\{5\right\};

  5. \left[ -1,10\right]\cap\left[ 15,20\right];

    Řešení» Zobrazit řešení «

    \left[ -1,10\right]\cap\left[ 15,20\right]=\left\{\emptyset\right\};

  6. \left[ -1,4\right)';

    Řešení» Zobrazit řešení «

    \left[ -1,4\right)'=\left(-\infty,-1\right)\cup\left[4,\infty\right);

  7. \left[ 1,5\right)\setminus\left(0,5\right].

    Řešení» Zobrazit řešení «

    \left[ 1,5)\setminus(0,5\right]=\left\{\emptyset\right\}.

Příklad č. 8» Zobrazit zadání «

Vyřešte kvadratickou rovnici 2x^2-x-3=0 a) v \mathbb{R}, b) v \mathbb{C}.

Řešení» Zobrazit řešení «

Nejprve spočteme diskriminant dané rovnice

D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25.

Protože D > 0, rovnice má dva reálné kořeny. Ty snadno dopočítáme.

x_{1,2} = \dfrac{-(-1) \pm \sqrt{D}}{2\cdot2} = \dfrac{1 \pm 5}{4} = \begin{cases} \phantom{-}\frac{3}{2}, \\ -1. \end{cases}

Rovnice má tedy v \mathbb{R} dva kořeny a to \frac{3}{2} a -1, stejně jako v \mathbb{C}, neboť komplexní čísla jsou nadmnožinou čísel reálných.

Příklad č. 9» Zobrazit zadání «

Vyřešte kvadratickou rovnici x^2+4x+4=0 a) v \mathbb{R}, b) v \mathbb{C}.

Řešení» Zobrazit řešení «

Nejprve spočteme diskriminant dané rovnice

D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 0.

Protože D = 0, rovnice má jeden dvojnásobný reálný kořen. Ten snadno dopočítáme.

x_{1,2} = \dfrac{-4 \pm \sqrt{D}}{2\cdot1} = -2.

Rovnice má tedy v \mathbb{R} jeden dvojnásobný kořen a to -2, stejně jako v \mathbb{C}, neboť komplexní čísla jsou nadmnožinou čísel reálných.

Příklad č. 10» Zobrazit zadání «

Vyřešte kvadratickou rovnici x^2-4x+29=0 a) v \mathbb{R}, b) v \mathbb{C}.

Řešení» Zobrazit řešení «

Nejprve spočteme diskriminant dané rovnice

D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 29 = -100.

Protože D < 0, rovnice nemá žádný reálný kořen – má dvojici komplexních kořenů. Ty dopočítáme.

x_{1,2} = \dfrac{-(-4) \pm \sqrt{D}}{2\cdot1} = \dfrac{4 \pm \sqrt{-100}}{2} = \dfrac{4 \pm \sqrt{100i^2}}{2} =
= \dfrac{4 \pm 10i}{2} = \begin{cases} 2+5i, \\ 2-5i. \end{cases}

Rovnice tedy v \mathbb{R} nemá žádný kořen. V \mathbb{C} jsou jejími kořeny komplexně sdružená čísla 2+5i a 2-5i.

Příklad č. 11» Zobrazit zadání «

Určete, pro která x \in \mathbb{R} je výraz -2x^2+x+3 a) nezáporný, b) kladný.

Řešení» Zobrazit řešení «

Protože jde o kvadratický polynom, je nejjednodušším způsobem načrtnout si jeho graf – parabolu. Jediné informace, které přitom musí být přesné, jsou průsečíky s osou x (kořeny polynomu) a samozřejmě zda je parabola otevřena nahoru, nebo dolů.

Druhou informaci získáme okamžitě ze zadaného výrazu. Protože je vedoucí koeficient (-2) záporný, je parabola otevřena dolů.

Kořeny dopočítáme pomocí diskriminantu jako by šlo o kvadratickou rovnici:

D = 25\quad\Rightarrow \quad x_{1,2} = \begin{cases} \phantom{-}\frac{3}{2}, \\ -1. \end{cases}

Graf tedy vypadá takto:

Graf

Daný výraz je tedy nezáporný pro x \in \left[-1,\tfrac{3}{2}\right] a kladný pro x \in \left(-1,\tfrac{3}{2}\right)

Příklad č. 12» Zobrazit zadání «

Určete, pro která x \in \mathbb{R} je výraz x^2+4x+4 a) kladný, b) nezáporný.

Řešení» Zobrazit řešení «

Protože jde o kvadratický polynom, je nejjednodušším způsobem načrtnout si jeho graf - parabolu. Jediné informace, které přitom musí být přesné, jsou průsečíky s osou x (kořeny polynomu) a samozřejmě zda je parabola otevřena nahoru, nebo dolů.

Druhou informaci získáme okamžitě ze zadaného výrazu. Protože je vedoucí koeficient ( 1 ) kladný, je parabola otevřena nahoru.

Kořeny dopočítáme pomocí diskriminantu jako by šlo o kvadratickou rovnici:

D = 0\quad\Rightarrow \quad x_{1,2} = -2.

Graf tedy vypadá takto:

Graf

Daný výraz je tedy kladný pro x \in (-\infty,-2) \cup (-2,\infty) a nezáporný pro x \in \mathbb{R}.

Příklad č. 13» Zobrazit zadání «

Určete, pro která x \in \mathbb{R} je výraz x^2-4x+29 a) kladný, b) záporný.

Řešení» Zobrazit řešení «

Protože jde o kvadratický polynom, je nejjednodušším způsobem načrtnout si jeho graf - parabolu. Jediné informace, které přitom musí být přesné, jsou průsečíky s osou x (kořeny polynomu) a samozřejmě zda je parabola otevřena nahoru, nebo dolů.

Druhou informaci získáme okamžitě ze zadaného výrazu. Protože je vedoucí koeficient ( 1 ) kladný, je parabola otevřena nahoru.

Kořeny dopočítáme pomocí diskriminantu jako by šlo o kvadratickou rovnici:

D = -100.

Protože je diskriminant záporný, rovnice nemá žádný reálný kořen a parabola osu x nikde neprotíná. Graf tedy vypadá takto:

Graf

Daný výraz je tedy kladný pro x \in \mathbb{R} a nikdy není záporný, tj. můžeme říct, že je záporný pro x \in \emptyset.

Příklad č. 14» Zobrazit zadání «

Určete definiční obor funkce

f(x)=\dfrac{1}{x^3-x^2+x-1}.

Řešení» Zobrazit řešení «

Musí platit

x^3-x^2+x-1\not =0 \quad\Leftrightarrow\quad \left(x-1\right)\left(x^2+1\right)\not =0 \quad\Leftrightarrow\quad x\not =1.

Proto

D(f)=\mathbb{R}\setminus\{1\}.

Příklad č. 15» Zobrazit zadání «

Určete definiční obor funkce

f(x)=\dfrac{2x^2}{x+ \lvert x \rvert }.

Řešení» Zobrazit řešení «

Musí platit

x+ \lvert x \rvert \not =0.

Nejdříve uvažme x\geq 0, potom

x+x\not =0 \quad\Leftrightarrow\quad 2x\not =0 \quad\Leftrightarrow\quad x\not =0.

Pro x<0 dostaneme

x-x\not =0 \quad\Leftrightarrow\quad 0\not =0,

proto definiční obor je

D(f)=\left(0,\infty\right).

Příklad č. 16» Zobrazit zadání «

Určete definiční obor funkce

f(x)=\sqrt{x^2-5x+6}.

Řešení» Zobrazit řešení «

Musí platit

x^2-5x+6\geq0.

Kořeny tohoto kvadratického polynomu jsou x_1=2 a x_2=3 . Poněvadž koeficient u druhé mocniny je kladný, má graf této kvadratické funkce podobu

Graf

Proto definiční obor funkce je

D(f)=(-\infty,2]\cup[ 3,\infty).

Příklad č. 17» Zobrazit zadání «

Určete definiční obor funkce

f(x)=\dfrac{\ln x}{2x^2+3x-2}.

Řešení» Zobrazit řešení «

Z logaritmu dostáváme, že x>0. Dále ve jmenovateli nesmí být nula, tedy v definičním oboru dané funkce nejsou kořeny polynomu 2x^2+3x-2. Snadno určíme, že kořeny jsou x_1 = -2, x_2 = \tfrac{1}{2}. Tedy

D(f) = \left(0,\dfrac{1}{2}\right) \cup \left(\dfrac{1}{2},\infty\right).

Příklad č. 18» Zobrazit zadání «

Určete definiční obor funkce

f(x)=\dfrac{3x}{2x-8}+\sqrt{10-x}-\ln(x+2).

Řešení» Zobrazit řešení «

Zde určíme nejprve definiční obor každé části dané funkce a poté uděláme jejich průnik. V první části, lomeném výrazu, nesmí být ve jmenovateli nula. Tedy nutně x \neq 4. V druhé části musí být pod odmocninou nezáporné číslo, odtud x \leq 10. A konečně, z logaritmu dostáváme, že x>-2. Celkem

D(f) = (-2,4) \cup (4,10].

Příklad č. 19» Zobrazit zadání «

Určete definiční obor funkce

f(x)=\ln(x^2+4x-5) + \dfrac{2x^2}{\sqrt{2x+6}}.

Řešení» Zobrazit řešení «

Určíme nejprve definiční obor každé části dané funkce a poté uděláme jejich průnik.

V první části musí platit

x^2+4x-5 > 0.

Jde o kvadratický polynom jehož grafem je parabola otevřená nahoru (vedoucí koeficient je kladný) a snadno dopočítáme, že jeho kořeny jsou -5 a 1. Graf tedy vypadá takto:

Graf

Tedy x \in (-\infty,-5)\cup(1,\infty).

V druhé části nesmí být po odmocninou záporné číslo a zároveň ve jmenovateli není přípustná nula, tj.

2x+6 > 0\quad\Rightarrow \quad x > -3.

Celkem

D(f) = (1,\infty).

Příklad č. 20» Zobrazit zadání «

Určete definiční obor funkce

f(x)=\operatorname{arccos}\dfrac{1-2x}{4}.

Řešení» Zobrazit řešení «

Nejdříve připomeňme grafy a základní vlastnosti cyklometrických funkcí

Graf Graf Graf Graf

Proto musí platit

-1\leq\dfrac{1-2x}{4} \leq 1 \quad\Leftrightarrow \quad -4\leq 1-2x\ \wedge\ 1-2x\leq 4 \quad \Leftrightarrow
\quad\Leftrightarrow \quad -5\leq -2x\ \hspace{3,8mm} \wedge \hspace{5,6mm}-2x\leq 3 \quad \Leftrightarrow \quad x\leq \dfrac{5}{2}\ \wedge x\geq -\dfrac{3}{2}.

Proto máme definiční obor

D(f)=\left[-\dfrac{3}{2},\dfrac{5}{2}\right].

Příklad č. 21» Zobrazit zadání «

Určete definiční obor funkce

g(x)=\operatorname{arcsin}\dfrac{x+3}{2} + \sqrt{\dfrac{x+4}{x-2}}.

Řešení» Zobrazit řešení «

Určíme nejprve definiční obor každé části dané funkce a poté uděláme jejich průnik.

V první části musí platit

-1 \geq \dfrac{x+3}{2} \geq 1,
-2 \geq x+3 \geq 2,
-5 \geq x \geq -1,

tedy x \in [-5,-1].

V druhé části nesmí být po odmocninou záporné číslo a zároveň ve jmenovateli není přípustná nula. Nulové body jsou přitom -4 a 2. Ty rozdělují reálnou osu na tři intervali, na nichž výraz pod odmocninou nabývá vždy stejného znaménka. Dosazením zjistíme jaká (přitom číslo 2 vůbec neuvažujeme, aby ve jmenovateli nebyla nula):

(-\infty,-4] [-4,2) (2,\infty)
x+4 - + +
x-2 - - +
\tfrac{x+4}{x-2} + - +

Odtud dostáváme, že x \in (-\infty,-4]\cup(2,\infty).

Celkem

D(g) = [-5,-4].

Příklad č. 22» Zobrazit zadání «

Určete definiční obor funkce

f: y=\operatorname{arccotg} \dfrac{x-1}{\sqrt{1-x}} + \log_{\tfrac{1}{3}}^{-2}(2x+21).

Řešení» Zobrazit řešení «

Určíme nejprve definiční obor každé části dané funkce a poté uděláme jejich průnik.

V první části jsou jediná omezení odmocnina a zlomek, tedy x < 1.

V druhé části musíme vzít v úvahu jak logaritmus, tak i fakt, že je tento výraz umocněn na záporný exponent, je tedy ve jmenovateli, a proto musí být různý od nuly. Logaritmus je roven nule v jedničce, tj.

2x+21 \neq 1 \quad \Rightarrow \quad x \neq -10.

Jako poslední zbývá vyřešit už zmíněný logaritmus, do nějž lze dosazovat pouze kladná čísla, tedy

2x+21 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x \geq -\dfrac{21}{2}.

Celkem

D(f) = \left[-\dfrac{21}{2},-10\right)\cup\left(-10,1\right).

Příklad č. 23» Zobrazit zadání «

Určete definiční obor funkce

f(x)=\ln(1-\operatorname{e}^x).

Řešení» Zobrazit řešení «

Musí platit

1-\mathop{e}^x>0\quad\Leftrightarrow\quad 1>\mathop{e}^x.

Graf funkce \operatorname{e}^x má podobu

Graf

proto je definiční obor

D(f)=(-\infty,0).

Příklad č. 24» Zobrazit zadání «

Určete definiční obor funkce

f(x)=\dfrac{\cos x}{5^{x+1}-3\cdot5^x-50}.

Řešení» Zobrazit řešení «

Musí platit

5^{x+1}-3\cdot5^x-50\not =0.

Položme y=5^x, potom

5^{x+1}-3\cdot5^x-50\not =0 \quad \Leftrightarrow \quad 5y-3y-50\not =0 \quad \Leftrightarrow \quad 2y\not =50\quad \Leftrightarrow
\quad \Leftrightarrow \quad y\not =25 \quad \Leftrightarrow \quad 5^x\not =25\quad \Leftrightarrow
\quad \Leftrightarrow \quad 5^x\not =5^2 \quad \Leftrightarrow \quad x\not =2.

Proto máme definiční obor

D(f)=\mathbb{R}\setminus\{2\}.

Příklad č. 25» Zobrazit zadání «

Určete definiční obor funkce

f(x)=\dfrac{3^{x+1}}{\sin x +\cos x}.

Řešení» Zobrazit řešení «

Musí platit

\sin x+\cos x\not =0 \quad \Leftrightarrow \quad \sin x+\sin\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)\not =0\quad \Leftrightarrow
\quad \Leftrightarrow \quad 2\sin \dfrac{x+x+\frac{\pi}{2}}{2}\cdot \cos\dfrac{x-x-\frac{\pi}{2}}{2}\not =0\quad \Leftrightarrow
\quad \Leftrightarrow \quad 2\sin\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)\cdot \cos\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)\not =0\quad \Leftrightarrow
\quad \Leftrightarrow \quad \sqrt{2}\sin\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)\not =0\quad \Leftrightarrow
\quad \Leftrightarrow \quad \sin\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)\not =0\quad \Leftrightarrow
\quad \Leftrightarrow \quad x+\dfrac{\pi}{4}\not =k\pi,\ k\in\mathbb{Z}\quad \Leftrightarrow
\quad \Leftrightarrow \quad x\not =-\dfrac{\pi}{4}+k\pi,\ k\in\mathbb{Z}\quad \Leftrightarrow
\quad \Leftrightarrow \quad x\not =\dfrac{3\pi}{4}+k\pi,\ k\in\mathbb{Z}.

Proto máme definiční obor

D(f)=\mathbb{R}\setminus\bigcup\limits_{k\in\mathbb{Z}}\left\{\dfrac{3\pi}{4}+k\pi\right\}.

Příklad č. 26» Zobrazit zadání «

Určete definiční obor funkce

f(x)=\dfrac{x-\cos x}{2\sin^2x+3\cos x}.

Řešení» Zobrazit řešení «

Musí platit

2\sin^2x+3\cos x\not =0 \quad \Leftrightarrow \quad 2\left(1-\cos^2x\right)+3\cos x\not =0\quad \Leftrightarrow
\quad \Leftrightarrow \quad -2\cos^2x+3\cos x+2\not =0\quad \overset{\cos x=y}{\Leftrightarrow}
\quad \overset{\cos x=y}{\Leftrightarrow} \quad -2y^2+3y+2\not =0\quad \Leftrightarrow
\quad \Leftrightarrow \quad y_1\not =2,\ y_2\not =-\dfrac{1}{2}\ \ \wedge \ \ \cos x=y\quad \Leftrightarrow
\quad \Leftrightarrow \quad \cos x\not =2 \text{ (vždy) },\ \cos x\not =-\dfrac{1}{2}\quad \Leftrightarrow
\quad \Leftrightarrow \quad x\not =\dfrac{2\pi}{3}+2k\pi \ \wedge \ x\not =\dfrac{4\pi}{3}+2k\pi,\ k\in\mathbb{Z}.

Proto máme definiční obor

D(f)=\mathbb{R}\setminus\bigcup\limits_{k\in\mathbb{Z}}\left\{\dfrac{2}{3}\pi+2k\pi,\dfrac{4}{3}\pi+2k\pi\right\}.

Příklad č. 27» Zobrazit zadání «

Dokažte, že pro x>0 platí

\operatorname{arctg} x=\operatorname{arccotg} \dfrac{1}{x}.

Řešení» Zobrazit řešení «

Položme u=\operatorname{arctg} x a v=\operatorname{arccotg} \frac{1}{x}. Potom platí u\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right) a v\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right). Musíme ukázat, že u=v. Proto

\mathop{\operatorname{tg}} u=x\ \wedge\ \mathop{\operatorname{cotg}} v=\dfrac{1}{x} \quad\Leftrightarrow \quad \mathop{\operatorname{tg}} u=x\ \wedge\ \dfrac{1}{\mathop{\operatorname{tg}} v}=\dfrac{1}{x} \quad \Leftrightarrow
\quad\Leftrightarrow \quad \mathop{\operatorname{tg}} u=x\ \wedge\ \mathop{\operatorname{tg}} v=x \quad \Leftrightarrow
\quad\Leftrightarrow \quad \mathop{\operatorname{tg}} u=x=\mathop{\operatorname{tg}} v \quad \Leftrightarrow
\quad\Leftrightarrow \quad u=v.
Příklad č. 28» Zobrazit zadání «

Načrtněte graf libovolné nekonstantní funkce f a k něm grafy funkcí:

-f(x),\quad f(-x),\quad f(x)+b,\quad f(x-a),\quad k\cdot f(x),\quad f(m\cdot x).

Řešení» Zobrazit řešení «

Graf Graf Graf Graf Graf Graf

Příklad č. 29» Zobrazit zadání «

Načrtněte graf funkce

(\text{i})\,\, y=x^2, \quad (\text{ii})\,\, y=-x^2, \quad (\text{iii})\,\, y=(-x)^2.

Řešení» Zobrazit řešení «
Graf
Obrázek 1. Řešení (i) a (iii).
Graf
Obrázek 2. Řešení (ii).
Příklad č. 30» Zobrazit zadání «

Načrtněte graf funkce

(\text{i})\,\, y=(x+1)^2, \quad (\text{ii})\,\, y=x^2+1, \quad (\text{iii})\,\, y=(1-x)^3.

Řešení» Zobrazit řešení «
Graf
Obrázek 3. Řešení (i).
Graf
Obrázek 4. Řešení (ii).
Graf
Obrázek 5. Řešení (iii).
Příklad č. 31» Zobrazit zadání «

Načrtněte graf funkce

(\text{i})\,\, y=2-\sqrt{x}, \quad (\text{ii})\,\, y=\dfrac{1}{3-x}-1.

Řešení» Zobrazit řešení «
Graf
Obrázek 6. Řešení (i).
Graf
Obrázek 7. Řešení (ii).
Příklad č. 32» Zobrazit zadání «

Načrtněte graf funkce

(\text{i})\,\, y=\ln(x-3), \quad (\text{ii})\,\, y=2+ m{e}^{1-x}.

Řešení» Zobrazit řešení «
Graf
Obrázek 8. Řešení (i).
Graf
Obrázek 9. Řešení (ii).
Příklad č. 33» Zobrazit zadání «

Načrtněte graf funkce

(\text{i})\,\, y=\sin x, \quad (\text{ii})\,\, y=\sin(3x), \quad (\text{iii})\,\, y=\sin\dfrac{x}{5}, \quad (\text{iv})\,\, y=2\sin x.

Řešení» Zobrazit řešení «
Graf
Obrázek 10. Řešení (i).
Graf
Obrázek 11. Řešení (ii).
Graf
Obrázek 12. Řešení (iii).
Graf
Obrázek 13. Řešení (iv).
Příklad č. 34» Zobrazit zadání «

Načrtněte graf funkce

(\text{i})\,\, y=\sin(x-1), \quad (\text{ii})\,\, y=3+\sin x, \quad (\text{iii})\,\, y=\mathop{\operatorname{tg}}\, (3x).

Řešení» Zobrazit řešení «
Graf
Obrázek 14. Řešení (i).
Graf
Obrázek 15. Řešení (ii).
Graf
Obrázek 16. Řešení (iii).
Příklad č. 35» Zobrazit zadání «

Načrtněte graf funkce

f(x)=\dfrac{1}{2}x^2-4x+5.

Řešení» Zobrazit řešení «

Nejdříve upravíme zadání do tvaru

f(x)=\dfrac{1}{2}x^2-4x+5 \quad \Leftrightarrow\quad f(x)=\dfrac{1}{2}\left(x^2-8x+10\right)\quad \Leftrightarrow
\quad \Leftrightarrow\quad f(x)=\dfrac{1}{2}\left[\left(x-4\right)^2-6\right] \quad \Leftrightarrow
\quad \Leftrightarrow\quad f(x)=\dfrac{1}{2}\left(x-4\right)^2-3.

Nyní můžeme využít Příklad 28 a graf funkce f(x) načrtnout díky znalosti grafu funkce x^2, proto

Graf

Příklad č. 36» Zobrazit zadání «

Načrtněte grafy funkcí

f_1(x)= \lvert x \rvert +1 \quad \text{a} \quad f_2(x)=2 \lvert x-1 \rvert + \lvert x \rvert +2.

Řešení» Zobrazit řešení «

Pomocí řešení Příkladu 28 můžeme ze znalosti grafu funkce \lvert x \rvert načrtnout graf funkce f_1(x), tj.

Graf

Nyní načrtneme graf funkce f_2(x). Nejdříve určíme nulové body jednotlivých absolutních hodnot, tj. x_1=-1 a x_2=0. Tyto body nám rozdělí reálnou osu na tři subintervaly. Proto

x\in\left(-\infty,0\right] \quad\Rightarrow\quad f_2(x)=-2(x-1)-x+2=-3x+4,
x\in\left(0,1\right] \quad\Rightarrow\quad f_2(x)=-2(x-1)+x+2=-x+4,
x\in\left(1,\infty\right) \quad\Rightarrow\quad f_2(x)=2(x-1)+x+2=3x.

Na jednotlivých subintervalech je graf funkce tvořen přímkami, které prochází postupně body [-1,7], [0,4], [1,3] a [2,6], tj.

Graf

Příklad č. 37» Zobrazit zadání «

Načrtněte graf funkce

f(x)=\log\dfrac{10}{2-x}.

Řešení» Zobrazit řešení «

Je zřejmé, že definiční obor funkce je D(f)=(-\infty,2). Upravíme zadání funkce, tj.

f(x)=\log\dfrac{10}{2-x} \quad\Leftrightarrow\quad f(x)=\log 10-\log(2-x)\quad\Leftrightarrow
\quad\Leftrightarrow\quad f(x)=1-\log\left[-\left(x-2\right)\right]\quad\Leftrightarrow
\quad\Leftrightarrow\quad f(x)=-\log\left[-\left(x-2\right)\right]+1.

Ještě určíme průsečík s osou x, tj.

0=-\log\left[-\left(x-2\right)\right]+1 \quad\Leftrightarrow\quad 1=\log(2-x) \quad\Leftrightarrow\quad 10=2-x\quad\Leftrightarrow
\quad\Leftrightarrow\quad x=-8.

Proto s pomocí Příkladu 28 můžeme načrtnou graf funkce f(x), tj.

Graf

Příklad č. 38» Zobrazit zadání «

Načrtněte graf funkce

f(x)=2\sin\left(3x-\dfrac{\pi}{4}\right)-1.

Řešení» Zobrazit řešení «

Pro snažší náčrt nejdříve určíme průsečík s osou x, tj.

2\sin\left(3x-\dfrac{\pi}{4}\right)-1=0 \quad\Leftrightarrow\quad \sin\left(3x-\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{1}{2}\quad\Leftrightarrow
\quad\Leftrightarrow\quad 3x-\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\pi}{6}+2k\pi\ \text{ nebo }
\hspace{30mm} 3x-\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{7\pi}{6}+2k\pi,\ k\in\mathbb{Z}\quad\Leftrightarrow
\quad\Leftrightarrow\quad x=\dfrac{5\pi}{36}+\dfrac{2k\pi}{3}\ \text{ nebo } x=\dfrac{17\pi}{36}+\dfrac{2k\pi}{3},\ k\in\mathbb{Z}.

Osa grafu funkce se posune do y=-1, proto určíme i průsečíky s touto osou, tj.

2\sin\left(3x-\dfrac{\pi}{4}\right)-1=-1 \quad\Leftrightarrow\quad \sin\left(3x-\dfrac{\pi}{4}\right)=0\quad\Leftrightarrow
\quad\Leftrightarrow\quad 3x-\dfrac{\pi}{4}=k\pi,\ k\in\mathbb{Z}\quad\Leftrightarrow
\quad\Leftrightarrow\quad x=\dfrac{\pi}{12}+\dfrac{k\pi}{3},\ k\in\mathbb{Z}.

Tedy hledaný graf funkce f(x) má podobu

Graf

Příklad č. 39» Zobrazit zadání «

Načrtněte graf funkce

y(x)=\dfrac{3}{2}\operatorname{arcsin}\left(-\dfrac{1}{2}x+1\right)-\pi.

Řešení» Zobrazit řešení «

S pomocí Příkladu 28 dostaneme

Graf

Příklad č. 40» Zobrazit zadání «

Rozhodněte o paritě funkcí (je daná funkce sudá či lichá?)

  1. f_1(x)=2;
    Řešení» Zobrazit řešení «

    f_1(x)=2\quad\Rightarrow\quad f_1(-x)=2\quad\Rightarrow \text{ sudá funkce},

  2. f_2(x)=\frac{x^2}{1+x^2};
    Řešení» Zobrazit řešení «
    f_2(x) =\dfrac{x^2}{1+x^2}\,\,\Rightarrow\,\, f_2(-x)=\dfrac{(-x)^2}{1+(-x)^2}= \dfrac{x^2}{1+x^2} \,\,\Rightarrow \text{ sudá funkce},
  3. f_3(x)=\sqrt{x};
    Řešení» Zobrazit řešení «
    f_3(x) =\sqrt{x}\quad\Rightarrow\quad f_3(-x)=\sqrt{-x}\text{ neexistuje}\quad\Rightarrow
    \hspace{11mm}\quad\Rightarrow \text{ funkce není sudá ani lichá},
  4. f_4(x)=\ln\frac{1-x}{1+x};
    Řešení» Zobrazit řešení «
    f_4(x) =\ln\dfrac{1-x}{1+x}\quad\Rightarrow\quad f_4(-x)=\ln\dfrac{1+x}{1-x}=\ln\left(\dfrac{1-x}{1+x}\right)^{-1}=
    \hspace{47mm}=-\ln\dfrac{1-x}{1+x}\quad\Rightarrow \text{ lichá funkce},
  5. f_5(x)=\sin x +\cos x;
    Řešení» Zobrazit řešení «
    f_5(x)=\sin x +\cos x\,\Rightarrow
    \hspace{10mm}\Rightarrow\, f_5(-x)=\sin (-x) +\cos (-x)=-\sin x +\cos x\,\Rightarrow
    \hspace{10mm}\Rightarrow \text{ funkce není sudá ani lichá},
  6. f_6(x)=x\cosh x.
    Řešení» Zobrazit řešení «

    Nyní si připomene definice hyperbolických funkcí a jejich grafy, tj. \sinh x=\frac{\operatorname{e}^x-\operatorname{e}^{-x}}{2}, \cosh x=\frac{\operatorname{e}^x+\operatorname{e}^{-x}}{2}, \mathop{\mathrm{tgh}} x=\frac{\sinh x}{\cosh x} a

    Graf

    Graf Graf

    Potom dostaneme

    f_6(x) =x\cosh x\quad\Rightarrow\quad f_6(-x)=-x\cosh (-x)=-x\cosh x \quad\Rightarrow
    \hspace{24mm}\Rightarrow \text{ lichá funkce}.
  7. Jak se mění parita funkce vzhledem k součtu, rozdílu, součinu a podílu?
    Řešení» Zobrazit řešení «

    Označme „S“ sudou funkci a „L“ lichou funkci. Pak platí:

    S\pm S, S\cdot S, L\cdot L, \dfrac{S}{S}, \dfrac{L}{L}

    jsou sudé funkce,

    L\pm L, S\cdot L, L\cdot S, \dfrac{S}{L}, \dfrac{L}{S}

    jsou liché funkce.

Příklad č. 41» Zobrazit zadání «

Určete inverzní funkci

f(x)=\dfrac{x-2}{x+2}.

Řešení» Zobrazit řešení «

Z rovnice

y=\dfrac{x-2}{x+2}

musíme vyjádřit x, potom přeznačením y\rightsquigarrow x dostaneme hledaný předpis pro inverzní funkci. Proto

y=\dfrac{x-2}{x+2} \quad\Leftrightarrow\quad y(x+2)=x-2 \quad\Leftrightarrow\quad x(y-1)=-2(y+1)\quad\Leftrightarrow
\quad\Leftrightarrow\quad x=\dfrac{-2(y+1)}{y-1} \quad\Leftrightarrow\quad f^{-1}(x)=\dfrac{-2(x+1)}{x-1}.
Příklad č. 42» Zobrazit zadání «

Určete inverzní funkci

f(x)=1+\log(x+2).

Řešení» Zobrazit řešení «

Z rovnice

y=1+\log(x+2)

musíme vyjádřit x, potom přeznačením y\rightsquigarrow x dostaneme hledaný předpis pro inverzní funkci. Proto

y=1+\log(x+2) \quad\Leftrightarrow\quad y-1=\log(x+2) \quad\Leftrightarrow\quad 10^{y-1}=x+2\quad\Leftrightarrow
\quad\Leftrightarrow\quad x=10^{y-1}-2 \quad\Leftrightarrow\quad f^{-1}(x)=10^{x-1}-2.
Příklad č. 43» Zobrazit zadání «

Určete inverzní funkci

f(x)= \begin{cases} x, & x<1;\\ x^2, &x\in[1,4];\\ 2^x, &x>4. \end{cases}

Řešení» Zobrazit řešení «

Přímým výpočtem dostaneme výsledek

f^{-1}(x)= \begin{cases} x, & x<1;\\ \sqrt{x}, &x\in[1,16];\\ \log_2 x, &x>16. \end{cases}

Příklad č. 44» Zobrazit zadání «

Určete jednotlivé elementární funkce, z nichž se skládá funkce

F(x)=\sqrt[3]{\sin(x^3+3)}.

Řešení» Zobrazit řešení «

Složky jsou

f(x) = \sqrt[3]{x}, \quad g(x) = \sin x, \quad h(x) = x^3+3.

Daná funkce je z nich složena takto:

F(x) = f(g(h(x))) = (f \circ g \circ h)(x).

Příklad č. 45» Zobrazit zadání «

Určete jednotlivé elementární funkce, z nichž se skládá funkce

F(x)=\log_2\sqrt{\operatorname{tg}(2+x)}.

Řešení» Zobrazit řešení «

Složky jsou

f(x) = \log_2 x, \quad g(x) = \sqrt{x}, \quad h(x) = \operatorname{tg} x, \quad l(x) = 2+x.

Daná funkce je z nich složena takto:

F(x) = f(g(h(l(x)))) = (f \circ g \circ h \circ l)(x).

Příklad č. 46» Zobrazit zadání «

Určete jednotlivé elementární funkce, z nichž se skládá funkce

a) F(x) = \operatorname{cotg} ^5x, \qquad b) G(x) = \cos x^7.

Řešení» Zobrazit řešení «

a) Složky jsou

f(x) = \operatorname{cotg} x, \quad g(x) = x^5.

Daná funkce je z nich složena takto:

F(x) = g(f(x)) = (g \circ f)(x).

b) Složky jsou

f(x) = \cos x, \quad g(x) = x^7.

Daná funkce je z nich složena takto:

F(x) = f(g(x)) = (f \circ g)(x).

Příklad č. 47» Zobrazit zadání «

Vypočtěte f(x), jestliže f\left(\frac{1}{x}\right)=x+\sqrt{1+x^2}.

Řešení» Zobrazit řešení «

Musíme za x dosadit takovou hodnotu, aby na levé straně rovnice f(\frac{1}{x})=x+\sqrt{1+x^2} zůstala pouze „nějaká“ proměnná, zbytek dostaneme pouze přeznačením. Zvolme x=\frac{1}{t}, potom máme

f\left(\dfrac{1}{\frac{1}{t}}\right) =f(t)=\dfrac{1}{t}+\sqrt{1+\left(\dfrac{1}{t}\right)^2}=
= \dfrac{\operatorname{sgn} (t)}{ \left\lvert t \right\rvert }+\dfrac{\sqrt{1+t^2}}{ \left\lvert t \right\rvert }=\dfrac{\operatorname{sgn} (t)+\sqrt{1+t^2}}{ \left\lvert t \right\rvert }.

Nyní položíme t\rightsquigarrow x a dostaneme řešení

f(x)=\dfrac{\operatorname{sgn}(x)+\sqrt{1+x^2}}{ \lvert x \rvert }.

Příklad č. 48» Zobrazit zadání «

Vypočtěte f(x), jestliže f\left(\frac{x}{x+1}\right)=x^2.

Řešení» Zobrazit řešení «

Využijeme postup z Příkladu 47. Musíme najít vhodnou hodnotu x. Proto musíme vyřešit rovnici

\dfrac{x}{x+1}=t\quad\Leftrightarrow\quad x=\dfrac{t}{t-1}.

Nyní zvolíme x=\frac{t}{t-1}, potom

f\left(\dfrac{\frac{t}{t-1}}{\frac{t}{t-1}+1}\right)=f(t)=\left(\dfrac{t}{t-1}\right)^2.

Pro t\rightsquigarrow x jsme našli funkční předpis ve tvaru

f(x)=\left(\dfrac{x}{1-x}\right)^2.

Příklad č. 49» Zobrazit zadání «

Vyřešte nerovnici

\left|\dfrac{2x+1}{x-3}+1\right|\leq1.

Řešení» Zobrazit řešení «

Nejdříve nerovnost upravíme

\left|\dfrac{2x+1}{x-3}+1\right|\leq1 \quad\Leftrightarrow\quad \left|\dfrac{2x+1+x-3}{x-3}\right|\leq1\quad\Leftrightarrow
\quad\Leftrightarrow\quad \left|\dfrac{3x-2}{x-3}\right|\leq1 \quad\Leftrightarrow\quad \left\lvert 3x-2 \right\rvert \leq \left\lvert x-3 \right\rvert .

Nulové body absolutních hodnot jsou x_1=\frac{2}{3} a x_2=3. Tímto se nám rozdělí reálná osa na tři subintervaly, na kterých budeme muset vyřešit nerovnici zvlášť. Proto

x\in\left(-\infty,\dfrac{2}{3}\right]:\ -3x+2\leq -x+3 \ \ \Leftrightarrow\ \ x\geq -\dfrac{1}{2} \ \ \Rightarrow\ x\in\left[-\dfrac{1}{2},\dfrac{2}{3}\right],
x\in\left(\dfrac{2}{3},3\right]:\ 3x-2\leq -x+3 \ \ \Leftrightarrow\ \ x\leq \dfrac{5}{4} \ \ \Rightarrow\ x\in\left(\dfrac{2}{3},\dfrac{5}{4}\right],
x\in\left(3,\infty\right):\ 3x-2\leq x-3 \ \ \Leftrightarrow\ \ x\leq -\dfrac{1}{2} \ \ \Rightarrow\ x\in\left\{\emptyset\right\}.

Proto řešením je interval x\in\left[-\frac{1}{2},\frac{5}{4}\right].

Příklad č. 50» Zobrazit zadání «

Dokažte, že aritmetický průměr dvou nezáporných čísel je větší nebo roven jejich průměru geometrickému.

Řešení» Zobrazit řešení «

Jinými slovy máme dokázat, že platí

\dfrac{a+b}{2}\geq \sqrt{ab},\quad a\geq 0,~b\geq 0.

To plyne z této úvahy

\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\geq 0 \quad\Leftrightarrow\quad a-2\sqrt{ab}+b\geq 0\quad\Leftrightarrow
\quad\Leftrightarrow\quad a+b\geq 2\sqrt{ab} \quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{a+b}{2}\geq \sqrt{ab}.
Příklad č. 51» Zobrazit zadání «

Pomocí matematické indukce dokažte, že platí Bernoulliova nerovnost

(1+x)^n\geq 1+nx, \quad \text{kde} ~n\in\mathbb{N},~n>1,~x>-1.

Řešení» Zobrazit řešení «

Nerovnost dokážeme pomocí matematické indukce, proto vezme první možnou hodnotu n, tj. n=2, a ukážeme, že je nerovnost splněna, proto

(1+x)^2\geq 1+2x \quad\Leftrightarrow\quad 1+2x+x^2\geq 1+2x \quad\Leftrightarrow\quad x^2\geq 0. \checkmark

Uděláme indukční krok, proto předpokládejme, že rovnost platí pro nějaké n\in\mathbb{N}\setminus\{1\}, tj. (1+x)^n\geq 1+nx. Teď ukážeme, že nerovnost platí i pro n+1. Proto

(1+x)^n \geq 1+nx\ /\cdot (1+x)>0\quad\Rightarrow
\hspace{2mm}\Rightarrow\quad (1+x)^{n+1}\geq \left(1+nx\right)\left(1+x\right)=1+nx+x+nx^2\quad\Rightarrow
\overset{nx^2\geq 0}{\Rightarrow}\quad (1+x)^{n+1}\geq 1+nx+x\quad\Rightarrow
\hspace{2mm}\Rightarrow\quad (1+x)^{n+1}\geq 1+(n+1)x.

Tedy i pro n+1 je nerovnice splněna. Tím jsme dokázali Bernoulliovu nerovnost.

Příklad č. 52» Zobrazit zadání «

Pomocí matematické indukce dokažte, že pro n\in\mathbb{N} platí

1+2+\cdots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}.

Řešení» Zobrazit řešení «

Nejdříve ověříme, že rovnost platí pro n=1, tj.

1=\dfrac{1\cdot 2}{2}.\checkmark

Nechť nyní rovnost platí pro libovolné n\in\mathbb{N}. Pak pro n+1 dostaneme

1+2+\cdots+n+n+1 =\dfrac{n(n+1)}{2}+n+1=\dfrac{n(n+1)+2n+2}{2}=
=\dfrac{n^2+3n+2}{2}=\dfrac{\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{2},

čímž je identita dokázána.

Příklad č. 53» Zobrazit zadání «

Pomocí matematické indukce dokažte, že pro n\in\mathbb{N} platí

\sum\limits_{i=1}^{n}i^3=\dfrac{n^2(n+1)^2}{4}.

Řešení» Zobrazit řešení «

Nejdříve ověříme, že rovnost platí pro n=1, tj.

\sum\limits_{i=1}^{1}i^3=1=\dfrac{1^2(1+1)^2}{4}=\dfrac{1\cdot 4}{4}=1.\checkmark

Nechť nyní rovnost platí pro libovolné n\in\mathbb{N}. Pak pro n+1 dostaneme

\sum\limits_{i=1}^{n+1}i^3 =\sum\limits_{i=1}^{n}i^3+(n+1)^3=\dfrac{n^2(n+1)^2}{4}+\dfrac{4(n+1)^3}{4}=
=\dfrac{\left(n+1\right)^2\left(n^2+4n+4\right)}{4} =\dfrac{\left(n+1\right)^2\left(n+2\right)^2}{4},

čímž je identita dokázána.

nahoru

Rozklad na parciální zlomky



  • Lomená racionální funkce \frac{P_1(x)}{Q_1(x)};
  • má-li polynom v čitateli stejný, nebo vyšší stupeň než polynom ve jmenovateli, provedeme dělení polynomů - tím získáme polynom a ryze lomenou racionální funkci \frac{P(x)}{Q(x)} (tj., \operatorname{st} P<\operatorname{st} Q );
  • určíme reálné kořeny polynomu Q(x) (pomocí Hornerova schématu, vzorců, vytýkáním či jinými úpravami) a zapíšeme Q(x) jakou součin lineárních polynomů ve tvaru x-x_0, kde x_0 je reálný kořen, a kvadratických polynomů ve tvaru (x-a)^2+b^2, které nemají reálné kořeny;
  • zapíšeme \frac{P(x)}{Q(x)} pomocí parciální zlomků s neurčitými koeficienty, přičemž jednoduchému reálnému kořenu x_0, tj. členu x-x_0, odpovídá parciální zlomek ve tvaru

    \dfrac{A}{x-x_0},

    jednoduchému komplexnímu kořenu a+ib, tj. členu (x-a)^2+b^2, odpovídá parciální zlomek

    \dfrac{Bx+C}{(x-a)^2+b^2},

    pro k-násobný reálný kořen x_0, tj. pro člen (x-x_0)^k, odpovídá k parciálních zlomků

    \dfrac{A_1}{x-x_0}+\dfrac{A_2}{(x-x_0)^2}+\cdots+\dfrac{A_k}{(x-x_0)^k}

    a pro k-násobný komplexní kořen a+ib, tj. pro člen [(x-a)^2+b^2]^k, odpovídá k parciálních zlomků ve tvaru

    \dfrac{B_1x+C_1}{(x-a)^2+b^2}+\dfrac{B_2x+C_2}{[(x-a)^2+b^2]^2}+\cdots+\dfrac{B_kx+C_k}{[(x-a)^2+b^2]^k};

  • metodou neurčitých koeficientů (příp. s pomocí dosazení některých kořenů) určíme všechny neznámé koeficienty v čitatelích parciálních zlomků.
Příklad č. 54» Zobrazit zadání «

Rozložte na parciální zlomky

\dfrac{3x^2-5x+8}{x^3-2x^2+x-2}.

Řešení» Zobrazit řešení «

Nejdříve musíme rozložit jmenovatele na součin, tj. učit kořeny. K tomu můžeme využít tzv. Hornerovo schéma (viz později) nebo některou z elementárních úprav, proto

x^3-2x^2+x-2=x^2\left(x-2\right)+x-2=\left(x^2+1\right)\left(x-2\right).

Proto rozklad na parciální zlomky musí vypadat takto

\dfrac{3x^2-5x+8}{x^3-2x^2+x-2}=\dfrac{Ax+B}{x^2+1}+\dfrac{C}{x-2}.

Pro další výpočet musíme obě strany rovnice vynásobit jmenovatelem původního zlomku, proto

3x^2-5x+8 =\left(Ax+B\right)\left(x-2\right)+Cx^2+C,
3x^2-5x+8 =Ax^2-2Ax+Bx-2B+Cx^2+C.

Pro určení jednotlivých koeficientů lze využít dosazení jednotlivých kořenů (zde pouze x=2 ), ovšem takovým způsobem dostaneme všechny hledané koeficienty pouze v případě jednoduchých reálných kořenů. Druhou možností je tzv. metoda neurčitých koeficientů, kdy porovnáváme koeficienty u jednotlivých mocnin x, tj.

x^2 : \ 3 =A+C,
x^1 : \ -5 =-2A+B,
x^0\text{ (koeficienty bez x)} : \ 8 =-2B+C.

Tím jsme obdrželi soustavu tří rovnic o třech neznámých, kterou lze vyřešit přímo (metodami známých ze střední školy nebo pomocí matic). Řešením jsou hodnoty A=1, B=-3 a C=2. Tedy hledaný rozklad je tvaru

\dfrac{3x^2-5x+8}{x^3-2x^2+x-2}=\dfrac{2}{x-2}+\dfrac{x-3}{x^2+1}.

Při hledání je možné použít i kombinaci obou popsaných metod - část koeficientů získat dosazením kořenů a zbytek metodou neurčitých koeficientů, kde bude nutné již vyřešit nižší počet rovnic.

Příklad č. 55» Zobrazit zadání «

Rozložte na parciální zlomky

\dfrac{1}{x^3+1}.

Řešení» Zobrazit řešení «

Rozložením jmenovatele (buď se znalostí vhodného vzorce nebo z faktu, že x=-1 je kořen tohoto polynomu, a dále pomoci dělení dvou polynomů) obdržíme x^3+1=(x+1)\left(x^2-x+1\right). Proto rozklad musí vypadat takto

\dfrac{1}{x^3+1}=\dfrac{A}{x+1}+\dfrac{Bx+C}{x^2-x+1},

což vede k rovnici

1=Ax^2-Ax+A+Bx^2+Bx+Cx+C.

Pomocí metody neurčitých koeficientů dostaneme soustavu

x^2 :\ 0 =A+B,
x^1 :\ 0 =-A+B+C,
x^0 :\ 1 =A+C,

jejímž řešením je trojice A=\frac{1}{3}, B=-\frac{1}{3} a C=\frac{2}{3}. Proto máme

\dfrac{1}{x^3+1}=\dfrac{\frac{1}{3}}{x+1}+\dfrac{-\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}}{x^2-x+1}.

Příklad č. 56» Zobrazit zadání «

Rozložte na parciální zlomky

\dfrac{1}{x^3(x+1)}.

Řešení» Zobrazit řešení «

Jmenovatel je již ve tvaru požadovaného součinu, proto rozklad musí vypadat takto

\dfrac{1}{x^3(x+1)}=\dfrac{A}{x}+\dfrac{B}{x^2}+\dfrac{C}{x^3}+\dfrac{D}{x+1},

z čehož obdržíme rovnici

1=Ax^3+Ax^2+Bx^2+Bx+Cx+C+Dx^3.

Tedy metodou neurčitých koeficientů dostaneme soustavu

x^3 :\ 0 =A+D,
x^2 :\ 0 =A+B,
x^1 :\ 0 =B+C,
x^0 :\ 1 =C,

jejímž řešením je čtveřice A=1, B=-1, C=1 a D=-1. Proto hledaný rozklad je tvaru

\dfrac{1}{x^3(x+1)}=\dfrac{1}{x^3}-\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x+1}.

Příklad č. 57» Zobrazit zadání «

Rozložte na parciální zlomky

\dfrac{x^2-2}{x^4-2x^3+2x^2}.

Řešení» Zobrazit řešení «

Jmenovatel upravíme do tvaru

x^4-2x^3+2x^2=x^2\left(x^2-2x+2\right),

proto parciální zlomky musí být ve tvaru

\dfrac{x^2-2}{x^4-2x^3+2x^2}=\dfrac{A}{x}+\dfrac{B}{x^2}+\dfrac{Cx+D}{x^2-2x+2}.

Úpravou dostaneme rovnici

x^2-2=Ax^3-2Ax^2+2Ax+Bx^2-2Bx+2B+Cx^3+Dx^2,

což nám metodou neurčitých koeficientů dá soustavu rovnic

x^3 : \ 0 =A+C,
x^2 : \ 1 =-2A+B+D,
x^1 : \ 0 =2A-2B,
x^0 : \ -2 =2B.

Řešením soustavy je čtveřice A=-1, B=-1, C=1 a D=0, proto hledaný rozklad je tvaru

\dfrac{x^2-2}{x^4-2x^3+2x^2}=-\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{x}{x^2-2x+2}.

Příklad č. 58» Zobrazit zadání «

Rozložte na parciální zlomky

\dfrac{x^3+3x^2+4}{x^3+x-2}.

Řešení» Zobrazit řešení «

Poněvadž jsou stupně obou polynomů (alespoň) stejné, musíme nejdříve zadaný podíl upravit tak, abychom dostali ryzí racionální lomenou funkci, tj.

\bigl( x^3+3x^2+4\bigr):\left(x^3+x-2\right)=1+\dfrac{3x^2-x+6}{x^3+x-2}.
-\underline{\left(x^3+x-2\right)}
\phantom{-x^3-}3x^2-x+6

Nyní musíme rozložit jmenovatele x^3+x-2 na součin. Má-li polynom celočíselné kořeny, musí to být dělitelé absolutního členu. Má-li polynom racionální kořen (tj. ve tvaru zlomku), je čitatel zlomku tvořen dělitelem absolutního člene polynomu a jmenovatel tohoto kořene je dělitelem koeficientu u nejvyšší mocniny polynomu. Tuto skutečnost využijeme při aplikování Hornerova schématu, kde postupujeme takto:

  • Nejprve sepíšeme do tabulky koeficienty studovaného polynomu. (Přitom nesmíme zapomenout na možné nulové koeficienty.)
    x^3 x^2 x^1 x^0
    1 0 1 -2
  • Tabulku rozšíříme o jeden sloupec, do něhož budeme psát kandidáty na kořeny.
    kand. 1 0 1 -2
    2
  • První (vedoucí) koeficient polynomu sepíšeme do řádku s kandidátem na kořen.
    kand. \textcolor[rgb]{1.00,0.00,0.00}{1} 0 1 -2
    2 \textcolor[rgb]{1.00,0.00,0.00}{1}
  • Nyní nastupuje hlavní část - doplnění zbylých polí druhého řádku tabulky.
    kand. 1 \textcolor[rgb]{0.00,1.00,0.00}{0} 1 -2
    \textcolor[rgb]{0.00,0.00,1.00}{2} \textcolor[rgb]{1.00,0.00,0.00}{1} \textcolor[rgb]{0.00,0.00,1.00}{2} \cdot \textcolor[rgb]{1.00,0.00,0.00}{1}+ \textcolor[rgb]{0.00,1.00,0.00}{0} = 2
  • Tím dostaneme tabulku
    kand. 1 0 1 -2
    \textcolor[rgb]{0.00,0.00,1.00}{2} 1 2 \textcolor[rgb]{0.00,0.00,1.00}{2} \cdot 2 + 1 = 5 \textcolor[rgb]{0.00,0.00,1.00}{2} \cdot 5 - 2 = 8
  • Protože poslední číslo v druhém řádku je různé od nuly, číslo 2 není kořenem studovaného polynomu x^3+x-2. (Poznamenejme, že tato pozice obsahuje funkční hodnotu studovaného polynomu v testovaném čísle.)
  • Druhý řádek tabulky vymažeme (v zápise na papír ho škrtáme a rozšíříme tabulku o volný řádek) a otestujeme v něm dalšího kandidáta na kořen.
    kand. 1 0 1 -2
    1 1 1 2 0
  • Poslední pozice druhého řádku je nulová, což znamená, že studovaný polynom nabývá v čísle 1 hodnoty 0. Číslo 1 je tedy kořenem polynomu x^3+x-2. Ostatní čísla (tj. mimo prvního a posledního) v druhém řádku tabulky navíc udávají koeficienty polynomu vzniklého vydělením studovaného polynomu kořenovým činitelem právě nalezeného kořene.
    kand. 1 0 1 -2
    1 1 1 2 0
    - x^2 x^1 x^0 -
  • Shrňme si předchozí postup do jediné tabulky.
    - x^3 x^2 x^1 x^0
    kand. 1 0 1 -2
    \textcolor[rgb]{0.00,0.00,1.00}{2} \textcolor[rgb]{1.00,0.00,0.00}{1} \textcolor[rgb]{0.00,0.00,1.00}{2} \cdot \textcolor[rgb]{1.00,0.00,0.00}{1}+ \textcolor[rgb]{0.00,1.00,0.00}{0} = 2 5 8
    1 1 1 2 0
    - x^2 x^1 x^0 -

Tímto postupem jsme dostali x^3+x-2=\left(x-1\right)\left(x^2+x+2\right). Proto rozklad musí být

\dfrac{3x^2-x+6}{x^3+x-2}=\dfrac{A}{x-1}+\dfrac{Bx+C}{x^2+x+2},

z čehož dostaneme rovnici

3x^2-x+6=Ax^2+Ax+2A+Bx^2-Bx+Cx-C,

neboli

x^2 : \ 3 =A+B,
x^1 : \ -1 =A-B+C,
x^0 : \ 6 =2A-C.

Řešením této soustavy je čtveřice A=2, B=1 a C=-2, proto hledaný rozklad je ve tvaru

\dfrac{x^3+3x^2+4}{x^3+x-2}=1+\dfrac{2}{x-1}+\dfrac{x-2}{x^2+x+2}.

Příklad č. 59» Zobrazit zadání «

Rozložte na parciální zlomky

\dfrac{x+1}{x^5+3x^3+2x}.

Řešení» Zobrazit řešení «

Nejdříve upravíme jmenovatele, tj. x^5+3x^3+2x=x\left(x^4+3x^2+2\right). S využitím substituce y=x^2 dostaneme kvadratickou rovnici y^2+3y+2 s řešeními y_1=-1 a y_2=-2. Proto jmenovatele můžeme rozložit do tvaru x\left(x^2+1\right)\left(x^2+2\right). Hledaný rozklad tedy musí být ve tvaru

\dfrac{x+1}{x^5+3x^3+2x}=\dfrac{A}{x}+\dfrac{Bx+C}{x^2+2}+\dfrac{Dx+E}{x^2+1},

z čehož dostaneme rovnici

x+1= Ax^4+3Ax^2+2A+Bx^4+Bx^2+Cx^3+Cx+
+Dx^4+2Dx^2+Ex^3+2Ex.

Odtud metodou neurčitých koeficientů dostaneme soustavu rovnic

x^4 :\ 0 =A+B+D,
x^3 :\ 0 =C+E,
x^2 :\ 0 =3A+B+2D,
x^1 :\ 1 =C+2E,
x^0 :\ 1 =2A

a její řešení A=\frac{1}{2}, B=\frac{1}{2}, C=-1, D=-1 a E=1. Tím jsme získali rozklad na parciální zlomky

\dfrac{x+1}{x^5+3x^3+2x}=\dfrac{1}{2x}+\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{x-2}{x^2+2}+\dfrac{1-x}{x^2+1}.

Příklad č. 60» Zobrazit zadání «

Rozložte na parciální zlomky

\dfrac{x-4}{x^4+8x}.

Řešení» Zobrazit řešení «

Upravíme jmenovatele do tvaru x^4+8x=x\left(x^3+8\right) a s pomocí Hornerova schématu

1 0 0 8
-2 1 -2 4 0

zjistíme, že x=-2 je také kořenem a další rozklad je ve tvaru x^4+8x=x\left(x^3+8\right)=x\left(x+2\right)\left(x^2-2x+4\right), proto rozklad bude mít podobu

\dfrac{x-4}{x^4+8x}=\dfrac{A}{x}+\dfrac{B}{x+2}+\dfrac{Cx+D}{x^2-2x+4}.

Odtud dostaneme rovnici

x-4= Ax^3-2Ax^2+4Ax+2Ax^2-4Ax+8A+Bx^3-2Bx^2+4Bx+
+ Cx^3+2Cx^2+Dx^2+2Dx.

Metodou neurčitých koeficientů získáme soustavu

x^3 : \ 0 =A+B+C,
x^2 : \ 0 =-2A+2A-2B+2C+D,
x^1 : \ 1 =4A-4A+4B+2D,
x^0 : \ -4 =8A

s řešeními A=-\frac{1}{2}, B=\frac{1}{4}, C=\frac{1}{4} a D=0. Proto hledaný rozklad je ve tvaru

\dfrac{x-4}{x^4+8x}=-\dfrac{1}{2x}+\dfrac{\dfrac{1}{4}}{x+2}+\dfrac{\dfrac{1}{4}x}{x^2-2x+4}.

Příklad č. 61» Zobrazit zadání «

Rozložte na parciální zlomky

\dfrac{2x^4-x^3+x^2+3x+3}{x^2-1}.

Řešení» Zobrazit řešení «

Nejdříve získáme ryzí racionální funkci, tj.

\bigl(2x^4-x^3+x^2+3x+3\bigr):\left(x^2-1\right)=2x^2-x+3+\dfrac{2x+6}{x^2-1}.
- \underline{\left(2x^4+2x^2\right)\hspace{24mm}}
\hspace{8mm}-x^3+3x^2+3x+3
\underline{\hspace{4mm}-\left(-x^3+x\right)\hspace{19mm}}
\hspace{20mm}3x^2+2x+3
\underline{\hspace{14mm}-\left(3x^2-3\right)\hspace{11mm}}
\hspace{31mm}2x+6

Poněvadž platí x^2-1=\left(x-1\right)\left(x+1\right), bude rozklad ve tvaru

\dfrac{2x+6}{x^2-1}=\dfrac{A}{x+1}+\dfrac{B}{x-1},

což vede k rovnici

2x+6=Ax-A+Bx+B.

S využitím metody neurčitých koeficientů obdržíme soustavu

x^1 :\ 2 =A+B,
x^0 :\ 6 =B-A

s řešením A=-2 a B=4. Řešením je tedy rozklad

\dfrac{2x^4-x^3+x^2+3x+3}{x^2-1}=2x^2-x+3-\dfrac{2}{x+1}+\dfrac{4}{x-1}.

Příklad č. 62» Zobrazit zadání «

Rozložte na parciální zlomky

\dfrac{2x-1}{2x^4+x^3+x^2}.

Řešení» Zobrazit řešení «

Úpravou jmenovatele obdržíme 2x^4+x^3+x^2=x^2\left(2x^2+x+1\right), proto musí být rozklad ve tvaru

\dfrac{2x-1}{2x^4+x^3+x^2}=\dfrac{A}{x}+\dfrac{B}{x^2}+\dfrac{Cx+D}{2x^2+x+1},

což vede na rovnici

2x-1=2Ax^3+Ax^2+Ax+2Bx^2+Bx+B+Cx^3+Dx^2.

Pomocí metody neurčitých koeficientů obdržíme soustavu

x^3 : \ 0 =2A+C,
x^2 : \ 0 =A+2B+D,
x^1 : \ 2 =A+B,
x^0 : \ -1 =B

a její řešení A=3, B=-1, C=-6 a D=-1. Proto hledaný rozklad je ve tvaru

\dfrac{2x-1}{2x^4+x^3+x^2}=\dfrac{3}{x}-\dfrac{1}{x^2}-\dfrac{6x+1}{2x^2+x+1}.

Příklad č. 63» Zobrazit zadání «

Rozložte na parciální zlomky

\dfrac{-5x+2}{x^4-x^3+2x^2}.

Řešení» Zobrazit řešení «

Upravíme jmenovatele do tvaru součinu, tj. x^4-x^3+2x^2=x^2\left(x^2-x+2\right), proto bude rozklad mít podobu

\dfrac{-5x+2}{x^4-x^3+2x^2}=\dfrac{A}{x}+\dfrac{B}{x^2}+\dfrac{Cx+D}{x^2-x+2}.

Odtud dostaneme rovnici

-5x+2=Ax^3-Ax^2+2Ax+Bx^2-Bx+2B+Cx^3+Dx^2,

což nás metodou neurčitých koeficientů přivede k soustavě

x^3 : \ 0 =A+C,
x^2 : \ 0 =-A+B+D,
x^1 : \ -5 =2A-B,
x^0 : \ 2 =2B

s řešením A=-2, B=1, C=2 a D=-3. Proto hledaný rozklad je ve tvaru

\dfrac{-5x+2}{x^4-x^3+2x^2}=-\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{2x-3}{x^2-x+2}.

Příklad č. 64» Zobrazit zadání «

Rozložte na parciální zlomky

\dfrac{2x^2+4x+9}{x^3+3x^2+3x+2}.

Řešení» Zobrazit řešení «

S pomocí Hornerova schématu dostaneme

1 3 3 2
-2 1 1 1 0

proto platí x^3+3x^2+3x+2=\left(x+2\right)\left(x^2+x+1\right). Tedy rozklad bude ve tvaru

\dfrac{2x^2+4x+9}{x^3+3x^2+3x+2}=\dfrac{A}{x+2}+\dfrac{Bx+C}{x^2+x+1},

což vede k rovnici

2x^2+4x+9=Ax^2+Ax+A+Bx^2+2Bx+Cx+2C.

Metodou neurčitých koeficientů dostaneme soustavu

x^2:~2=A+B,\\ x^1:~4=A+2B+C,\\ x^0:~9=A+2C

s řešením A=3, B=-1 a C=3. Hledaný rozklad je tedy tvaru

\dfrac{2x^2+4x+9}{x^3+3x^2+3x+2}=\dfrac{3}{x+2}+\dfrac{-x+3}{x^2+x+1}.

Příklad č. 65» Zobrazit zadání «

Rozložte na parciální zlomky

\dfrac{9x^3-4x+1}{x^4-x^2}.

Řešení» Zobrazit řešení «

Upravíme jmenovatele do tvaru x^4-x^2=x^2\left(x^2-1\right)=x^2\left(x-1\right)\left(x+1\right), proto rozklad bude ve tvaru

\dfrac{9x^3-4x+1}{x^4-x^2}=\dfrac{A}{x}+\dfrac{B}{x^2}+\dfrac{C}{x+1}+\dfrac{D}{x-1}.

Odtud dostaneme rovnici ve tvaru

9x^3-4x+1=Ax^3-Ax+Bx^2-B+Cx^3+Dx^3+Dx^2.

Metodou neurčitých koeficientů dostaneme soustavu

x^3 : \ 9 =A+C+D,
x^2 : \ 0 =B-C+D,
x^1 : \ -4 =-A,
x^0 : \ 1 =-B

s řešením A=4, B=-1, C=2 a D=3. Proto hledaný rozklad je ve tvaru

\dfrac{9x^3-4x+1}{x^4-x^2}=\dfrac{4}{x}-\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{2}{x+1}+\dfrac{3}{x-1}.

Příklad č. 66» Zobrazit zadání «

Rozložte na parciální zlomky

\dfrac{x^2-x+10}{(x^2-3x+10)^2}.

Řešení» Zobrazit řešení «

Jmenovatele již nelze nijak rozložit, proto rozklad musí být v tomto tvaru

\dfrac{x^2-x+10}{(x^2-3x+10)^2}=\dfrac{Ax+B}{x^2-3x+10}+\dfrac{Cx+D}{(x^2-3x+10)^2},

což vede na rovnici

x^2-x+10=Ax^3+3Ax^2+10Ax+Bx^2-3Bx+10B+Cx+D.

Metodou neurčitých koeficientů dostaneme soustavu rovnic

x^3 : \ 0 =A,
x^2 : \ 1 =3A+B,
x^1 : \ -1 =10A-3B+C,
x^0 : \ 10 =10B+D

s řešením A=0, B=1, C=2 a D=0. Proto hledaný rozklad je tvaru

\dfrac{x^2-x+10}{(x^2-3x+10)^2}=\dfrac{1}{x^2-3x+10}+\dfrac{2x}{(x^2-3x+10)^2}.

Příklad č. 67» Zobrazit zadání «

Rozložte na parciální zlomky

\dfrac{1}{x^6+2x^4+x^2}.

Řešení» Zobrazit řešení «

Nejdříve upravíme jmenovatele do tvaru

x^6+2x^4+x^2=x^2\left(x^4+2x^2+1\right)=x^2\left(x^2+1\right)^2.

Proto bude rozklad ve tvaru

\dfrac{1}{x^6+2x^4+x^2}=\dfrac{A}{x}+\dfrac{B}{x^2}+\dfrac{Cx+D}{x^2+1}+\dfrac{Ex+F}{\left(x^2+1\right)^2},

z čehož obdržíme rovnici

1= Ax^5+2Ax^3+Ax+Bx^4+2Bx^2+B+Cx^5+Cx^3+
+Dx^4+Dx^2+Ex^3+Fx^2.

Metodou neurčitých koeficientů dostaneme soustavu

x^5 :\ 0 =A+C,
x^4 :\ 0 =B+D,
x^3 :\ 0 =2A+C+E,
x^2 :\ 0 =2B+D+F,
x^1 :\ 0 =A,
x^0 :\ 1 =B

a řešení A=0, B=1, C=0, D=-1, E=0 a F=-1. Tedy hledaný rozklad je ve tvaru

\dfrac{1}{x^6+2x^4+x^2}=\dfrac{1}{x^2}-\dfrac{1}{x^2+1}-\dfrac{1}{(x^2+1)^2}.

Příklad č. 68» Zobrazit zadání «

Rozložte na parciální zlomky

\dfrac{5x^7+12x^6+24x^5+19x^4+8x^3+4x^2+3x+1}{x^8+3x^7+5x^6+5x^5+3x^4+x^3}.

Řešení» Zobrazit řešení «

Pomocí vytýkání upravíme jmenovatele do tvaru

x^8+3x^7+5x^6+5x^5+3x^4+x^3=x^3\left(x^5+3x^4+5x^3+5x^2+3x+1\right).

S využitím Hornerova schématu

1 3 5 5 3 1
-1 1 2 3 2 1 0

můžeme psát

x^8+3x^7+5x^6+5x^5+3x^4+x^3=x^3\left(x^5+3x^4+5x^3+5x^2+3x+1\right)=\\ = x^3\left(x+1\right)\left(x^4+2x^3+3x^2+2x+1\right)=x^3\left(x+1\right)\left(x^2+x+1\right)^2.

Proto rozklad bude ve tvaru

\dfrac{5x^7+12x^6+24x^5+19x^4+8x^3+4x^2+3x+1}{x^8+3x^7+5x^6+5x^5+3x^4+x^3} = \dfrac{A}{x}+\dfrac{B}{x^2}+\dfrac{C}{x^3}+\dfrac{D}{x+1}+
+ \dfrac{Ex+F}{x^2+x+1}+\dfrac{Gx+H}{\left(x^2+x+1\right)^2},

což vede na rovnici

5x^7+12x^6+24x^5+19x^4+8x^3+4x^2+3x+1=
= Ax^7+3Ax^6+5Ax^5+5Ax^4+3Ax^3+Ax^2+Bx^6+3Bx^5+5Bx^4+
+ 5Bx^3+3Bx^2+Bx+Cx^5+3Cx^4+5Cx^3+5Cx^2+3Cx+C+
+ Dx^7+2Dx^6+3Dx^5+2Dx^4+Dx^3+Ex^7+2Ex^6+2Ex^5+Ex^4+
+ Fx^6+2Fx^5+2Fx^4+Fx^3+Gx^5+Gx^4+Hx^4+Hx^3.

Pomocí metody neurčitých koeficientů dostaneme soustavu

x^7 : \ 5 =A+D+E,
x^6 : \ 12 =3A+B+2D+2E+F,
x^5 : \ 24 =5A+3B+C+3D+2E+2F+G,
x^4 : \ 19 =5A+5B+3C+2D+E+2F+G+H,
x^3 : \ 8 =3A+5B+5C+D+F+H,
x^2 : \ 4 =A+3B+5C,
x^1 : \ 3 =B+3C,
x^0 : \ 1 =C

s řešením A=-1, B=0, C=1, D=4, E=2, F=3, G=6 a H=-1. Proto hledaný rozklad je ve tvaru

\dfrac{5x^7+12x^6+24x^5+19x^4+8x^3+4x^2+3x+1}{x^8+3x^7+5x^6+5x^5+3x^4+x^3}=
\hspace{20mm}= -\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^3}+\dfrac{4}{x+1}+\dfrac{2x+3}{x^2+x+1}+\dfrac{6x-1}{(x^2+x+1)^2}.

nahoru

Tisková verze

Kapitola ve formátu PDF (Adobe Acrobat)

Mgr. Petr Zemánek, Ph.D., Mgr. Petr Hasil, Ph.D. |
ÚMS, Přírodovědecká fakulta, Masarykova univerzita |
Návrat na úvodní stránku webu, přístupnost |
Stránky Přírodovědecké fakulty MU
| Technická spolupráce:
| Servisní středisko pro e-learning na MU
| Fakulta informatiky Masarykovy univerzity, 2012

Technické řešení této výukové pomůcky je spolufinancováno Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky.