Přechod na menu, Přechod na obsah, Přechod na patičku

Sbírka řešených příkladů z matematické analýzy I
Přírodovědecká fakulta Masarykovy univerzity
Mgr. Petr Zemánek, Ph.D., Mgr. Petr Hasil, Ph.D.

Ovládání příkladů

Rozbalit zadání Rozbalit řešení Rozbalit vše

Zpět nahoru

I. 4. l’Hospitalovo pravidlo

Věta 11

Buď $x_0\in\mathbb{R}^*$ . Nechť je splněna jedna z podmínek

$\lim_{x\to x_0}f(x)=\lim_{x\to x_0}g(x)=0,$
$\lim_{x\to x_0} \lvert g(x) \rvert =+\infty.$

Existuje-li (vlastní nebo nevlastní) $\lim_{x\to x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)}$ , pak existuje také $\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}$ a platí

$\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{f'(x)}{g'(x)}.$

V roce 1921 bylo dokázáno, že autorem tohoto pravidla je Johann I. Bernoulli (1667–1748), jehož byl Guillaume Francois Antoine de l'Hospital (1661–1704) žákem. Na základě poznámek z Bernoulliových přednášek vydal l'Hospital v roce 1696 první tištěnou učebnici diferenciálního počtu Analýza nekonečně malých veličin. Výpočet limit s neurčitými výrazy pomocí l'Hospitalova pravidla:

Případ
$\infty-\infty\Rightarrow \lim\limits_{x\to x_0}\left(f(x)-g(x)\right)=\\ =\lim\limits_{x\to x_0}\left(\dfrac{1}{\frac{1}{f(x)}}-\dfrac{1}{\frac{1}{g(x)}}\right)=\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{\frac{1}{g(x)}-\frac{1}{f(x)}}{\frac{1}{f(x)g(x)}}\Rightarrow\dfrac{0}{0};$
Případ
$-\infty+\infty\Rightarrow \text{analogicky jako předchozí úprava};$
Případ
$0\cdot\infty\Rightarrow\lim\limits_{x\to x_0}f(x)g(x)=\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{f(x)}{\frac{1}{g(x)}}\Rightarrow\dfrac{0}{0};$
Případy
$0^{0},\ \infty^0,\ 1^{\infty}\Rightarrow\lim\limits_{x\to x_0}f(x)^{g(x)}=\lim\limits_{x\to x_0}\operatorname{e}^{g(x)\cdot\ln f(x)}=\operatorname{e}^{\lim\limits_{x\to x_0}(g(x)\ln f(x))}$

$\Rightarrow \text{ předchozí případ } \Rightarrow \dfrac{0}{0}.$

Příklad č. 217» Zobrazit zadání «

Vypočtěte limitu

$\lim\limits_{x\to2}\dfrac{x^2-4}{x^2-x-2}.$

Řešení» Zobrazit řešení «

$\lim\limits_{x\to2}\dfrac{x^2-4}{x^2-x-2} \left\bracevert\begin{matrix} \dfrac{0}{0} \end{matrix}\right\bracevert \overset{\text{l'H.p.}}{=} \lim\limits_{x\to2}\dfrac{2x}{2x-1}=\dfrac{4}{3}.$

Příklad č. 218» Zobrazit zadání «

Pro $a>0$ vypočtěte limitu

$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{a^x-1}{x}.$

Řešení» Zobrazit řešení «

$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{a^x-1}{x} \left\bracevert\begin{matrix} \dfrac{0}{0} \end{matrix}\right\bracevert \overset{\text{l'H.p.}}{=} \lim\limits_{x\to 0}\dfrac{a^x \ln a}{1}=\ln a.$

Příklad č. 219» Zobrazit zadání «

Vypočtěte limitu

$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{1-\cos x}{x\sin x}.$

Řešení» Zobrazit řešení «

	$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{1-\cos x}{x\sin x} \left\bracevert\begin{matrix} \dfrac{0}{0} \end{matrix}\right\bracevert \overset{\text{l'H.p.}}{=} \lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{\sin x+x\cos x} \left\bracevert\begin{matrix} \dfrac{0}{0} \end{matrix}\right\bracevert \overset{\text{l'H.p.}}{=}$
	$\hspace{5mm}= \lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\cos x}{\cos x+\cos x-x\sin x}=\dfrac{1}{2}.$

Příklad č. 220» Zobrazit zadání «

Vypočtěte limitu

$\lim\limits_{x\to 1}\dfrac{\cos(\pi x)+1}{(x-1)^2}.$

Řešení» Zobrazit řešení «

	$\lim\limits_{x\to 1}\dfrac{\cos(\pi x)+1}{(x-1)^2} \left\bracevert\begin{matrix} \dfrac{0}{0} \end{matrix}\right\bracevert \overset{\text{l'H.p.}}{=} \lim\limits_{x\to 1}\dfrac{-\pi\sin(\pi x)}{2(x-1)} \left\bracevert\begin{matrix} \dfrac{0}{0} \end{matrix}\right\bracevert \overset{\text{l'H.p.}}{=}$
	$\hspace{5mm}= \lim\limits_{x\to 1}\dfrac{-\pi^2\cos(\pi x)}{2}=\dfrac{\pi^2}{2}.$

Příklad č. 221» Zobrazit zadání «

Následující příklad ukazuje, že ne vždy je vhodné použít l'Hospitalovo pravidlo

$\lim\limits_{x\to \infty}\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}.$

Řešení» Zobrazit řešení «

$\lim\limits_{x\to \infty}\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}} \left\bracevert\begin{matrix} \dfrac{\infty}{\infty} \end{matrix}\right\bracevert$	$\overset{\text{l'H.p.}}{=} \lim\limits_{x\to \infty}\dfrac{1}{\frac{2x}{2\sqrt{x^2+1}}}= \lim\limits_{x\to \infty}\dfrac{\sqrt{x^2+1}}{x} \left\bracevert\begin{matrix} \dfrac{\infty}{\infty} \end{matrix}\right\bracevert \overset{\text{l'H.p.}}{=}$
	$\overset{\text{l'H.p.}}{=} \lim\limits_{x\to \infty}\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}},$

čímž jsme se dostali zpět k zadání. Řešení příkladu bez použití l'Hospitalova pravidla vede k výsledku

$\lim\limits_{x\to \infty}\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}= \lim\limits_{x\to \infty}\dfrac{x}{x\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}= \lim\limits_{x\to \infty}\dfrac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}=1.$

Příklad č. 222» Zobrazit zadání «

Vypočtěte limitu

$\lim\limits_{x\to \frac{\pi}{4}^-} \operatorname{tg} 2x \ln(\operatorname{tg} x).$

Řešení» Zobrazit řešení «

$\lim\limits_{x\to \frac{\pi}{4}^-} \operatorname{tg} 2x \ln(\operatorname{tg} x)$	$\left\bracevert\begin{matrix} \infty \cdot 0 \end{matrix}\right\bracevert = \lim\limits_{x\to \frac{\pi}{4}^-} \dfrac{\ln(\operatorname{tg} x)}{\frac{1}{\operatorname{tg} 2x}} \left\bracevert\begin{matrix} \dfrac{0}{0} \end{matrix}\right\bracevert =$
	$\overset{\text{l'H.p.}}{=} \lim\limits_{x\to \frac{\pi}{4}^-} -\dfrac{\operatorname{tg} ^2 2x \cos^2 2x}{2 \operatorname{tg} x \cos^2 x} = \lim\limits_{x\to \frac{\pi}{4}^-} -\dfrac{\sin^2 2x}{2 \sin x \cos^2 x} =$
	$= \lim\limits_{x\to \frac{\pi}{4}^-} -\dfrac{\sin^2 2x}{\sin 2x} = -\lim\limits_{x\to \frac{\pi}{4}^-} \sin 2x = -1.$

Příklad č. 223» Zobrazit zadání «

Vypočtěte limitu

$\lim\limits_{x\to 0} \dfrac{\ln(1+\sin x)}{\sin 4x}.$

Řešení» Zobrazit řešení «

$\lim\limits_{x\to 0} \frac{\ln(1+\sin x)}{\sin 4x} \left\bracevert\begin{matrix} \tfrac{0}{0} \end{matrix}\right\bracevert \overset{\text{l'H.p.}}{=} \lim\limits_{x\to 0} \frac{\frac{1}{1+\sin x} \cos x}{4\cos 4x} = \frac{1}{4}.$

Příklad č. 224» Zobrazit zadání «

Vypočtěte limitu

$\lim\limits_{x\to \frac{\pi}{2}} (1-\sin x)\operatorname{tg} x.$

Řešení» Zobrazit řešení «

$\lim\limits_{x\to \frac{\pi}{2}} (1-\sin x)\operatorname{tg} x$	$\left\bracevert\begin{matrix} 0 \cdot \infty \end{matrix}\right\bracevert = \lim\limits_{x\to \frac{\pi}{2}} \dfrac{1-\sin x}{\operatorname{cotg} x} \left\bracevert\begin{matrix} \dfrac{0}{0} \end{matrix}\right\bracevert =$
	$\overset{\text{l'H.p.}}{=} \lim\limits_{x\to \frac{\pi}{2}} \sin^2 x \cos x = 0.$

Příklad č. 225» Zobrazit zadání «

Vypočtěte limitu

$\lim\limits_{x\to 0}\left(\dfrac{1}{x\sin x}-\dfrac{1}{x^2}\right).$

Řešení» Zobrazit řešení «

	$\lim\limits_{x\to 0}\left(\dfrac{1}{x\sin x}-\dfrac{1}{x^2}\right) \left\bracevert\begin{matrix} \infty-\infty \end{matrix}\right\bracevert = \lim\limits_{x\to 0}\dfrac{x-\sin x}{x^2\sin x} \left\bracevert\begin{matrix} \dfrac{0}{0} \end{matrix}\right\bracevert \overset{\text{l'H.p.}}{=}$
	$\hspace*{5mm}= \lim\limits_{x\to 0}\dfrac{1-\cos x}{2x\sin x+x^2\cos x} \left\bracevert\begin{matrix} \dfrac{0}{0} \end{matrix}\right\bracevert \overset{\text{l'H.p.}}{=}$
	$\hspace*{5mm}= \lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{2\sin x+2x\cos x+2x\cos x-x^2\sin x} \left\bracevert\begin{matrix} \dfrac{0}{0} \end{matrix}\right\bracevert \overset{\text{l'H.p.}}{=}$
	$\hspace*{5mm}= \lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\cos x}{2\cos x+4\cos x-4x\sin x-x2x\sin x-x^2\cos x}=\dfrac{1}{6}.$

Příklad č. 226» Zobrazit zadání «

Vypočtěte limitu

$\lim\limits_{x\to 0}\left(\dfrac{1}{\sin x}-\dfrac{1}{\operatorname{e}^x-1}\right).$

Řešení» Zobrazit řešení «

	$\lim\limits_{x\to 0}\left(\dfrac{1}{\sin x}-\dfrac{1}{\operatorname{e}^x-1}\right) \left\bracevert\begin{matrix} \infty-\infty \end{matrix}\right\bracevert = \lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\operatorname{e}^x-1-\sin x}{\left(\operatorname{e}^x-1\right)\sin x} \left\bracevert\begin{matrix} \dfrac{0}{0} \end{matrix}\right\bracevert \overset{\text{l'H.p.}}{=}$
	$\hspace*{5mm}= \lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\operatorname{e}^x-\cos x}{\operatorname{e}^x\sin x+\left(\operatorname{e}^x-1\right)\cos x} \left\bracevert\begin{matrix} \dfrac{0}{0} \end{matrix}\right\bracevert \overset{\text{l'H.p.}}{=}$
	$\hspace*{5mm}= \lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\operatorname{e}^x+\sin x}{\operatorname{e}^x\sin x+\operatorname{e}^x\cos x+\operatorname{e}^x\cos x-\left(\operatorname{e}^x-1\right)\sin x}=\dfrac{1}{2}.$

Příklad č. 227» Zobrazit zadání «

Vypočtěte limitu

$\lim\limits_{x\to 0^{+}}\left(\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{\sin x}\right).$

Řešení» Zobrazit řešení «

	$\lim\limits_{x\to 0^{+}}\left(\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{\sin x}\right) \left\bracevert\begin{matrix} \infty-\infty \end{matrix}\right\bracevert = \lim\limits_{x\to 0^{+}}\dfrac{\sin x-x}{x\sin x} \left\bracevert\begin{matrix} \dfrac{0}{0} \end{matrix}\right\bracevert \overset{\text{l'H.p.}}{=}$
	$\hspace*{5mm}= \lim\limits_{x\to 0^{+}}\dfrac{\cos x-1}{\sin x+x\cos x} \left\bracevert\begin{matrix} \dfrac{0}{0} \end{matrix}\right\bracevert \overset{\text{l'H.p.}}{=} \lim\limits_{x\to 0^{+}}\dfrac{-\sin x}{\cos x+\cos x-x\sin x}=0$

Příklad č. 228» Zobrazit zadání «

Vypočtěte limitu

$\lim\limits_{x \to 0} \left(\dfrac{x-1}{2x^2}+\dfrac{1}{x(\operatorname{e}^{2x}-1)} \right).$

Řešení» Zobrazit řešení «

	$\lim\limits_{x \to 0} \left(\dfrac{x-1}{2x^2}+\dfrac{1}{x(\operatorname{e}^{2x}-1)} \right) \left\bracevert\begin{matrix} -\infty+\infty \end{matrix}\right\bracevert =$
	$\hspace*{5mm}= \lim\limits_{x\to0}\dfrac{\left(x-1\right)\left(\operatorname{e}^{2x}-1\right)+2x} {2x^2\left(\operatorname{e}^{2x}-1\right)} \left\bracevert\begin{matrix} \dfrac{0}{0} \end{matrix}\right\bracevert \overset{\text{l'H.p.}}{=}$
	$\hspace*{5mm}= \lim\limits_{x\to0}\dfrac{\operatorname{e}^{2x}+2x\operatorname{e}^{2x}-1-2\operatorname{e}^{2x}+2}{4x\left(\operatorname{e}^{2x}-1\right)+4x^2\operatorname{e}^{2x}}=$
	$\hspace*{5mm}= \lim\limits_{x\to0}\dfrac{-\operatorname{e}^{2x}+2x\operatorname{e}^{2x}+1}{4x\operatorname{e}^{2x}-4x+4x^2\operatorname{e}^{2x}} \left\bracevert\begin{matrix} \dfrac{0}{0} \end{matrix}\right\bracevert \overset{\text{l'H.p.}}{=}$
	$\hspace*{5mm}= \lim\limits_{x\to0}\dfrac{-2\operatorname{e}^{2x}+2\operatorname{e}^{2x}+4x\operatorname{e}^{2x}} {4\operatorname{e}^{2x}+8x\operatorname{e}^{2x}-4+8x\operatorname{e}^{2x}+8x^2\operatorname{e}^{2x}} \left\bracevert\begin{matrix} \dfrac{0}{0} \end{matrix}\right\bracevert \overset{\text{l'H.p.}}{=}$
	$\hspace*{5mm}= \lim\limits_{x\to0}\dfrac{4\operatorname{e}^{2x}+8x\operatorname{e}^{2x}}{8\operatorname{e}^{2x}+16x\operatorname{e}^{2x}+32x\operatorname{e}^{2x}+16x\operatorname{e}^{2x}+16x^2\operatorname{e}^{2x}}=\dfrac{1}{6}.$

Příklad č. 229» Zobrazit zadání «

Vypočtěte limitu

$\lim\limits_{x \to 1} \left(\dfrac{x}{x-1}-\dfrac{1}{\ln x} \right).$

Řešení» Zobrazit řešení «

	$\lim\limits_{x \to 1} \left(\dfrac{x}{x-1}-\dfrac{1}{\ln x} \right) \left\bracevert\begin{matrix} \infty-\infty \end{matrix}\right\bracevert = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{x\ln x-x+1}{(x-1)\ln x} \left\bracevert\begin{matrix} \dfrac{0}{0} \end{matrix}\right\bracevert \overset{\text{l'H.p.}}{=}$
	$\hspace*{5mm}= \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\ln x+1-1}{\ln x+\frac{x-1}{x}}= \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\ln x}{\ln x+1-\frac{1}{x}} \left\bracevert\begin{matrix} \dfrac{0}{0} \end{matrix}\right\bracevert \overset{\text{l'H.p.}}{=}$
	$\hspace*{5mm}= \lim\limits_{x \to 1} \left(\dfrac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}\cdot\dfrac{x^2}{x^2}\right)= \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{x}{x+1}=\dfrac{1}{2}.$

Příklad č. 230» Zobrazit zadání «

Vypočtěte limitu

$\lim\limits_{x \to 1} \left( \dfrac{1}{2 \ln x}-\dfrac{1}{x^2 -1} \right).$

Řešení» Zobrazit řešení «

	$\lim\limits_{x \to 1} \left( \dfrac{1}{2 \ln x}-\dfrac{1}{x^2 -1} \right) \left\bracevert\begin{matrix} \infty-\infty \end{matrix}\right\bracevert = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{x^2-1-2\ln x}{2(x^2-1)\ln x} \left\bracevert\begin{matrix} \dfrac{0}{0} \end{matrix}\right\bracevert \overset{\text{l'H.p.}}{=}$
	$\hspace*{5mm}=\lim\limits_{x \to 1} \left(\dfrac{2x-\frac{2}{x}}{4x\ln x+\frac{2(x^2-1)}{x}}\cdot\dfrac{x}{x}\right)=$
	$\hspace*{5mm}= \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{2x^2-2}{4x^2\ln x+2x^2-2} \left\bracevert\begin{matrix} \dfrac{0}{0} \end{matrix}\right\bracevert \overset{\text{l'H.p.}}{=}$
	$\hspace*{5mm}= \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{4x}{8x\ln x+4x+4x}=\dfrac{1}{2}.$

Příklad č. 231» Zobrazit zadání «

Vypočtěte limitu

$\lim\limits_{x \to 0} \left( \dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{\ln(1+x)} \right).$

Řešení» Zobrazit řešení «

	$\lim\limits_{x \to 0} \left( \dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{\ln(1+x)} \right) \left\bracevert\begin{matrix} \pm\infty\mp\infty \end{matrix}\right\bracevert = \lim\limits_{x \to 0}\dfrac{\ln(1+x)-x}{x\ln(1+x)} \left\bracevert\begin{matrix} \dfrac{0}{0} \end{matrix}\right\bracevert \overset{\text{l'H.p.}}{=}$
	$\hspace*{5mm}=\lim\limits_{x \to 0}\left(\dfrac{\frac{1}{1+x}-1}{\ln(1+x)+\frac{x}{1+x}}\cdot\dfrac{1+x}{1+x}\right)=$
	$\hspace*{5mm}= \lim\limits_{x \to 0}\dfrac{1-1-x}{(1+x)\ln(1+x)+x} \left\bracevert\begin{matrix} \dfrac{0}{0} \end{matrix}\right\bracevert \overset{\text{l'H.p.}}{=}$
	$\hspace*{5mm}= \lim\limits_{x \to 0}\dfrac{-1}{\ln(1+x)+1+1}=-\dfrac{1}{2}.$

Příklad č. 232» Zobrazit zadání «

Vypočtěte limitu

$\lim\limits_{x\to 0+}x\ln x.$

Řešení» Zobrazit řešení «

	$\lim\limits_{x\to 0+}x\ln x \left\bracevert\begin{matrix} 0\cdot(-\infty) \end{matrix}\right\bracevert = \lim\limits_{x\to 0+}\dfrac{\ln x}{\frac{1}{x}} \left\bracevert\begin{matrix} \dfrac{-\infty}{\infty} \end{matrix}\right\bracevert \overset{\text{l'H.p.}}{=} \lim\limits_{x\to 0+}\dfrac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x^2}}=$
	$\hspace{5mm}= \lim\limits_{x\to 0+}\left(-x\right)=0.$

Příklad č. 233» Zobrazit zadání «

Vypočtěte limitu

$\lim\limits_{x\to \infty}(\pi-2\operatorname{arctg} x)\ln x.$

Řešení» Zobrazit řešení «

	$\lim\limits_{x\to \infty}(\pi-2\operatorname{arctg} x)\ln x \left\bracevert\begin{matrix} 0\cdot\infty \end{matrix}\right\bracevert = \lim\limits_{x\to \infty}\dfrac{\pi-2\operatorname{arctg} x}{\frac{1}{\ln x}} \left\bracevert\begin{matrix} \dfrac{0}{0} \end{matrix}\right\bracevert \overset{\text{l'H.p.}}{=}$
	$\hspace*{5mm}= \lim\limits_{x\to \infty}\dfrac{-\frac{-2}{1+x^2}}{-\frac{1}{\ln^2 x}\cdot\frac{1}{x}}= \lim\limits_{x\to \infty}\dfrac{2x\ln^2 x}{1+x^2} \left\bracevert\begin{matrix} \dfrac{\infty}{\infty} \end{matrix}\right\bracevert \overset{\text{l'H.p.}}{=}$
	$\hspace*{5mm}= \lim\limits_{x\to \infty}\dfrac{2\ln^2 x+\frac{4x\ln x}{x}}{2x}=$
	$\hspace*{5mm}= \lim\limits_{x\to \infty}\dfrac{2\ln^2 x+4\ln x}{2x} \left\bracevert\begin{matrix} \dfrac{\infty}{\infty} \end{matrix}\right\bracevert \overset{\text{l'H.p.}}{=} \lim\limits_{x\to \infty}\dfrac{\frac{4\ln x}{x}+\frac{4}{x}}{2}=$
	$\hspace*{5mm}= \lim\limits_{x\to \infty}\dfrac{4\ln x+4}{2x} \left\bracevert\begin{matrix} \dfrac{\infty}{\infty} \end{matrix}\right\bracevert \overset{\text{l'H.p.}}{=} \lim\limits_{x\to \infty}\dfrac{\frac{4}{x}}{2}=0.$

Příklad č. 234» Zobrazit zadání «

Vypočtěte limitu

$\lim\limits_{x\to \infty}x\operatorname{e}^{-x}.$

Řešení» Zobrazit řešení «

$\lim\limits_{x\to \infty}x\operatorname{e}^{-x} \left\bracevert\begin{matrix} \infty\cdot 0 \end{matrix}\right\bracevert = \lim\limits_{x\to \infty}\dfrac{x}{\operatorname{e}^x} \left\bracevert\begin{matrix} \dfrac{\infty}{\infty} \end{matrix}\right\bracevert \overset{\text{l'H.p.}}{=} \lim\limits_{x\to \infty}\dfrac{1}{\operatorname{e}^x}=0.$

Příklad č. 235» Zobrazit zadání «

Vypočtěte limitu

$\lim\limits_{x\to 0^+} x \operatorname{e}^{\tfrac{1}{x}}.$

Řešení» Zobrazit řešení «

$\lim\limits_{x\to 0^+} x \operatorname{e}^{\tfrac{1}{x}} \left\bracevert\begin{matrix} 0 \cdot \infty \end{matrix}\right\bracevert = \lim\limits_{x\to 0^+} \dfrac{\operatorname{e}^{\tfrac{1}{x}}}{x^{-1}} \left\bracevert\begin{matrix} \dfrac{\infty}{\infty} \end{matrix}\right\bracevert \overset{\text{l'H.p.}}{=} \lim\limits_{x\to 0^+} \dfrac{-x^{-2}\operatorname{e}^{\tfrac{1}{x}}}{-x^{-2}} = \ \hspace*{33mm}=\lim\limits_{x\to 0^+} \operatorname{e}^{\tfrac{1}{x}} \left\bracevert\begin{matrix} \operatorname{e}^{\tfrac{1}{0^+}} \end{matrix}\right\bracevert = \infty.$

Příklad č. 236» Zobrazit zadání «

Vypočtěte limitu

$\lim\limits_{x\to 0^-} x \operatorname{e}^{-\tfrac{1}{x}}.$

Řešení» Zobrazit řešení «

$\lim\limits_{x\to 0^-} x$	$\operatorname{e}^{-\tfrac{1}{x}} \left\bracevert\begin{matrix} 0 \cdot \infty \end{matrix}\right\bracevert = \lim\limits_{x\to 0^-} \dfrac{\operatorname{e}^{-\tfrac{1}{x}}}{x^{-1}} \left\bracevert\begin{matrix} \dfrac{\infty}{\infty} \end{matrix}\right\bracevert \overset{\text{l'H.p.}}{=}$
	$\hspace{24mm}= \lim\limits_{x\to 0^-} \dfrac{x^{-2}\operatorname{e}^{-\tfrac{1}{x}}}{-x^{-2}} = \lim\limits_{x\to 0^-} -\operatorname{e}^{-\tfrac{1}{x}} \left\bracevert\begin{matrix} -\operatorname{e}^{-\tfrac{1}{0^-}} \end{matrix}\right\bracevert = -\infty.$

Příklad č. 237» Zobrazit zadání «

Vypočtěte limitu

$\lim\limits_{x\to 0} \dfrac{\operatorname{e}^{-x^{-2}}}{x^{100}}.$

Řešení» Zobrazit řešení «

$\lim\limits_{x\to 0} \dfrac{\operatorname{e}^{-x^{-2}}}{x^{100}} \left\bracevert\begin{matrix} \dfrac{0}{0} \end{matrix}\right\bracevert \overset{\text{l'H.p.}}{=} \lim\limits_{x\to 0} \dfrac{\operatorname{e}^{-x^{-2}}(-1)(-2)x^{-3}}{100x^{99}} = \dfrac{1}{50} \lim\limits_{x\to 0} \dfrac{\operatorname{e}^{-x^{-2}}}{x^{102}}.$

Je vidět, že situace se zhoršila a tudy cesta nevede. Upravme tedy zadání a počítejme znovu.

$\lim\limits_{x\to 0}$	$\dfrac{\operatorname{e}^{-x^{-2}}}{x^{100}} =\lim\limits_{x\to 0} \dfrac{x^{-100}}{\operatorname{e}^{x^{-2}}} \left\bracevert\begin{matrix} \dfrac{\infty}{\infty} \end{matrix}\right\bracevert \overset{\text{l'H.p.}}{=}$
	$\hspace{11,5mm} = \lim\limits_{x\to 0} \dfrac{-100x^{-101}}{\operatorname{e}^{x^{-2}}(-2)x^{-3}} = 50 \lim\limits_{x\to 0} \dfrac{x^{-98}}{\operatorname{e}^{x^{-2}}} \left\bracevert\begin{matrix} \dfrac{\infty}{\infty} \end{matrix}\right\bracevert =$
	$\hspace{9mm}\left\bracevert\begin{matrix} \text{\it použijeme ještě } 49\times \text{ \it l'Hospitalovo pravidlo} \end{matrix}\right\bracevert$
	$\hspace{11,5mm}= 50! \lim\limits_{x\to 0} \dfrac{x^0}{\operatorname{e}^{x^{-2}}} \left\bracevert\begin{matrix} \dfrac{1}{\infty} \end{matrix}\right\bracevert = 0.$

Příklad č. 238» Zobrazit zadání «

Vypočtěte limitu

$\lim\limits_{x\to 0}(\cos 3x)^{\tfrac{1}{x^2}}.$

Řešení» Zobrazit řešení «

$\lim\limits_{x\to 0}(\cos 3x)^{\frac{1}{x^2}}=\operatorname{e}^{\lim\limits_{x\to 0}\left(\frac{1}{x^2}\cdot\ln\cos3x\right)}= \operatorname{e}^{-\frac{9}{2}},$

neboť platí

	$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\ln\cos3x}{x^2} \left\bracevert\begin{matrix} \dfrac{0}{0} \end{matrix}\right\bracevert \overset{\text{l'H.p.}}{=} \lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\frac{-3\sin 3x}{\cos 3x}}{2x}= -\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{3\sin 3x}{2x\cos 3x} \left\bracevert\begin{matrix} \dfrac{0}{0} \end{matrix}\right\bracevert \overset{\text{l'H.p.}}{=}$
	$\hspace*{35,5mm}= -\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{9\cos 3x}{2\cos 3x-6x\sin 3x}=-\dfrac{9}{2}.$

Příklad č. 239» Zobrazit zadání «

Vypočtěte limitu

$\lim\limits_{x\to 0}\left[\operatorname{tg}\left(\dfrac{\pi}{4}+x\right)\right]^{\operatorname{cotg} 2x}.$

Řešení» Zobrazit řešení «

$\lim\limits_{x\to 0}\left[\operatorname{tg} \left(\dfrac{\pi}{4}+x\right)\right]^{\operatorname{cotg} 2x}= \operatorname{e}^{\lim\limits_{x\to 0}\left\{\operatorname{cotg} (2x)\cdot \ln\left[\operatorname{tg} \left(\frac{\pi}{4}+x\right)\right]\right\}}=\operatorname{e},$

neboť platí

	$\lim\limits_{x\to 0}\left\{\operatorname{cotg} (2x)\cdot \ln\left[\operatorname{tg} \left(\dfrac{\pi}{4}+x\right)\right]\right\}= \lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\cos(2x)\cdot\ln\left(\frac{\pi}{4}+x\right)} {\sin 2x} \left\bracevert\begin{matrix} \dfrac{0}{0} \end{matrix}\right\bracevert \overset{\text{l'H.p.}}{=}$
	$\hspace*{5mm}= \lim\limits_{x\to 0}\dfrac{-2\sin(2x)\cdot\ln\left(\frac{\pi}{4}+x\right)+ \cos(2x)\cdot\frac{1}{\operatorname{tg} \left(\frac{\pi}{4}+x\right)}\cdot \frac{1}{\cos^2\left(\frac{\pi}{4}+x\right)}}{2\cos 2x}=1.$

Příklad č. 240» Zobrazit zadání «

Vypočtěte limitu

$\lim\limits_{x\to 1+}x^{\tfrac{1}{1-x}}.$

Řešení» Zobrazit řešení «

$\lim\limits_{x\to 1+}x^{\frac{1}{1-x}}= \operatorname{e}^{\lim\limits_{x\to 1+}\left(\frac{1}{1-x}\cdot\ln x\right)}=\operatorname{e}^{-1},$

neboť platí

$\lim\limits_{x\to 1+}\left(\dfrac{1}{1-x}\cdot\ln x\right)= \lim\limits_{x\to 1+}\dfrac{\ln x}{1-x} \left\bracevert\begin{matrix} \dfrac{0}{0} \end{matrix}\right\bracevert \overset{\text{l'H.p.}}{=} \lim\limits_{x\to 1+}\dfrac{\frac{1}{x}}{-1}=-1.$

Příklad č. 241» Zobrazit zadání «

Vypočtěte limitu

$\lim\limits_{x\to \frac{\pi}{4}}(\operatorname{tg} x)^{\operatorname{tg} 2x}.$

Řešení» Zobrazit řešení «

$\lim\limits_{x\to \frac{\pi}{4}}(\operatorname{tg} x)^{\operatorname{tg} 2x}= \operatorname{e}^{\lim\limits_{x\to \frac{\pi}{4}}\left[\operatorname{tg} \left(2x\right)\cdot \ln\left(\operatorname{tg} x\right)\right]}= \operatorname{e}^{-1},$

neboť platí

	$\lim\limits_{x\to \frac{\pi}{4}}\left[\operatorname{tg} \left(2x\right)\cdot \ln\left(\operatorname{tg} x\right)\right]= \lim\limits_{x\to \frac{\pi}{4}}\dfrac{\sin (2x)\cdot\ln(\operatorname{tg} x)}{\cos 2x} \left\bracevert\begin{matrix} \dfrac{0}{0} \end{matrix}\right\bracevert \overset{\text{l'H.p.}}{=}$
	$\hspace*{5mm}= \lim\limits_{x\to \frac{\pi}{4}}\dfrac{2\cos (2x)\cdot\ln(\operatorname{tg} x)+ \sin (2x)\cdot\frac{1}{\operatorname{tg} x}\cdot\frac{1}{\cos^2 x}}{-2\sin 2x}=-1.$

Příklad č. 242» Zobrazit zadání «

Vypočtěte limitu

$\lim\limits_{x\to 0}\left(\dfrac{\sin x}{x}\right)^{\frac{1}{x^2}}.$

Řešení» Zobrazit řešení «

$\lim\limits_{x\to 0}\left(\dfrac{\sin x}{x}\right)^{\frac{1}{x^2}}= \operatorname{e}^{\lim\limits_{x\to 0}\left(\frac{1}{x^2}\cdot\ln\frac{\sin x}{x}\right)}= \operatorname{e}^{-\frac{1}{6}},$

neboť platí

	$\lim\limits_{x\to 0}\left(\dfrac{1}{x^2}\cdot\ln\dfrac{\sin x}{x}\right)= \lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\ln\frac{\sin x}{x}}{x^2} \left\bracevert\begin{matrix} \dfrac{0}{0} \end{matrix}\right\bracevert \overset{\text{l'H.p.}}{=} \lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\frac{x}{\sin x}\cdot\frac{(\cos x)\cdot x-\sin x}{x^2}}{2x}=$
	$\hspace*{5mm}= \lim\limits_{x\to 0}\dfrac{x\cos x-\sin x}{2x^2\sin x} \left\bracevert\begin{matrix} \dfrac{0}{0} \end{matrix}\right\bracevert \overset{\text{l'H.p.}}{=} \lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\cos x-x\sin x-\cos x}{4x\sin x+2x^2\cos x}=$
	$\hspace*{5mm}= \lim\limits_{x\to 0}\dfrac{-\sin x}{4\sin x+2x\cos x} \left\bracevert\begin{matrix} \dfrac{0}{0} \end{matrix}\right\bracevert \overset{\text{l'H.p.}}{=}$
	$\hspace*{5mm}= \lim\limits_{x\to 0}\dfrac{-\cos x}{4\cos x+2\cos x-2x\sin x}=-\dfrac{1}{6}.$

Příklad č. 243» Zobrazit zadání «

Vypočtěte limitu

$\lim\limits_{x\to 0}\left(\dfrac{\operatorname{arctg} x}{x}\right)^{\frac{1}{x}}.$

Řešení» Zobrazit řešení «

$\lim\limits_{x\to 0}\left(\dfrac{\operatorname{arctg} x}{x}\right)^{\frac{1}{x}}= \operatorname{e}^{\lim\limits_{x\to 0}\left(\frac{1}{x}\cdot\ln\frac{\operatorname{arctg} x}{x}\right)}= \operatorname{e}^{0}=1,$

neboť platí

	$\lim\limits_{x\to 0}\left(\dfrac{1}{x}\cdot\ln\dfrac{\operatorname{arctg} x}{x}\right)= \lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\ln\frac{\operatorname{arctg} x}{x}}{x} \left\bracevert\begin{matrix} \text{což je limita typu }\dfrac{0}{0},\text{ neboť platí}\\ \lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\operatorname{arctg} x}{x}\overset{\text{l'H.p.}}{=}\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\frac{1}{1+x^2}}{1}=1 \end{matrix}\right\bracevert \overset{\text{l'H.p.}}{=}$
	$\hspace*{5mm}= \lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\frac{x}{\operatorname{arctg} x}\frac{\frac{x}{1+x^2}-\operatorname{arctg} x}{x^2}}{1}= \lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\frac{x}{1+x^2}-\operatorname{arctg} x}{x\operatorname{arctg} x}=$
	$\hspace*{5mm}= \lim\limits_{x\to 0}\dfrac{x-(1+x^2)\operatorname{arctg} x}{(1+x^2)x\operatorname{arctg} x} \left\bracevert\begin{matrix} \dfrac{0}{0} \end{matrix}\right\bracevert \overset{\text{l'H.p.}}{=}$
	$\hspace*{5mm}= \lim\limits_{x\to 0}\dfrac{1-2x\operatorname{arctg} x-1}{(1+3x^2)\operatorname{arctg} x+x} \left\bracevert\begin{matrix} \dfrac{0}{0} \end{matrix}\right\bracevert \overset{\text{l'H.p.}}{=}$
	$\hspace*{5mm}= \lim\limits_{x\to 0}\dfrac{-2\operatorname{arctg} x-\frac{2x}{1+x^2}}{6x\operatorname{arctg} x+\frac{1+3x^2}{1+x^2}+1}=$
	$\hspace*{5mm}= \lim\limits_{x\to 0}\dfrac{-2(1+x^2)\operatorname{arctg} x-2x}{6x(1+x^2)\operatorname{arctg} x+1+3x^2+1+x^2}=0.$

Příklad č. 244» Zobrazit zadání «

Vypočtěte limitu

$\lim\limits_{x\to 0^{+}}(\operatorname{cotg} x)^{\sin x}.$

Řešení» Zobrazit řešení «

$\lim\limits_{x\to 0^{+}}(\operatorname{cotg} x)^{\sin x}= \operatorname{e}^{\lim\limits_{x\to 0^{+}}\left(\sin x\cdot\ln\operatorname{cotg} x\right)}=1,$

neboť platí

	$\lim\limits_{x\to 0^{+}}\left(\sin x\cdot\ln\operatorname{cotg} x\right) \left\bracevert\begin{matrix} 0\cdot\infty \end{matrix}\right\bracevert = \lim\limits_{x\to 0^{+}}\dfrac{\ln\frac{\cos x}{\sin x}}{\frac{1}{\sin x}} \left\bracevert\begin{matrix} \dfrac{\infty}{\infty} \end{matrix}\right\bracevert \overset{\text{l'H.p.}}{=}$
	$\hspace*{5mm}= \lim\limits_{x\to 0^{+}}\dfrac{\frac{\sin x}{\cos x}\cdot\frac{-1}{\sin^2 x}} {-\frac{\cos x}{\sin^2 x}}= \lim\limits_{x\to 0^{+}}\left(\dfrac{\sin x}{\sin^2 x \cdot \cos x}\cdot\dfrac{\sin^2 x}{\cos x}\right)=$
	$\hspace*{5mm}= \lim\limits_{x\to 0^{+}}\dfrac{\sin x}{\cos^2 x}=0.$

Příklad č. 245» Zobrazit zadání «

Vypočtěte limitu

$\lim\limits_{x\to 0}\left(\dfrac{\sin x}{x}\right)^{\frac{1}{1-\cos x}}.$

Řešení» Zobrazit řešení «

$\lim\limits_{x\to 0}\left(\dfrac{\sin x}{x}\right)^{\frac{1}{1-\cos x}}= \operatorname{e}^{\lim\limits_{x\to 0}\left(\frac{1}{1-\cos x}\cdot\ln\frac{\sin x}{x}\right)}= \operatorname{e}^{-\frac{1}{3}},$

neboť platí

	$\lim\limits_{x\to 0}\left(\dfrac{1}{1-\cos x}\cdot\ln\dfrac{\sin x}{x}\right)= \lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\ln\frac{\sin x}{x}}{1-\cos x} \left\bracevert\begin{matrix} \dfrac{0}{0} \end{matrix}\right\bracevert \overset{\text{l'H.p.}}{=}$
	$\hspace*{5mm}= \lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\frac{x}{\sin x}\cdot\frac{(\cos x)x-\sin x}{x^2}}{\sin x}=$
	$\hspace*{5mm}= \lim\limits_{x\to 0}\dfrac{x\cos x-\sin x}{x\sin^2 x} \left\bracevert\begin{matrix} \dfrac{0}{0} \end{matrix}\right\bracevert \overset{\text{l'H.p.}}{=}$
	$\hspace*{5mm}= \lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\cos x-x\sin x-\cos x}{\sin^2 x+2x\sin x\cos x}=$
	$\hspace*{5mm}= \lim\limits_{x\to 0}\dfrac{-x\sin x}{\sin^2 x+x\sin 2x} \left\bracevert\begin{matrix} \dfrac{0}{0} \end{matrix}\right\bracevert \overset{\text{l'H.p.}}{=}$
	$\hspace*{5mm}= \lim\limits_{x\to 0}\dfrac{-\sin x-x\cos x}{2\sin x\cos x+\sin 2x+2x\cos 2x}=$
	$\hspace*{5mm}= \lim\limits_{x\to 0}\dfrac{-\sin x-x\cos x}{\sin 2x+\sin 2x+2x\cos 2x} \left\bracevert\begin{matrix} \dfrac{0}{0} \end{matrix}\right\bracevert \overset{\text{l'H.p.}}{=}$
	$\hspace*{5mm}= \lim\limits_{x\to 0}\dfrac{-\cos x-\cos x+x\sin x}{2\cos 2x+2\cos2x+2\cos 2x-4x\sin 2x}=-\dfrac{1}{3}.$

Příklad č. 246» Zobrazit zadání «

Rozhodněte, zda je funkce

$f(x)=\begin{cases} \dfrac{x\cdot\cos 2x\cdot\sin 3x}{x^2-\pi^2}, & x\not =\pi,\\ -\dfrac{1}{2}, & x=\pi \end{cases}$

spojitá.

Řešení» Zobrazit řešení «

Pomocí l'Hospitalova pravidla dostaneme

	$\lim\limits_{x\to\pi}\dfrac{x\cdot\cos 2x\cdot\sin 3x}{x^2-\pi^2} \left\bracevert\begin{matrix} \dfrac{0}{0} \end{matrix}\right\bracevert \overset{\text{l'H.p.}}{=}$
	$\hspace*{5mm}= \lim\limits_{x\to\pi}\dfrac{\cos 2x\cdot\sin 3x-2x\sin2x\cdot\sin3x+3x\cos2x\cdot\cos 3x}{2x}=-\dfrac{3}{2},$

což znamená, že funkce $f(x)$ není spojitá.

nahoru

Tisková verze

Mgr. Petr Zemánek, Ph.D., Mgr. Petr Hasil, Ph.D. |
ÚMS, Přírodovědecká fakulta, Masarykova univerzita |
Návrat na úvodní stránku webu, přístupnost |

| Technická spolupráce:
| Servisní středisko pro e-learning na MU
| Fakulta informatiky Masarykovy univerzity, 2012

Technické řešení této výukové pomůcky je spolufinancováno Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky.

Nahoru

INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ