![f f](f.gif)
![x_0 x_0](f.gif)
![x_0 x_0](f.gif)
![f'(x_0) f'(x_0)](f.gif)
Pro dostatečně malé
platí:
![]() |
![]() |
![]() |
|
![]() |
![]() |
Určete
pro
a
.
Nejdříve musíme vyčíslit derivaci funkce
v bodě
, tj.
proto dle definice platí
Pomocí diferenciálu funkce přibližně určete
.
Nejdříve musíme zvolit vhodnou funkci
, jejímž vyčíslením obdržíme
. Zvolíme
(druhou možnou volbou by mohla být např. funkce
). Nyní musíme zvolit vhodný bod
. Tento bod musí být zvolen tak, abychom byli bez problémů schopni vyčíslit funkci
v tomto bodě. Navíc, tento bod by měl být nejbližší možný k zadané hodnotě, abychom se dopustili co nejmenší chyby. Proto zvolíme
a
(aby platilo
). Potom vyčíslíme funkci a její derivaci v bodě
, tj.
Nyní pomocí diferenciálu funkce obdržíme
Pomocí diferenciálu funkce přibližně určete
.
Zvolíme
,
a
. Potom
Tedy pomocí diferenciálu funkce dostaneme
Pomocí diferenciálu funkce přibližně určete
.
Zvolíme
,
a
. Potom
Tedy pomocí diferenciálu funkce dostaneme
Pomocí diferenciálu funkce přibližně určete
.
Zvolíme
,
a
. Potom
Tedy pomocí diferenciálu funkce dostaneme
Pomocí diferenciálu funkce přibližně určete
.
Zvolíme
,
a
. Potom
Tedy pomocí diferenciálu funkce dostaneme
Napište Taylorův polynom pro
,
a
.
Než sestavíme Taylorův polynom, musíme vyčíslit funkci a všechny potřebné (tj. až do čtvrtého řádu) derivace v bodě
, tj.
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
Proto nyní dle definice platí
![]() |
![]() |
![]() |
Napište Taylorův vzorec pro
,
a
.
Nejdříve vyčíslíme funkci a první dvě derivace v bodě
a také spočítáme (ale nevyčíslíme) třetí derivaci, tj.
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
Proto nyní platí
![]() |
![]() |
![]() |
Určete maximální chybu v aproximaci z Příkladu 302, kde
.
Chyba je určena výrazem
Musíme tedy vhodně omezit výraz
a tak určit maximální chybu aproximace. Nejdříve se zaměříme na čitatele, tj.
Jmenovatele omezíme takto
Proto nyní můžeme psát
![]() |
![]() |
![]() |
Maximální chyba aproximace Taylorovým polynomem druhého stupně je
.
Vyjádřete funkci
pomocí mocnin
.
Takovéto vyjádření je možné pomocí Taylorova polynomu. Ze zadání plyne, že
a že musíme polynom sestavit v obecné podobě, neboť nebyl zadán stupeň aproximace. Proto
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
Z tvaru jednotlivých derivací můžeme pro
odvodit
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
Proto hledaný Taylorův polynom je tvaru
![]() |
![]() |
![]() |
Najděte Maclaurinův vzorec pro obecné
a pro funkci
.
Musíme vyčíslit funkci a všechny derivace v bodě
, tj.
![]() |
![]() |
Navíc je zřejmé, že platí
a
Proto můžeme sestavit Taylorův polynom ve tvaru
kde
leží mezi
a
.
Najděte Maclaurinův vzorec pro obecné
a pro funkci
.
Nejdříve vyčíslíme funkci a všechny derivace v bodě
, tj.
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
Navíc je zřejmé, že pro
platí
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
Proto můžeme napsat
kde
leží mezi
a
.
Najděte Maclaurinův vzorec pro obecné
a pro funkci
.
Nejdříve vyčíslíme funkci a všechny derivace v bodě
, tj.
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
Navíc je zřejmé, že pro
platí
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
Proto můžeme napsat
kde
leží mezi
a
.
Užitím Maclaurinova polynomu vypočtěte přibližnou hodnotu čísla
s chybou menší než
.
Z Příkladu 305 víme, že platí
což pro
dává
kde
K tomu, abychom dosáhli chyby menší než
, musíme vyřešit nerovnici
![]() |
![]() |
![]() |
Proto musíme použít Taylorův polynom alespoň šestého stupně, tj.
Pro jaké hodnoty
platí přibližný vztah
s přesností
?
Z Příkladu 307 pro
víme, že platí
kde
a
leží mezi
a
. Z omezenosti funkce
plyne, že
Musíme proto vyřešit nerovnici
Řešením tedy je
, tj.
.
Pomocí Taylorova polynomu pro
určete přibližně
.
Uvažujme funkci
a položme
. Vypočteme funkční hodnotu a všechny potřebné derivace v bodě
, tj.
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
Nyní můžeme vypočítat přibližnou hodnotu
Pomocí Maclaurinova mnohočlenu třetího stupně, vyjádřete hodnotu
(výsledek uveďte na 6 desetinných míst).
Z Příkladu 307 víme, že platí
proto obdržíme
Pomocí Maclaurinova mnohočlenu třetího stupně, vyjádřete hodnotu
(výsledek uveďte na 6 desetinných míst).
Z Příkladu 306 víme, že platí
proto obdržíme
Vypočtěte číslo
s přesností
.
Zvolíme
a
. Nyní vyčíslíme funkci a její derivace v bodě
, tj.
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
Obecně můžeme psát
Tedy Taylorův vzorec je tavru
![]() |
![]() |
![]() |
kde
a
leží mezi
a
. Abychom dosáhli požadované přesnosti, musíme vyřešit nerovnici
![]() |
![]() |
![]() |
|
![]() |
|
![]() |
|
![]() |
|
![]() |
|
![]() |
|
![]() |
musíme tedy použít Taylorův polynom alespoň pátého stupně, tj.
![]() |
![]() |
![]() |
Technické řešení této výukové pomůcky je spolufinancováno Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky.