Přechod na menu, Přechod na obsah, Přechod na patičku

Sbírka řešených příkladů z matematické analýzy I
Přírodovědecká fakulta Masarykovy univerzity
Mgr. Petr Zemánek, Ph.D., Mgr. Petr Hasil, Ph.D.

Ovládání příkladů

Rozbalit zadání Rozbalit řešení Rozbalit vše

Zpět nahoru

I. 2. Limity posloupností a funkcí

nahoru

Limita posloupnosti

Definice 3

Nechť je dána posloupnost $\{a_n\}$ a číslo $A\in\mathbb{R}$ . Řekneme, že posloupnost $\{a_n\}$ má limitu $A$ (píšeme $\lim_{n\to\infty}a_n=A$ ), jestliže ke každému $\varepsilon>0$ existuje $n_0\in\mathbb{N}$ takové, že pro každé $n\geq n_0$ platí, že $\lvert a_n-A \rvert <\varepsilon$ , nebo-li

$\forall \varepsilon>0 ~\exists n_0\in\mathbb{N} ~\text{tak, že}~\forall n\geq n_0 ~\text{platí}~ \lvert a_n-A \rvert <\varepsilon.$

Definice 4

Řekneme, že posloupnost $\{a_n\}$ má limitu $\pm\infty$ (píšeme $\lim_{n\to\infty}a_n=\pm\infty$ ), jestliže ke každému $A\in\mathbb{R}$ existuje $n_0\in\mathbb{N}$ takové, že pro každé $n\geq n_0$ platí $a_n>A$ ( $a_n<A$ ), nebo-li

$\forall A>0~(A<0)~\exists n_0\in\mathbb{N} ~\text{tak, že}~\forall n\geq n_0 ~\text{platí}~a_n>A~(a_n<A).$

Pokud $\lim_{n\to\infty}a_n=A$ a $\lim_{n\to\infty}b_n=B$ , kde $A,B\in\mathbb{R}$ , platí následující pravidla pro počítání s limitami:

$\lim\limits_{n\to\infty} \lvert a_n \rvert$	$= \lvert A \rvert ,$
$\lim\limits_{n\to\infty}(a_n+b_n)$	$=A+B,$
$\lim\limits_{n\to\infty}(a_n\cdot b_n)$	$=A\cdot B.$

Jestliže navíc $B\not =0$ , pak platí

$\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{a_n}{b_n}=\dfrac{A}{B}.$

Důležité vzorce:

$\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n$	$=\operatorname{e},$
$\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}$	$=1,$
$\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{\text{ohraničená posloupnost}}{\text{posloupnost jdoucí do } \pm \infty}$	$=0.$

Neučité výrazy:

$\infty-\infty,\quad -\infty+\infty,\quad 0\cdot(\pm\infty),\quad \pm\dfrac{\infty}{\infty},\quad \dfrac{0}{0},\quad 0^0,\quad \infty^0,\quad 1^\infty.$

Příklad č. 69» Zobrazit zadání «

Z definice limity dokažte, že platí

$\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{n}{n+1}=1.$

K číslu $\varepsilon=0,\!1$ určete $n_0$ .

Řešení» Zobrazit řešení «

Ke každému $\varepsilon$ musíme najít příslušné $n_0$ tak, že platí nerovnost z definice, tzn.

$\left\lvert \dfrac{n}{n+1}-1 \right\rvert <\varepsilon$

Proto řešením dostaneme

$\left\lvert \dfrac{n-n-1}{n+1} \right\rvert <\varepsilon$	$\overset{n\in\mathbb{N}}{\Leftrightarrow}\dfrac{1}{n+1}<\varepsilon \Leftrightarrow$
	$\Leftrightarrow n+1<\dfrac{1}{\varepsilon}\Rightarrow n_0:=\left\lfloor\dfrac{1}{\varepsilon}-1\right\rfloor+1,$

kde $\lfloor\cdot\rfloor$ značí (dolní) celou část čísla. Pro $\varepsilon=0,1$ máme $n_0=10$ .

Příklad č. 70» Zobrazit zadání «

Z definice limity dokažte, že

$\lim\limits_{n\to\infty}n=\infty.$

Řešení» Zobrazit řešení «

Mějme dle definice $A\in\mathbb{R}$ . Musíme určit $n_{0}$ tak, aby $\forall n>n_{0}$ platilo

$a_{n}>A,\quad \text{tj. } n>A,$

proto $n_0:=\max\left\{1+\left\lfloor A \right\rfloor,1\right\}$ .

Příklad č. 71» Zobrazit zadání «

Udejte příklad posloupností $a_n$ a $b_n$ takových, že $\lim_{n\to\infty}a_n=0$ a $\lim_{n\to\infty}b_n=0$ a zároveň

$\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{a_n}{b_n}=1 \quad \text{nebo} \quad \lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{a_n}{b_n}=0.$

Řešení» Zobrazit řešení «

Řešením jsou např. posloupnosti $a_n=b_n=\frac{1}{n}$ a $a_n=\frac{1}{n^2},~b_n=\frac{1}{n}$ .

Příklad č. 72» Zobrazit zadání «

Vypočtěte

$\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{2^n-3^n}{3^n}.$

Řešení» Zobrazit řešení «

$\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{2^n-3^n}{3^n}=\lim\limits_{n\to\infty}\left[\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n}-\left(\dfrac{3}{3}\right)^{n}\right]= \lim\limits_{n\to\infty}\left[\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n}-1\right]=-1.$

Příklad č. 73» Zobrazit zadání «

Vypočtěte

$\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{3n^2+1}{3n+n^2}.$

Řešení» Zobrazit řešení «

$\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{3n^2+1}{3n+n^2}= \lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{n^2\left(3+\frac{1}{n^2}\right)}{n^2\left(\frac{3}{n}+1\right)}=3.$

Příklad č. 74» Zobrazit zadání «

Vypočtěte

$\lim\limits_{n\to\infty}(n^2-5n-1).$

Řešení» Zobrazit řešení «

$\lim\limits_{n\to\infty}(n^2-5n-1)=\lim\limits_{n\to\infty}n^2\left(1-\dfrac{5}{n}-\dfrac{1}{n^2}\right)=\infty.$

Příklad č. 75» Zobrazit zadání «

Vypočtěte

$\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{-8n^2+6n+7}{2n+5}.$

Řešení» Zobrazit řešení «

$\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{-8n^2+6n+7}{2n+5}= \lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{n\left(-8n+6+\frac{7}{n}\right)}{n\left(2+\frac{5}{n}\right)}=-\infty.$

Příklad č. 76» Zobrazit zadání «

Vypočtěte

$\lim\limits_{n\to \infty}\left(\sqrt{(n+a)(n+b)}-n\right).$

Řešení» Zobrazit řešení «

	$\lim\limits_{n\to \infty}\left(\sqrt{(n+a)(n+b)}-n\right)=$
	$\hspace{5mm}=\lim\limits_{n\to \infty}\left[\left(\sqrt{(n+a)(n+b)}-n\right)\dfrac{\sqrt{(n+a)(n+b)}+n}{\sqrt{(n+a)(n+b)}+n}\right]=$
	$\hspace{5mm}= \lim\limits_{n\to \infty}\dfrac{(n+a)(n+b)-n^2}{\sqrt{(n+a)(n+b)}+n}= \lim\limits_{n\to \infty}\dfrac{(a+b)n+ab}{\sqrt{(n+a)(n+b)}+n}=$
	$\hspace{5mm}= \lim\limits_{n\to \infty}\dfrac{n\left(a+b+\frac{ab}{n}\right)}{n\left(\sqrt{1+\frac{a+b}{n}+\frac{ab}{n^2}}+1\right)}= \dfrac{a+b}{2}.$

Příklad č. 77» Zobrazit zadání «

Vypočtěte

$\lim\limits_{n\to \infty}\left(\sqrt{n+\sqrt{n}}-\sqrt{2n+1}\right).$

Řešení» Zobrazit řešení «

	$\lim\limits_{n\to \infty}\left(\sqrt{n+\sqrt{n}}-\sqrt{2n+1}\right)=$
	$\hspace*{5mm}= \lim\limits_{n\to \infty}\left[\left(\sqrt{n+\sqrt{n}}-\sqrt{2n+1}\right) \dfrac{\sqrt{n+\sqrt{n}}+\sqrt{2n+1}}{\sqrt{n+\sqrt{n}}+\sqrt{2n+1}}\right]=$
	$\hspace*{5mm}= \lim\limits_{n\to \infty}\dfrac{n+\sqrt{n}-\left(2n+1\right)}{\sqrt{n+\sqrt{n}}+\sqrt{2n+1}}= \lim\limits_{n\to \infty}\dfrac{-n-1+\sqrt{n}}{\sqrt{n+\sqrt{n}}+\sqrt{2n+1}}=$
	$\hspace*{5mm}= \lim\limits_{n\to \infty}\dfrac{\sqrt{n}\left(-\sqrt{n}-\frac{1}{\sqrt{n}}+1\right)} {\sqrt{n}\left(\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{n}}}+\sqrt{2+\frac{1}{\sqrt{n}}}\right)}=-\infty.$

Příklad č. 78» Zobrazit zadání «

Vypočtěte

$\lim\limits_{n\to\infty}\left(\sqrt{9n^2-4}-3n\right).$

Řešení» Zobrazit řešení «

	$\lim\limits_{n\to\infty}\left(\sqrt{9n^2-4}-3n\right)= \lim\limits_{n\to\infty}\left[\left(\sqrt{9n^2-4}-3n\right)\dfrac{\sqrt{9n^2-4}+3n}{\sqrt{9n^2-4}+3n}\right]=$
	$\hspace*{5mm}= \lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{9n^2-4-9n^2}{\sqrt{9n^2-4}+3n}= \lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{-4}{\sqrt{9n^2-4}+3n}=0.$

Příklad č. 79» Zobrazit zadání «

Vypočtěte

$\lim\limits_{n\to\infty}\left(\sqrt{9n^2-4}-2n\right).$

Řešení» Zobrazit řešení «

	$\lim\limits_{n\to\infty}\left(\sqrt{9n^2-4}-2n\right)= \lim\limits_{n\to\infty}\left[\left(\sqrt{9n^2-4}-2n\right)\dfrac{\sqrt{9n^2-4}+2n}{\sqrt{9n^2-4}+2n}\right]=$
	$\hspace*{5mm}= \lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{9n^2-4-4n^2}{\sqrt{9n^2-4}+2n}=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{n\left(5n-\frac{4}{n}\right)}{n\left(\sqrt{9-\frac{4}{n^2}}+2\right)}=\infty.$

Příklad č. 80» Zobrazit zadání «

Vypočtěte

$\lim\limits_{n\to \infty}\left(\sqrt{2n+3}-\sqrt{n-1}\right).$

Řešení» Zobrazit řešení «

	$\lim\limits_{n\to \infty}\left(\sqrt{2n+3}-\sqrt{n-1}\right)= \lim\limits_{n\to \infty}\left[\left(\sqrt{2n+3}-\sqrt{n-1}\right)\dfrac{\sqrt{2n+3}+\sqrt{n-1}}{\sqrt{2n+3}+\sqrt{n-1}}\right]=$
	$\hspace*{5mm}= \lim\limits_{n\to \infty}\dfrac{2n+3-(n-1)}{\sqrt{2n+3}+\sqrt{n-1}}= \lim\limits_{n\to \infty}\dfrac{n+4}{\sqrt{2n+3}+\sqrt{n-1}}=$
	$\hspace*{5mm}= \lim\limits_{n\to \infty}\dfrac{\sqrt{n}\left(\sqrt{n}+\frac{4}{\sqrt{n}}\right)}{\sqrt{n}\left(\sqrt{2+\frac{3}{\sqrt{n}}}+\sqrt{1-\frac{1}{n}}\right)}=\infty.$

Příklad č. 81» Zobrazit zadání «

Vypočtěte

$\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{\sqrt[3]{n^2+1}-16n}{\sqrt[3]{n^4+18n}}.$

Řešení» Zobrazit řešení «

$\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{\sqrt[3]{n^2+1}-16n}{\sqrt[3]{n^4+18n}}$	$= \lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{n^{4/3}\left(\sqrt[3]{\frac{1}{n^2}+\frac{1}{n^4}}-\frac{16n}{\sqrt[3]{n^4}}\right)}{n^{4/3}\left(\sqrt[3]{1+\frac{18n}{n^4}}\right)}=$
	$= \lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{\sqrt[3]{\frac{1}{n^2}+\frac{1}{n^4}}-16\sqrt[3]{\frac{1}{n}}}{\sqrt[3]{1+\frac{18}{n^3}}}=0.$

Příklad č. 82» Zobrazit zadání «

Vypočtěte

$\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{\sqrt[3]{2n^5+3n+1}+\sqrt{5n^2+3n}}{\sqrt{2n^3+4n+1}-\sqrt[3]{5n^5+1}}.$

Řešení» Zobrazit řešení «

$\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{\sqrt[3]{2n^5+3n+1}+\sqrt{5n^2+3n}}{\sqrt{2n^3+4n+1}-\sqrt[3]{5n^5+1}}=$

$\hspace*{5mm}=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{n^{5/3}\left(\sqrt[3]{2+\frac{3}{n^4}+\frac{1}{n^5}}+\sqrt{\frac{5}{n^{4/3}}+\frac{3}{n^{7/3}}}\right)} {n^{5/3}\left(\sqrt{\frac{2}{\sqrt[3]{n}}+\frac{4}{n^{7/3}}+\frac{1}{n^{10/3}}}-\sqrt[3]{5+\frac{1}{n^5}}\right)}= -\sqrt[3]{\dfrac{2}{5}}.$

Příklad č. 83» Zobrazit zadání «

Vypočtěte

$\lim\limits_{n\to\infty}n\cdot\left(\sqrt{a+\dfrac{1}{n}}-\sqrt{a}\right).$

Řešení» Zobrazit řešení «

	$\lim\limits_{n\to\infty}n\cdot\left(\sqrt{a+\dfrac{1}{n}}-\sqrt{a}\right)= \lim\limits_{n\to\infty}\left[n\cdot\left(\sqrt{a+\dfrac{1}{n}}-\sqrt{a}\right)\dfrac{\sqrt{a+\frac{1}{n}}+\sqrt{a}}{\sqrt{a+\frac{1}{n}}+\sqrt{a}}\right]=$
	$\hspace*{5mm}= \lim\limits_{n\to\infty}n\dfrac{a+\frac{1}{n}-a}{\sqrt{a+\frac{1}{n}}+\sqrt{a}}= \lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{1}{\sqrt{a+\frac{1}{n}}+\sqrt{a}}=\dfrac{1}{2\sqrt{a}}.$

Příklad č. 84» Zobrazit zadání «

Vypočtěte

$\lim\limits_{n\to\infty}\cos\dfrac{1}{n}.$

Řešení» Zobrazit řešení «

$\lim\limits_{n\to\infty}\cos\dfrac{1}{n}=\cos\left(\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{1}{n}\right)=1.$

Příklad č. 85» Zobrazit zadání «

Vypočtěte

$\lim\limits_{n\to\infty}(1+\cos n\pi).$

Řešení» Zobrazit řešení «

$\lim\limits_{n\to\infty}(1+\cos n\pi)=1+\lim\limits_{n\to\infty}\left(\cos n\pi\right)=1+\left(\pm 1\right)\quad\Rightarrow\text{limita neexistuje.}$

Příklad č. 86» Zobrazit zadání «

Vypočtěte

$\lim\limits_{n\to\infty}(1+\sin n\pi).$

Řešení» Zobrazit řešení «

$\lim\limits_{n\to\infty}(1+\sin n\pi)=1+\lim\limits_{n\to\infty}(\sin n\pi)=1.$

Příklad č. 87» Zobrazit zadání «

Vypočtěte

$\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{2n+\sin n}{3n-1}.$

Řešení» Zobrazit řešení «

$\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{2n+\sin n}{3n-1}=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{n\left(2+\frac{\sin n}{n}\right)}{n\left(3-\frac{1}{n}\right)} \left\bracevert\begin{matrix} \lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{\sin n}{n}=0\\ \text{neboť} -1\leq\sin n\leq 1 \end{matrix}\right\bracevert =\dfrac{2}{3}.$

Příklad č. 88» Zobrazit zadání «

Vypočtěte

$\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{5n}.$

Řešení» Zobrazit řešení «

$\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{5n}=\lim\limits_{n\to\infty}\left(\sqrt[n]{5}\sqrt[n]{n}\right)=1,$

neboť platí $\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}=1.$ Nechť platí

$\sqrt[n]{n}=1+h_{n},$

kde jistě $h_{n}\geq0$ . Musíme proto ukázat, že $\lim_{n\to\infty}h_{n}=0$ . Postupnými úpravami obdržíme

$\sqrt[n]{n}$	$=1+h_{n}~/^{n}$
$n$	$=\left(1+h_{n}\right)^{n}=1+h_{n}+\dfrac{n(n-1)}{2}h_{n}^{2}+\dots+h_{n}^{n}$
	$\Downarrow$
$n$	$\geq\dfrac{n(n-1)}{2}h_{n}^{2}\geq0$
$0\leftarrow 0$	$\leq h_{n}^{2}\leq\dfrac{2}{n-1}\to 0$

proto z Věty o limitě sevřené posloupnosti (též „o dvou policajtech“) plyne $\lim_{n\to\infty}h_{n}=0$ .

Příklad č. 89» Zobrazit zadání «

Vypočtěte

$\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[2n]{n}.$

Řešení» Zobrazit řešení «

$\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[2n]{n}=\lim\limits_{n\to\infty}\left(\sqrt[n]{n}\right)^{1/2}=\sqrt{1}=1.$

Příklad č. 90» Zobrazit zadání «

Vypočtěte

$\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{2^n+3^n}.$

Řešení» Zobrazit řešení «

Zadanou posloupnost můžeme omezit

$3\leftarrow\sqrt[n]{3^n}\leq \sqrt[n]{2^n+3^n}\leq \sqrt[n]{3^n+3^n}\to~\lim\limits_{n \to \infty}\sqrt[n]{2\cdot3^n}=3 \lim\limits_{n \to \infty}\sqrt[n]{2}=3,$

proto z Věty o limitě sevřené posloupnosti plyne $\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{2^n+3^n}=3$ .

Příklad č. 91» Zobrazit zadání «

Vypočtěte

$\lim\limits_{n\to\infty}\left(\dfrac{2n}{n-1}\right)^{2n}.$

Řešení» Zobrazit řešení «

	$\lim\limits_{n\to\infty}\left(\dfrac{2n}{n-1}\right)^{2n}= \lim\limits_{n\to\infty}2^{2n}\left(\dfrac{n}{n-1}\right)^{2n}=$
	$\hspace*{5mm}= \lim\limits_{n\to\infty}2^{2n}\left(\dfrac{n-1+1}{n-1}\right)^{2n}= \lim\limits_{n\to\infty}2^{2n}\left(1+\dfrac{1}{n-1}\right)^{2n}=$
	$\hspace*{5mm}= \lim\limits_{n\to\infty}4^{n}\left[\left(1+\dfrac{1}{n-1}\right)^{n-1}\left(1+\dfrac{1}{n-1}\right)\right]^{2}= \infty\cdot\left(\operatorname{e}\cdot 1\right)^2=\infty.$

Příklad č. 92» Zobrazit zadání «

Vypočtěte

$\lim\limits_{n\to\infty}\left(1-\dfrac{1}{n}\right)^n.$

Řešení» Zobrazit řešení «

	$\lim\limits_{n\to\infty}\left(1-\dfrac{1}{n}\right)^n= \lim\limits_{n\to\infty}\left(\dfrac{n-1}{n}\right)^n= \dfrac{1}{\lim\limits_{n\to\infty}\left(\frac{n}{n-1}\right)^n}=$
	$\hspace*{5mm}= \dfrac{1}{\lim\limits_{n\to\infty}\left(\frac{n-1+1}{n-1}\right)^n}= \dfrac{1}{\lim\limits_{n\to\infty}\left[\left(1+\frac{1}{n-1}\right)^{n-1}\left(1+\frac{1}{n-1}\right)\right]}=\dfrac{1}{\operatorname{e}}.$

Příklad č. 93» Zobrazit zadání «

Vypočtěte

$\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{3n}.$

Řešení» Zobrazit řešení «

$\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{3n}= \lim\limits_{n\to\infty}\left[\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{n}\right]^{3}=\operatorname{e}^3.$

Příklad č. 94» Zobrazit zadání «

Vypočtěte

$\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{n+5}.$

Řešení» Zobrazit řešení «

$\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{n+5}= \lim\limits_{n\to\infty}\left[\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{n}\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{5}\right]=\operatorname{e}.$

Příklad č. 95» Zobrazit zadání «

Vypočtěte

$\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\dfrac{1}{5n}\right)^{n}.$

Řešení» Zobrazit řešení «

$\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\dfrac{1}{5n}\right)^{n}= \lim\limits_{n\to\infty}\left[\left(1+\dfrac{1}{5n}\right)^{5n}\right]^{1/5}=\sqrt[5]{\operatorname{e}}.$

Příklad č. 96» Zobrazit zadání «

Vypočtěte

$\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\dfrac{1}{2n+3}\right)^{7n+6}.$

Řešení» Zobrazit řešení «

	$\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\dfrac{1}{2n+3}\right)^{7n+6}= \lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\dfrac{1}{2n+3}\right)^{\frac{7}{2}(2n+3)-\frac{9}{2}}=$
	$\hspace*{5mm}= \lim\limits_{n\to\infty}\left[\left(1+\dfrac{1}{2n+3}\right)^{2n+3}\right]^{7/2}\left(1+\dfrac{1}{2n+3}\right)^{-9/2}= \sqrt{\operatorname{e}^7}.$

Příklad č. 97» Zobrazit zadání «

Vypočtěte

$\lim\limits_{n\to\infty}\left(\dfrac{1}{n}\cos\dfrac{n^2+1}{2n-1}\right).$

Řešení» Zobrazit řešení «

Neboť platí

$-1\leq\cos\dfrac{n^2+1}{2n-1}\leq 1 \quad \Rightarrow\quad 0\leftarrow-\dfrac{1}{n}\leq\dfrac{1}{n}\cos\dfrac{n^2+1}{2n-1}\leq \dfrac{1}{n}\to 0,$

plyne z Věty o limitě sevřené posloupnosti $\lim\limits_{n\to\infty}\left(\frac{1}{n}\cos\frac{n^2+1}{2n-1}\right)=0$ .

Příklad č. 98» Zobrazit zadání «

Vypočtěte

$\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{2^n+(-2)^n}{2\cdot4^n}.$

Řešení» Zobrazit řešení «

$\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{2^n+(-2)^n}{2\cdot4^n}= \lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{2^{n}\left(1+(-1)^n\right)}{2\cdot2^n\cdot2^n}= \lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{1+(-1)^n}{2\cdot2^n}=$

$\hspace{5mm}=\dfrac{1}{2}\lim\limits_{n\to\infty}\left[\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}+\left(-\dfrac{1}{2}\right)^{n}\right]=0.$

Příklad č. 99» Zobrazit zadání «

Vypočtěte

$\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{(n+2)!-3n!}{(n+2)!+1}.$

Řešení» Zobrazit řešení «

	$\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{(n+2)!-3n!}{(n+2)!+1}= \lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{(n+2)(n+1)n!-3n!}{(n+2)(n+1)n!+1}=$
	$\hspace*{5mm}= \lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{(n+2)(n+1)-3}{(n+2)(n+1)+\dfrac{1}{n!}}= \lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{n^2+3n+2-3}{n^2+3n+2+\dfrac{1}{n!}}=$
	$\hspace*{5mm}=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{1+\frac{3}{n}-\frac{1}{n^2}}{1+\frac{3}{n}+\frac{2}{n^2}+\frac{1}{n^2\cdot n!}}=1.$

Příklad č. 100» Zobrazit zadání «

Vypočtěte

$\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{(n+2)!+(n+1)!}{(n+2)!-(n+1)!}.$

Řešení» Zobrazit řešení «

$\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{(n+2)!+(n+1)!}{(n+2)!-(n+1)!}= \lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{(n+2)+1}{(n+2)-1}= \lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{n\left(1+\frac{3}{n}\right)}{n\left(1+\frac{1}{n}\right)}=1.$

Příklad č. 101» Zobrazit zadání «

Vypočtěte

$\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{1+2+\cdots+n}{n^2}.$

Řešení» Zobrazit řešení «

	$\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{1+2+\cdots+n}{n^2} \left\bracevert\begin{matrix} \text{ve jmenovateli je součet}\ \text{aritmetické posloupnosti} \end{matrix}\right\bracevert = \lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{\frac{n}{2}\left(n+1\right)}{n^2}=$
	$\hspace*{5mm}=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{n^2\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2n}\right)}{n^2}=\dfrac{1}{2}.$

Příklad č. 102» Zobrazit zadání «

Vypočtěte

$\lim\limits_{n\to\infty}\left(\dfrac{1}{1\cdot 2}-\dfrac{1}{2\cdot 3}+\dfrac{1}{3\cdot 4}+\cdots+\dfrac{1}{(n-1)\cdot n}\right).$

Řešení» Zobrazit řešení «

Rozkladem na parciální zlomky obdržíme

$\dfrac{1}{(k-1)k}=\dfrac{1}{k-1}-\dfrac{1}{k}.$

Proto můžeme spočítat

	$\lim\limits_{n\to\infty}\left(\dfrac{1}{1\cdot 2}-\dfrac{1}{2\cdot 3}+\dfrac{1}{3\cdot 4}+\cdots+\dfrac{1}{(n-1)\cdot n}\right)=$
	$\hspace*{5mm}= \lim\limits_{n\to\infty}\left(\dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\cdots+\dfrac{1}{(n-1)}-\dfrac{1}{n}\right)=$
	$\hspace*{5mm}= \lim\limits_{n\to\infty}\left(1-\dfrac{1}{n}\right)=1.$

Příklad č. 103» Zobrazit zadání «

Najděte hromadné body posloupnosti

$\left\{\cos\dfrac{2n\pi}{3}\right\}_{n=1}^{\infty}.$

Řešení» Zobrazit řešení «

Vzhledem k periodicitě funkce $\cos x$ můžeme rozlišit následující situace ( $k\in\mathbb{N}$ )

$n=3k$	$\quad\Rightarrow\quad \left\{\cos\dfrac{2n\pi}{3}=\cos\dfrac{6k\pi}{3}=\cos2\pi=1\right\}_{k=1}^{\infty},$
$n=3k-1$	$\quad\Rightarrow\quad \left\{\cos\dfrac{2n\pi}{3}=\cos\dfrac{6k\pi-2\pi}{3}=\cos\dfrac{2\pi}{3}=-\dfrac{1}{2}\right\}_{k=1}^{\infty},$
$n=3k-2$	$\quad\Rightarrow\quad \left\{\cos\dfrac{2n\pi}{3}=\cos\dfrac{6k\pi-4\pi}{3}=\cos\dfrac{4\pi}{3}=-\dfrac{1}{2}\right\}_{k=1}^{\infty}.$

Tedy posloupnost $\left\{\cos\frac{2n\pi}{3}\right\}_{n=1}^{\infty}$ má hromadné body $1$ a $-\frac{1}{2}$ .

Příklad č. 104» Zobrazit zadání «

Najděte hromadné body posloupnosti

$\left\{\dfrac{1+(-1)^n}{2}\right\}_{n=1}^{\infty}.$

Řešení» Zobrazit řešení «

Uvažujme následující dvě varianty ( $k\in\mathbb{N}$ )

$n=2k$	$\quad\Rightarrow\quad \left\{\dfrac{1+(-1)^n}{2}=\dfrac{1+(-1)^{2k}}{2}=\dfrac{1+1}{2}=1\right\}_{k=1}^{\infty},$
$n=2k-1$	$\quad\Rightarrow\quad \left\{\dfrac{1+(-1)^n}{2}=\dfrac{1+(-1)^{2k-1}}{2}=\dfrac{1-1}{2}=0\right\}_{k=1}^{\infty}.$

Tedy posloupnost $\left\{\frac{1+(-1)^n}{2}\right\}_{n=1}^{\infty}$ má dva hromadné body $1$ a $0$ .

Příklad č. 105» Zobrazit zadání «

Určete $\limsup$ a $\liminf$ posloupnosti

$\left\{\dfrac{n}{n+1}\sin^2\dfrac{n\pi}{4}\right\}_{n=1}^{\infty}.$

Řešení» Zobrazit řešení «

Vzhledem k charakteru funkce $\sin n$ stačí uvažovat následující varianty ( $k\in\mathbb{N}$ )

	$n=4k\quad\Rightarrow\quad$
	$\hspace*{5mm}\Rightarrow \left\{\dfrac{n}{n+1}\sin^2\dfrac{n\pi}{4}=\dfrac{4k}{4k+1}\sin^2\dfrac{4k\pi}{4}= \dfrac{4k}{4k+1}\sin^2\left(\pi\right)=1\cdot 0=0\right\}_{k=1}^{\infty},$
	$n=4k-1\quad\Rightarrow\quad$
	$\hspace*{5mm}\Rightarrow \left\{\dfrac{n}{n+1}\sin^2\dfrac{n\pi}{4}=\dfrac{4k-1}{4k}\sin^2\left(k\pi-\dfrac{\pi}{4}\right)= 1\cdot\left(\mp\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^2=\dfrac{1}{2}\right\}_{k=1}^{\infty},$
	$n=4k-2\quad\Rightarrow\quad$
	$\hspace*{5mm}\Rightarrow \left\{\dfrac{n}{n+1}\sin^2\dfrac{n\pi}{4}=\dfrac{4k-2}{4k-1}\sin^2\left(k\pi-\dfrac{\pi}{2}\right)= 1\cdot\left(\mp1\right)^2=1\right\}_{k=1}^{\infty},$
	$n=4k-3\quad\Rightarrow\quad$
	$\hspace*{5mm}\Rightarrow \left\{\dfrac{n}{n+1}\sin^2\dfrac{n\pi}{4}=\dfrac{4k-3}{4k-2}\sin^2\left(k\pi-\dfrac{3\pi}{4}\right)= 1\cdot\left(\mp\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^2=\dfrac{1}{2}\right\}_{k=1}^{\infty}.$

To znamená, že

$\limsup\limits_{n\to\infty}\left(\dfrac{n}{n+1}\sin^2\dfrac{n\pi}{4}\right)=1\quad\text{a}\quad \liminf\limits_{n\to\infty}\left(\dfrac{n}{n+1}\sin^2\dfrac{n\pi}{4}\right)=0.$

nahoru

Limita funkce

Definice 5

Nechť $x_0, L\in\mathbb{R}^{*} = \mathbb{R}\cup\{\pm\infty\}$ . Řekneme, že funkce $f$ má v bodě $x_0$ limitu rovnu číslu $L$ , a píšeme $\lim_{x \to x_0}f(x)=L$ , jestliže ke každému okolí $\mathcal{O}(L)$ bodu $L$ existuje okolí $\mathcal{O}(x_0)$ bodu $x_0$ tak, že pro všechna $x\in\mathcal{O}(x_0)\setminus\{x_0\}$ platí $f(x)\in\mathcal{O}(L)$ , neboli

$\forall \mathcal{O}(L) ~\exists \mathcal{O}(x_0) ~\text{tak, že}~\forall x\in\mathcal{O}(x_0)\setminus\{x_0\} ~\text{platí}~f(x)\in\mathcal{O}(L).$

V podání $\varepsilon-\delta$ definice to znamená:

vlastní limita ve vlastním bodě ( $x_0,L\in\mathbb{R},~\lim_{x\to x_0}=L$ )
$\forall \varepsilon>0~\exists \delta>0~\forall x\in\mathbb{R}:~0< \lvert x-x_0 \rvert <\delta \Rightarrow \lvert f(x)-L \rvert <\varepsilon;$
nevlastní limita ve vlastním bodě ( $x_0\in\mathbb{R},~\lim_{x\to x_0}=\pm\infty$ )
$\forall M\in\mathbb{R}~\exists \delta>0~\forall x\in\mathbb{R}:~0< \lvert x-x_0 \rvert <\delta \Rightarrow f(x)>M~(f(x)<M);$
vlastní limita v nevlastním bodě ( $L\in\mathbb{R},~\lim_{x\to \pm\infty}=L$ )
$\forall \varepsilon>0~\exists K\in\mathbb{R}~\forall x\in\mathbb{R}:~x>K~(x<K) \Rightarrow \lvert f(x)-L \rvert <\varepsilon;$
nevlastní limita v nevlastním bodě ( $\lim_{x\to \pm\infty}=\pm\infty$ )
$\forall M\in\mathbb{R}~\exists K\in\mathbb{R}~\forall x\in\mathbb{R}:~x>K~(x<K) \Rightarrow f(x)>M~(f(x)<M).$

Pokud existují $\lim_{x\to x_0}f(x)=L_1$ a $\lim_{x\to x_0}g(x)=L_2$ , kde $x_0\,\in\mathbb{R}^*$ a $L_1, L_2\in\mathbb{R}$ (obě limity jsou vlastní), platí následující pravidla pro počítání s limitami:

$\lim\limits_{x\to x_0} \lvert f(x) \rvert$	$= \lvert L_1 \rvert ,$
$\lim\limits_{x\to x_0}(f(x)\pm g(x))$	$=L_1\pm L_2,$
$\lim\limits_{x\to x_0}(f(x)\cdot g(x))$	$=L_1\cdot L_2.$

Jestliže navíc $L_2\not =0$ , pak platí

$\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{L_1}{L_2}.$

Důležité vzorce:

$\lim\limits_{x\to\pm\infty}\left(1+\dfrac{1}{x}\right)^x=\operatorname{e},\qquad \lim\limits_{x\to\infty}\sqrt[x]{x}=1,\qquad \lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{\sin x}{x}=0,$

$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x}=1,\qquad \lim\limits_{x\to0}\dfrac{\operatorname{e}^x-1}{x}=1,\qquad \lim\limits_{x\to0}\dfrac{a^x-1}{x}=\ln a,$

$\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{\text{ohraničená funkce}}{\text{funkce jdoucí do } \pm\infty}=0.$

Neučité výrazy:

$\infty-\infty,\quad 0\cdot(\pm\infty),\quad \pm\dfrac{\infty}{\infty},\quad \dfrac{0}{0},\quad 0^0,\quad \infty^0,\quad 1^\infty.$

nahoru

Spojitost funkce

Definice 6

Nechť $x_0\in\mathbb{R}$ . Řekneme, že funkce $f$ je spojitá v bodě $x_0$ , jestliže

$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=f(x_0).$

Nechť nyní funkce $f$ není spojitá v bodě $x_0$ . Potom rozlišujeme následující případy.

Existuje vlastní limita $\lim_{x\to x_0}f(x)=a$ , ale $a\not =f(x_0)$ . Potom bod $x_0$ nazýváme bodem odstranitelné nespojitosti funkce $f$ . (Přitom připouštíme i situaci, kdy hodnota $f(x_0)$ není definována.)
Existují obě jednostranné limity $\lim_{x\to x_0^+}f(x)=a_1$ a $\lim_{x\to x_0^-}f(x)=a_2$ , ale $a_1\not =a_2$ . Potom bod $x_0$ nazýváme bodem nespojitosti prvního druhu (někdy také skokem) funkce $f$ .
Alespoň jedna z jednostranných limit funkce $f$ v bodě $x_0$ neexistuje nebo je nevlastní. Potom bod $x_0$ nazýváme bodem nespojitosti druhého druhu funkce $f$ .

Definice 7

Nechť $(a,b) \subseteq \mathbb{R}$ . Řekneme, že funkce $f$ je spojitá na intervalu $(a,b)$ , jestliže je spojitá v každém bodě $x_0 \in (a,b)$ .

Poznámka 8

Nechť $x_0\in\mathbb{R}$ . Řekneme, že funkce $f$ je v bodě $x_0$ spojitá zprava, jestliže

$\lim\limits_{x\to x_0^+}f(x)=f(x_0).$

Řekneme, že funkce $f$ je v bodě $x_0$ spojitá zleva, jestliže

$\lim\limits_{x\to x_0^-}f(x)=f(x_0).$

Řekneme, že funkce $f$ je spojitá na intervalu $[a,b] \subset \mathbb{R}$ , jestliže je v bodě $a$ spojitá zprava, v bodě $b$ je spojitá zleva a je spojitá v každém bodě $x_0 \in (a,b)$ .

Příklad č. 106» Zobrazit zadání «

Vypočtěte limitu

$\lim\limits_{x\to 1}\left(\dfrac{1}{1-x}-\dfrac{3}{1-x^3}\right).$

Řešení» Zobrazit řešení «

	$\lim\limits_{x\to 1}\left(\dfrac{1}{1-x}-\dfrac{3}{1-x^3}\right)= \lim\limits_{x\to 1}\dfrac{1+x+x^2-3}{1-x^3}= \lim\limits_{x\to 1}\dfrac{x^2+x-2}{1-x^3} \left\bracevert\begin{matrix} \dfrac{0}{0} \end{matrix}\right\bracevert =$
	$\hspace*{5mm}= \lim\limits_{x\to 1}\dfrac{(x-1)(x+2)}{(1-x)(1+x+x^2)}= \lim\limits_{x\to 1}\dfrac{-(x+2)}{1+x+x^2}=-1$ .

Příklad č. 107» Zobrazit zadání «

Vypočtěte limitu

$\lim\limits_{x\to 3}\dfrac{\sqrt{x+1}-2}{x^2-5x+6}.$

Řešení» Zobrazit řešení «

	$\lim\limits_{x\to 3}\dfrac{\sqrt{x+1}-2}{x^2-5x+6} \left\bracevert\begin{matrix} \dfrac{0}{0} \end{matrix}\right\bracevert = \lim\limits_{x\to 3}\left[\dfrac{\sqrt{x+1}-2}{x^2-5x+6}\cdot\dfrac{\sqrt{x+1}+2}{\sqrt{x+1}+2}\right]=$
	$\hspace*{5mm}= \lim\limits_{x\to 3}\dfrac{x+1-4}{(x-3)(x-2)\left(\sqrt{x+1}+2\right)}=$
	$\hspace*{5mm}= \lim\limits_{x\to 3}\dfrac{1}{(x-2)\left(\sqrt{x+1}+2\right)}=\dfrac{1}{4}.$

Příklad č. 108» Zobrazit zadání «

Vypočtěte limitu

$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\operatorname{tg} x -\sin x}{\sin^3 x}.$

Řešení» Zobrazit řešení «

	$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\operatorname{tg} x -\sin x}{\sin^3 x} \left\bracevert\begin{matrix} \dfrac{0}{0} \end{matrix}\right\bracevert = \lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\dfrac{\sin x}{\cos x} -\sin x}{\sin^3 x}=$
	$\hspace*{5mm}= \lim\limits_{x\to 0}\left[\dfrac{1}{\cos x\sin^2 x}-\dfrac{1}{\sin^2x}\right]=$
	$\hspace*{5mm}= \lim\limits_{x\to 0}\dfrac{1-\cos x}{\cos x\sin^2 x} \left\bracevert\begin{matrix} \dfrac{0}{0} \end{matrix}\right\bracevert = \lim\limits_{x\to 0}\dfrac{1-\cos x}{(1-\cos^2 x)\cos x}=$
	$\hspace*{5mm}= \lim\limits_{x\to 0}\dfrac{1}{(1+\cos x)\cos x}=\dfrac{1}{2}.$

Příklad č. 109» Zobrazit zadání «

Vypočtěte limitu

$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\operatorname{tg} x}{x}.$

Řešení» Zobrazit řešení «

$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\operatorname{tg} x}{x}= \lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\frac{\sin x}{\cos x}}{x}= \lim\limits_{x\to 0}\left[\dfrac{\sin x}{x}\cdot\dfrac{1}{\cos x}\right]=1.$

Příklad č. 110» Zobrazit zadání «

Vypočtěte limitu

$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{1-\cos 2x+\operatorname{tg}^2 x}{x\sin x}.$

Řešení» Zobrazit řešení «

	$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{1-\cos 2x+\operatorname{tg} ^2 x}{x\sin x}= \lim\limits_{x\to 0}\dfrac{1-\cos^2 x+\sin^2 x+\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}}{x\sin x}=$
	$\hspace*{5mm}= \lim\limits_{x\to 0}\left(\dfrac{2\sin^2 x}{x\sin x}+\dfrac{\sin^2 x}{x\cos^2 x \sin x}\right)=$
	$\hspace*{5mm}= \lim\limits_{x\to 0}\left(2\,\dfrac{\sin x}{x}+\dfrac{\sin x}{x}\,\dfrac{1}{\cos^2 x}\right)=3.$

Příklad č. 111» Zobrazit zadání «

Vypočtěte limitu

$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sin kx}{x}.$

Řešení» Zobrazit řešení «

$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sin kx}{x}= \lim\limits_{x\to 0}\left(k\,\dfrac{\sin kx}{kx}\right)=k.$

Příklad č. 112» Zobrazit zadání «

Vypočtěte limitu

$\lim\limits_{x\to\infty}2^{\frac{3x}{x+2}}.$

Řešení» Zobrazit řešení «

$\lim\limits_{x\to\infty}2^{\frac{3x}{x+2}} \left\bracevert\begin{matrix} \text{díky spojitosti funkce $a^{f(x)}$}\\ \text{můžeme limitu přepsat} \end{matrix}\right\bracevert = 2^{\lim\limits_{x\to\infty}\frac{3x}{x+2}}=2^3=8.$

Příklad č. 113» Zobrazit zadání «

Vypočtěte limitu

$\lim\limits_{x\to 0}\left(\dfrac{\sin 2x}{x}\right)^{1+x}.$

Řešení» Zobrazit řešení «

	$\lim\limits_{x\to 0}\left(\dfrac{\sin 2x}{x}\right)^{1+x} \left\bracevert\begin{matrix} \text{musíme využít exponenciální}\\ \text{funkci, neboť proměnná } x\\ \text{je v základu i v exponetu funkce} \end{matrix}\right\bracevert =$
	$\hspace*{5mm}= \lim\limits_{x\to 0}\operatorname{e}^{(1+x)\ln\frac{\sin 2x}{x}}=$
	$\hspace*{5mm}= \operatorname{e}^{\lim\limits_{x\to 0}\left[(1+x)\ln\frac{\sin 2x}{x}\right]}= \operatorname{e}^{\ln 2}=2.$

Příklad č. 114» Zobrazit zadání «

Vypočtěte limitu

$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sin 4x+\sin 7x}{\sin3x}.$

Řešení» Zobrazit řešení «

$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sin 4x+\sin 7x}{\sin3x}= \lim\limits_{x\to 0}\left(\dfrac{\sin 4x}{4x}\,\dfrac{4x}{3x}\,\dfrac{3x}{\sin 3x}+\dfrac{\sin 7x}{7x}\,\dfrac{7x}{3x}\,\dfrac{3x}{\sin 3x}\right)=$

$\hspace*{5mm}=\dfrac{4}{3}+\dfrac{7}{3}=\dfrac{11}{3}.$

Příklad č. 115» Zobrazit zadání «

Vypočtěte

$\lim\limits_{x\to\infty} \dfrac{\pi x + \sin x}{2x + \cos x}.$

Řešení» Zobrazit řešení «

$\lim\limits_{x\to\infty} \dfrac{\pi x + \sin x}{2x + \cos x}$	$\left\bracevert\begin{matrix} \dfrac{\infty}{\infty}\text{, v čitateli i jmenovateli vytkneme } x \end{matrix}\right\bracevert =$
	$= \lim\limits_{x\to\infty} \dfrac{\pi + \frac{\sin x}{x}}{2 + \frac{\cos x}{x}} = \dfrac{\pi + 0}{2 + 0} = \dfrac{\pi}{2}.$

Příklad č. 116» Zobrazit zadání «

Vypočtěte

$\lim\limits_{x\to 0} \dfrac{\operatorname{e}^x - \operatorname{e}^{-x}}{\sin 2x}.$

Řešení» Zobrazit řešení «

$\lim\limits_{x\to 0} \dfrac{\operatorname{e}^x - \operatorname{e}^{-x}}{\sin 2x}$	$\left\bracevert\begin{matrix} \dfrac{0}{0}\text{, rozšíříme } \dfrac{x}{x} \end{matrix}\right\bracevert = \lim\limits_{x\to 0} \dfrac{\operatorname{e}^x - \operatorname{e}^{-x}}{x} \cdot \dfrac{x}{\sin 2x} =$
	$= \lim\limits_{x\to 0} \dfrac{\operatorname{e}^x - 1 - \operatorname{e}^{-x} + 1}{x} \cdot \dfrac{1}{\frac{\sin 2x}{x}} =$
	$= \lim\limits_{x\to 0} \left( \dfrac{\operatorname{e}^x - 1}{x} + \dfrac{\operatorname{e}^{-x} - 1}{-x} \right) \cdot \dfrac{1}{2\frac{\sin 2x}{2x}} = 2 \dfrac{1}{2} = 1.$

Příklad č. 117» Zobrazit zadání «

Vypočtěte

$\lim\limits_{x\to2} \dfrac{x^2+x-6}{x^2-3x+2}.$

Řešení» Zobrazit řešení «

$\lim\limits_{x\to2} \dfrac{x^2+x-6}{x^2-3x+2}$	$= \left\bracevert\begin{matrix} \dfrac{0}{0}\text{, tj. číslo } 2 \text{ je kořenem obou polynomů} \end{matrix}\right\bracevert$
	$= \lim\limits_{x\to2} \dfrac{(x-2)(x+3)}{(x-2)(x-1)}$
	$= \lim\limits_{x\to2} \dfrac{x+3}{x-1} = 5.$

Příklad č. 118» Zobrazit zadání «

Vypočtěte

$\lim\limits_{x\to0} \dfrac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{x}.$

Řešení» Zobrazit řešení «

$\lim\limits_{x\to0} \dfrac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{x}$	$= \left\bracevert\begin{matrix} \dfrac{0}{0}\text{, rozšíříme } \dfrac{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}} \end{matrix}\right\bracevert$
	$= \lim\limits_{x\to0} \dfrac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{x} \cdot \dfrac{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}$
	$= \lim\limits_{x\to0} \dfrac{1+x-1+x}{x(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x})}$
	$= \lim\limits_{x\to0} \dfrac{2}{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}} = 1.$

Příklad č. 119» Zobrazit zadání «

Vypočtěte limitu

$\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x^2}{x^2-3x+2}.$

Řešení» Zobrazit řešení «

$\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x^2}{x^2-3x+2} \left\bracevert\begin{matrix} \dfrac{4}{0} \end{matrix}\right\bracevert$	$= \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x^2}{(x-2)(x-1)},$
$\lim\limits_{x \to 2^+} \dfrac{x^2}{(x-2)(x-1)} \left\bracevert\begin{matrix} \dfrac{4}{0^+} \end{matrix}\right\bracevert$	$= \infty,$
$\lim\limits_{x \to 2^-} \dfrac{x^2}{(x-2)(x-1)} \left\bracevert\begin{matrix} \dfrac{4}{0^-} \end{matrix}\right\bracevert$	$= -\infty.$

Protože limita zprava je různá od limity zleva, zadaná limita neexistuje.

Příklad č. 120» Zobrazit zadání «

Vypočtěte limitu

$\lim\limits_{x\to 4}\dfrac{x-5}{x^2-7x+12}.$

Řešení» Zobrazit řešení «

$\lim\limits_{x\to 4}\dfrac{x-5}{x^2-7x+12}= \lim\limits_{x\to 4}\dfrac{x-5}{(x-3)(x-4)} \left\bracevert\begin{matrix} \dfrac{-1}{0} \end{matrix}\right\bracevert =$

$\hspace*{5mm}= \begin{cases} +\infty\quad x\to4^{-},\\ -\infty\quad x\to4^{+} \end{cases} \Rightarrow\text{limita neexistuje.}$

Příklad č. 121» Zobrazit zadání «

Vypočtěte limitu

$\lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1+x^2}}{\sqrt{1+x}-1}.$

Řešení» Zobrazit řešení «

$\lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1+x^2}}{\sqrt{1+x}-1}= \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{\sqrt{x}\left(\sqrt{\frac{1}{x}+1}-\sqrt{\frac{1}{x}+x}\right)} {\sqrt{x}\left(\sqrt{\frac{1}{x}+1}-\frac{1}{\sqrt{x}}\right)}=-\infty.$

Příklad č. 122» Zobrazit zadání «

Vypočtěte limitu

$\lim\limits_{x \to 3} \dfrac{\sqrt{x+13}-2\sqrt{x+1}}{x^2-9}.$

Řešení» Zobrazit řešení «

	$\lim\limits_{x \to 3} \dfrac{\sqrt{x+13}-2\sqrt{x+1}}{x^2-9}= \lim\limits_{x \to 3} \left(\dfrac{\sqrt{x+13}-2\sqrt{x+1}}{x^2-9}\,\dfrac{\sqrt{x+13}+2\sqrt{x+1}}{\sqrt{x+13}+2\sqrt{x+1}}\right)=$
	$\hspace*{5mm}= \lim\limits_{x \to 3}\dfrac{x+13-4x-4}{(x^2-9)\left(\sqrt{x+13}+2\sqrt{x+1}\right)}=$
	$\hspace*{5mm}= \lim\limits_{x \to 3}\dfrac{-3x+9}{(x^2-9)\left(\sqrt{x+13}+2\sqrt{x+1}\right)}=$
	$\hspace*{5mm}= \lim\limits_{x \to 3}\dfrac{-3(x-3)}{(x^2-9)\left(\sqrt{x+13}+2\sqrt{x+1}\right)} \left\bracevert\begin{matrix} \dfrac{0}{0} \end{matrix}\right\bracevert =$
	$\hspace*{5mm}= \lim\limits_{x \to 3}\dfrac{-3(x-3)}{(x-3)(x+3)\left(\sqrt{x+13}+2\sqrt{x+1}\right)}=$
	$\hspace*{5mm}= \lim\limits_{x \to 3}\dfrac{-3}{(x+3)\left(\sqrt{x+13}+2\sqrt{x+1}\right)}=-\dfrac{1}{16}.$

Příklad č. 123» Zobrazit zadání «

Vypočtěte limitu

$\lim\limits_{x \to 3} \dfrac{\sqrt{x^2-2x+6}-\sqrt{x^2+2x-6}}{x^2-4x+3}.$

Řešení» Zobrazit řešení «

	$\lim\limits_{x \to 3} \dfrac{\sqrt{x^2-2x+6}-\sqrt{x^2+2x-6}}{x^2-4x+3}=$
	$\hspace*{5mm}= \lim\limits_{x \to 3} \left(\dfrac{\sqrt{x^2-2x+6}-\sqrt{x^2+2x-6}}{x^2-4x+3}\,\dfrac{\sqrt{x^2-2x+6}+\sqrt{x^2+2x-6}}{\sqrt{x^2-2x+6}+\sqrt{x^2+2x-6}}\right)=$
	$\hspace*{5mm}= \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{x^2-2x+6-(x^2+2x-6)}{(x^2-4x+3)\left(\sqrt{x^2-2x+6}+\sqrt{x^2+2x-6}\right)} \left\bracevert\begin{matrix} \dfrac{0}{0} \end{matrix}\right\bracevert =$
	$\hspace*{5mm}= \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{-4(x-3)}{(x-1)(x-3)\left(\sqrt{x^2-2x+6}+\sqrt{x^2+2x-6}\right)}= -\dfrac{1}{3}.$

Příklad č. 124» Zobrazit zadání «

Vypočtěte limitu

$\lim\limits_{x\to \infty}\dfrac{\sqrt{x^2+1}+\sqrt{x}}{\sqrt[4]{x^3+x}-x}.$

Řešení» Zobrazit řešení «

$\lim\limits_{x\to \infty}\dfrac{\sqrt{x^2+1}+\sqrt{x}}{\sqrt[4]{x^3+x}-x}= \lim\limits_{x\to \infty}\dfrac{x\left(\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)} {x\left(\sqrt[4]{\frac{1}{x}+\frac{1}{x^3}}-1\right)}=-1.$

Příklad č. 125» Zobrazit zadání «

Vypočtěte limitu

$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{2x-3}{\sin x}.$

Řešení» Zobrazit řešení «

$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{2x-3}{\sin x} \left\bracevert\begin{matrix} \dfrac{-3}{0} \end{matrix}\right\bracevert ,$
$\lim\limits_{x \to 0^+} \dfrac{2x-3}{\sin x} \left\bracevert\begin{matrix} \dfrac{-3}{\sin 0^+} = \dfrac{-3}{0^+} \end{matrix}\right\bracevert$	$= -\infty,$
$\lim\limits_{x \to 0^-} \dfrac{2x-3}{\sin x} \left\bracevert\begin{matrix} \dfrac{-3}{\sin 0^-} = \dfrac{-3}{0^-} \end{matrix}\right\bracevert$	$= \infty.$

Protože limita zprava je různá od limity zleva, zadaná limita neexistuje.

Příklad č. 126» Zobrazit zadání «

Vypočtěte limitu

$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x^2-1}{\cos x - 1}.$

Řešení» Zobrazit řešení «

$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x^2-1}{\cos x - 1} \left\bracevert\begin{matrix} \dfrac{-1}{0} \end{matrix}\right\bracevert ,$
$\lim\limits_{x \to 0^+} \dfrac{x^2-1}{\cos x - 1} \left\bracevert\begin{matrix} \dfrac{-1}{\cos 0^+ - 1} = \dfrac{-1}{0^-} \end{matrix}\right\bracevert$	$= \infty,$
$\lim\limits_{x \to 0^-} \dfrac{x^2-1}{\cos x - 1} \left\bracevert\begin{matrix} \dfrac{-1}{\cos 0^- - 1} = \dfrac{-1}{0^-} \end{matrix}\right\bracevert$	$= \infty.$

Protože limita zprava je rovna limitě zleva, zadaná limita existuje a platí

$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x^2-1}{\cos x - 1} = \infty.$

Příklad č. 127» Zobrazit zadání «

Vypočtěte limitu

$\lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{2^x+x^4+1}{3 \cdot 2^x+x^2-1}.$

Řešení» Zobrazit řešení «

$\lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{2^x+x^4+1}{3 \cdot 2^x+x^2-1}$	$\left\bracevert\begin{matrix} \text{nejrychleji do } \infty \text{ jde } 2^x \end{matrix}\right\bracevert = \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{2^x(1+\frac{x^4}{2^x}+\frac{1}{2^x})}{2^x(3+\frac{x^2}{2^x}-\frac{1}{2^x})}=$
	$\lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{1+\frac{x^4}{2^x}+\frac{1}{2^x}}{3+\frac{x^2}{2^x}-\frac{1}{2^x}} = \left\bracevert\begin{matrix} \dfrac{1+0+0}{3+0-0} \end{matrix}\right\bracevert = \dfrac{1}{3}.$

Příklad č. 128» Zobrazit zadání «

Vypočtěte limitu

$\lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{2\log_6 x - 3^{x+1} + 15x^6}{3\log_6 x + 3^{x} - 5x^6}.$

Řešení» Zobrazit řešení «

$\lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{2\log_6 x - 3^{x+1} + 15x^6}{3\log_6 x + 3^{x} - 5x^6}$	$\left\bracevert\begin{matrix} \text{nejrychleji do } \infty \text{ jde } 3^x \end{matrix}\right\bracevert =$
	$= \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{3^x(\frac{2\log_6 x}{3^x} - 3 + \frac{15x^6}{3^x})} {3^x(\frac{3\log_6 x}{3^x} + 1 - \frac{5x^6}{3^x})} =$
	$= \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{\frac{2\log_6 x}{3^x} - 3 + \frac{15x^6}{3^x}} {\frac{3\log_6 x}{3^x} + 1 - \frac{5x^6}{3^x}} \left\bracevert\begin{matrix} \dfrac{0-3+0}{0+1-0} \end{matrix}\right\bracevert = -3.$

Příklad č. 129» Zobrazit zadání «

Ze znalostí grafů základních funkcí určete limitu.

$\lim\limits_{x \to 2\pi^-} \operatorname{e}^{\operatorname{cotg} x}.$

Řešení» Zobrazit řešení «

$\lim\limits_{x \to 2\pi^-} \operatorname{e}^{\operatorname{cotg} x} \left\bracevert\begin{matrix} \operatorname{e}^{\operatorname{cotg} 2\pi^-} = \operatorname{e}^{-\infty} = \frac{1}{\operatorname{e}^{\infty}} = \frac{1}{\infty} \end{matrix}\right\bracevert = 0$ .

Příklad č. 130» Zobrazit zadání «

Ze znalostí grafů základních funkcí určete limitu.

$\lim\limits_{x \to \infty} (5^{\tfrac{1}{x}} + 2).$

Řešení» Zobrazit řešení «

$\lim\limits_{x \to \infty} (5^{\frac{1}{x}} + 2) \left\bracevert\begin{matrix} 5^{\frac{1}{\infty}} + 2 = 5^0 + 2 \end{matrix}\right\bracevert = 3$ .

Příklad č. 131» Zobrazit zadání «

Vypočtěte limitu

$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sqrt[3]{1+x}-\sqrt[3]{1-x}}{x}.$

Řešení» Zobrazit řešení «

	$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sqrt[3]{1+x}-\sqrt[3]{1-x}}{x}=$
	$\hspace*{5mm}= \lim\limits_{x\to 0}\left(\dfrac{\sqrt[3]{1+x}-\sqrt[3]{1-x}}{x}\cdot \dfrac{\sqrt[3]{(1+x)^2}+\sqrt[3]{1-x^2}+\sqrt[3]{(1-x)^2}}{\sqrt[3]{(1+x)^2}+\sqrt[3]{1-x^2}+\sqrt[3]{(1-x)^2}}\right)=$
	$\hspace*{5mm}= \lim\limits_{x\to 0}\dfrac{1+x-(1-x)}{x\left(\sqrt[3]{(1+x)^2}+\sqrt[3]{1-x^2}+\sqrt[3]{(1-x)^2}\right)}=$
	$\hspace*{5mm}= \lim\limits_{x\to 0}\dfrac{2x}{x\left(\sqrt[3]{(1+x)^2}+\sqrt[3]{1-x^2}+\sqrt[3]{(1-x)^2}\right)}=\dfrac{2}{3}.$

Příklad č. 132» Zobrazit zadání «

Vypočtěte limitu

$\lim\limits_{x\to\infty}\left(\sqrt{x^2+x+1}-\sqrt{x^2+x}\right).$

Řešení» Zobrazit řešení «

	$\lim\limits_{x\to\infty}\left(\sqrt{x^2+x+1}-\sqrt{x^2+x}\right)=$
	$\hspace*{5mm}= \lim\limits_{x\to\infty}\left[\left(\sqrt{x^2+x+1}-\sqrt{x^2+x}\right) \dfrac{\sqrt{x^2+x+1}+\sqrt{x^2+x}}{\sqrt{x^2+x+1}+\sqrt{x^2+x}}\right]=$
	$\hspace*{5mm}= \lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{1}{\sqrt{x^2+x+1}+\sqrt{x^2+x}}=0.$

Příklad č. 133» Zobrazit zadání «

Vypočtěte limitu

$\lim\limits_{x\to 0^+}\left(\sqrt{\dfrac{1}{x}+\sqrt{\dfrac{1}{x}+\sqrt{\dfrac{1}{x}}}}- \sqrt{\dfrac{1}{x}-\sqrt{\dfrac{1}{x}+\sqrt{\dfrac{1}{x}}}}\right).$

Řešení» Zobrazit řešení «

$\lim\limits_{x\to 0^+}\left(\sqrt{\dfrac{1}{x}+\sqrt{\dfrac{1}{x}+\sqrt{\dfrac{1}{x}}}}- \sqrt{\dfrac{1}{x}-\sqrt{\dfrac{1}{x}+\sqrt{\dfrac{1}{x}}}}\right)=$ $= \lim\limits_{x\to 0^+} \Biggl [ \left(\sqrt{\dfrac{1}{x}+\sqrt{\dfrac{1}{x}+\sqrt{\dfrac{1}{x}}}}- \sqrt{\dfrac{1}{x}-\sqrt{\dfrac{1}{x}+\sqrt{\dfrac{1}{x}}}}\right)\cdot \\ \phantom{=}\cdot \dfrac{\sqrt{\frac{1}{x}+\sqrt{\frac{1}{x}+\sqrt{\frac{1}{x}}}}+ \sqrt{\frac{1}{x}-\sqrt{\frac{1}{x}+\sqrt{\frac{1}{x}}}}} {\sqrt{\frac{1}{x}+\sqrt{\frac{1}{x}+\sqrt{\frac{1}{x}}}}+ \sqrt{\frac{1}{x}-\sqrt{\frac{1}{x}+\sqrt{\frac{1}{x}}}}}\,\Biggr ]=$ $= \lim\limits_{x\to 0^+}\left(\dfrac{\frac{1}{x}+\sqrt{\frac{1}{x}+\sqrt{\frac{1}{x}}}- \frac{1}{x}-\sqrt{\frac{1}{x}+\sqrt{\frac{1}{x}}}} {\sqrt{\frac{1}{x}+\sqrt{\frac{1}{x}+\sqrt{\frac{1}{x}}}}+ \sqrt{\frac{1}{x}-\sqrt{\frac{1}{x}+\sqrt{\frac{1}{x}}}}}\cdot\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}\right)=$ $= \lim\limits_{x\to 0^+}\dfrac{2\sqrt{1+\sqrt{x}}}{\sqrt{1+\sqrt{x+\sqrt{x^3}}}+\sqrt{1-\sqrt{x+\sqrt{x^3}}}}=1.$

Příklad č. 134» Zobrazit zadání «

Vypočtěte limitu

$\lim\limits_{x\to \infty}\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}}.$

Řešení» Zobrazit řešení «

$\lim\limits_{x\to \infty}\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}}= \lim\limits_{x\to \infty}\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}\left(\sqrt{1+\sqrt{\frac{1}{x}+\sqrt{\frac{1}{x^3}}}}\right)}= 1.$

Příklad č. 135» Zobrazit zadání «

Vypočtěte limitu

$\lim\limits_{x\to 2}\left(\dfrac{1}{x-2}-\dfrac{1}{x^2-4}\right).$

Řešení» Zobrazit řešení «

$\lim\limits_{x\to 2}\left(\dfrac{1}{x-2}-\dfrac{1}{x^2-4}\right)= \lim\limits_{x\to 2}\dfrac{x+2+1}{x^2-4}=$

$\hspace*{5mm}= \lim\limits_{x\to 2}\dfrac{x+3}{(x+2)(x-2)} \left\bracevert\begin{matrix} \dfrac{5}{0} \end{matrix}\right\bracevert = \begin{cases} +\infty ,\quad x\to2^{+},\\ -\infty ,\quad x\to2^{-}, \end{cases} \Rightarrow$

$\hspace*{5mm}\Rightarrow\text{limita neexistuje.}$

Příklad č. 136» Zobrazit zadání «

Vypočtěte limitu

$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sin4x}{\sqrt{1+x}-1}.$

Řešení» Zobrazit řešení «

	$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sin4x}{\sqrt{1+x}-1}= \lim\limits_{x\to 0}\left(\dfrac{\sin4x}{\sqrt{1+x}-1}\cdot\dfrac{\sqrt{1+x}+1}{\sqrt{1+x}+1}\right)=$
	$\hspace*{5mm}= \lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sin 4x\left(\sqrt{1+x}+1\right)}{1+x-1}=$
	$\hspace*{5mm}= \lim\limits_{x\to 0}\left[4\cdot\dfrac{\sin 4x}{4x}\left(\sqrt{1+x}+1\right)\right]=8.$

Příklad č. 137» Zobrazit zadání «

Vypočtěte limitu

$\lim\limits_{x\to -2}\dfrac{x^3+3x^2+2x}{x^2-x-6}.$

Řešení» Zobrazit řešení «

$\lim\limits_{x\to -2}\dfrac{x^3+3x^2+2x}{x^2-x-6} \left\bracevert\begin{matrix} \dfrac{0}{0} \end{matrix}\right\bracevert$	$= \lim\limits_{x\to -2}\dfrac{x(x+2)(x+1)}{(x+2)(x-3)} \left\bracevert\begin{matrix} \dfrac{0}{0} \end{matrix}\right\bracevert =$
$=\lim\limits_{x\to -2}\dfrac{x(x+1)}{x-3}$	$=-\dfrac{2}{5}.$

Příklad č. 138» Zobrazit zadání «

Vypočtěte limitu

$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\ln(1+ax)}{x}.$

Řešení» Zobrazit řešení «

$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\ln(1+ax)}{x}= \lim\limits_{x\to 0}\left(\ln(1+ax)^{\frac{1}{x}}\right) \left\bracevert\begin{matrix} \text{funkce} \ln x\\ \text{je spojitá} \end{matrix}\right\bracevert =$

$\hspace*{5mm}= \ln\left[\lim\limits_{x\to 0}(1+ax)^{\frac{1}{x}}\right] \left\bracevert\begin{matrix} z=\dfrac{1}{x} \end{matrix}\right\bracevert = \ln\left[\lim\limits_{z\to \pm\infty}\left(1+\dfrac{a}{z}\right)^{z}\right] \left\bracevert\begin{matrix} u=\dfrac{z}{a} \end{matrix}\right\bracevert =$

$\hspace*{5mm}= \ln\left[\lim\limits_{u\to \pm\infty}\left(1+\dfrac{1}{u}\right)^{ua}\right]= \ln\left\{\lim\limits_{u\to \pm\infty}\left[\left(1+\dfrac{1}{u}\right)^{u}\right]^{a}\right\}= \ln\operatorname{e}^{a}=a.$

Příklad č. 139» Zobrazit zadání «

Vypočtěte limitu

$\lim\limits_{x\to\infty}x\left(\operatorname{arctg}\dfrac{x+1}{x+2}-\dfrac{\pi}{4}\right).$

Řešení» Zobrazit řešení «

$\lim\limits_{x\to\infty}x\left(\operatorname{arctg} \dfrac{x+1}{x+2}-\dfrac{\pi}{4}\right)=$

$\hspace*{2mm}= \lim\limits_{x\to\infty}x\left(\operatorname{arctg} \dfrac{x+1}{x+2}-\operatorname{arctg} 1\right) \left\bracevert\begin{matrix} \operatorname{arctg} x-\operatorname{arctg} y=\operatorname{arctg} \dfrac{x-y}{1+xy},\\ \text{ pro }xy>-1 \end{matrix}\right\bracevert =$

$\hspace*{2mm}= \lim\limits_{x\to\infty}x\operatorname{arctg} \dfrac{\frac{x+1}{x+2}-1}{1+\frac{x+1}{x+2}}= \lim\limits_{x\to\infty}x\operatorname{arctg} \dfrac{x+1-x-2}{x+2+x+1}=$

$\hspace*{2mm}= \lim\limits_{x\to\infty}x\operatorname{arctg} \dfrac{-1}{2x+3}.$

Nyní výraz u limity upravíme

$\operatorname{arctg}\dfrac{1}{2x+3}=z~\Rightarrow~\operatorname{tg} z=\dfrac{1}{2x+2}~\Rightarrow \dfrac{1}{\operatorname{tg} z}=2x+3~\Rightarrow$

$x=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{\operatorname{tg} z}-3\right).$

Proto

	$\lim\limits_{x\to\infty}x\left(\operatorname{arctg}\dfrac{x+1}{x+2}-\dfrac{\pi}{4}\right)= \lim\limits_{z\to 0}\left[\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{\operatorname{tg} z}-3\right)\left(-z\right)\right]=$
	$\hspace*{5mm}= \dfrac{1}{2}\lim\limits_{z\to 0}\left(-\dfrac{z}{\operatorname{tg} z}+3z\right)=$
	$\hspace*{5mm}= \dfrac{1}{2}\lim\limits_{z\to 0}\left(-\dfrac{z}{\frac{\sin z}{\cos z}}+3z\right)= \dfrac{1}{2}\lim\limits_{z\to 0}\left(-\dfrac{z}{\sin z}\cdot\cos z+3z\right)=-\dfrac{1}{2}.$

Příklad č. 140» Zobrazit zadání «

Vypočtěte limitu

$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{1-\cos x}{x\left(\sqrt{1+x}-1\right)}.$

Řešení» Zobrazit řešení «

$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{1-\cos x}{x\left(\sqrt{1+x}-1\right)}= \lim\limits_{x\to 0}\left(\dfrac{1-\cos x}{x\left(\sqrt{1+x}-1\right)}\cdot \dfrac{\sqrt{1+x}+1}{\sqrt{1+x}+1}\right)=$

$\hspace*{5mm}= \lim\limits_{x\to 0}\dfrac{(1-\cos x)\left(\sqrt{1+x}+1\right)}{x(1+x-1)} \left\bracevert\begin{matrix} \sin\dfrac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\dfrac{1-\cos \alpha}{2}} \end{matrix}\right\bracevert =$

$\hspace*{5mm}= \lim\limits_{x\to 0}\dfrac{2\left(\sqrt{1+x}+1\right)\sin^2\frac{x}{2}}{x^2}= \lim\limits_{x\to 0}\left(\dfrac{2}{4}\left(\sqrt{1+x}+1\right)\cdot\left(\dfrac{\sin\frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}\right)^2\right)=$

$\hspace*{5mm}=1.$

Příklad č. 141» Zobrazit zadání «

Vypočtěte limitu

$\lim\limits_{x\to\infty}\left(\dfrac{x-1}{x+1}\right)^x.$

Řešení» Zobrazit řešení «

$\lim\limits_{x\to\infty}\left(\dfrac{x-1}{x+1}\right)^x= \lim\limits_{x\to\infty}\left(\dfrac{x\left(1-\frac{1}{x}\right)}{x\left(1+\frac{1}{x}\right)}\right)^x= \lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{\left(1-\frac{1}{x}\right)^{x}}{\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}}=$

$\hspace*{5mm}= \lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{\left[\left(1-\frac{1}{x}\right)^{-x}\right]^{-1}}{\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}}= \lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{\operatorname{e}^{-1}}{\operatorname{e}}=\dfrac{1}{\operatorname{e}^{2}}.$

Příklad č. 142» Zobrazit zadání «

Vypočtěte limitu

$\lim\limits_{x\to\frac{\pi}{2}}\dfrac{\cos\frac{x}{2}-\sin\frac{x}{2}}{\cos x}.$

Řešení» Zobrazit řešení «

$\lim\limits_{x\to\frac{\pi}{2}}\dfrac{\cos\frac{x}{2}-\sin\frac{x}{2}}{\cos x} \left\bracevert\begin{matrix} \cos2x=\cos^2x-\sin^2 x \end{matrix}\right\bracevert =$

$\hspace*{5mm}= \lim\limits_{x\to\frac{\pi}{2}}\dfrac{\cos\frac{x}{2}-\sin\frac{x}{2}} {\cos^2 \frac{x}{2}-\sin^2 \frac{x}{2}}=$

$\hspace*{5mm}= \lim\limits_{x\to\frac{\pi}{2}}\dfrac{\cos\frac{x}{2}-\sin\frac{x}{2}} {\left(\cos \frac{x}{2}-\sin \frac{x}{2}\right)\left(\cos \frac{x}{2}+ \sin \frac{x}{2}\right)}=$

$\hspace*{5mm}= \lim\limits_{x\to\frac{\pi}{2}}\dfrac{1}{\cos \frac{x}{2}+\sin \frac{x}{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}.$

Příklad č. 143» Zobrazit zadání «

Vypočtěte limitu

$\lim\limits_{x\to \frac{\pi}{6}}\dfrac{\sin\left(x-\frac{\pi}{6}\right)}{\frac{\sqrt{3}}{2}-\cos x}.$

Řešení» Zobrazit řešení «

$\lim\limits_{x\to \frac{\pi}{6}}\dfrac{\sin\left(x-\frac{\pi}{6}\right)}{\frac{\sqrt{3}}{2}-\cos x}=$

$\hspace*{5mm}= \lim\limits_{x\to \frac{\pi}{6}}\dfrac{\sin\left(x-\frac{\pi}{6}\right)+\sin 0}{\cos\frac{\pi}{6}-\cos x} \left\bracevert\begin{matrix} \sin\alpha+\sin\beta=2\sin\dfrac{\alpha+\beta}{2}\cos\dfrac{\alpha-\beta}{2},\\ \cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\dfrac{\alpha+\beta}{2}\sin\dfrac{\alpha-\beta}{2} \end{matrix}\right\bracevert =$

$\hspace*{5mm}= \lim\limits_{x\to \frac{\pi}{6}}\dfrac{2\sin\frac{x-\frac{\pi}{6}}{2}\cos\frac{x-\frac{\pi}{6}}{2}} {-2\sin\frac{\frac{\pi}{6}+x}{2}\sin\frac{\frac{\pi}{6}-x}{2}}= \lim\limits_{x\to \frac{\pi}{6}}\dfrac{\cos\frac{x-\frac{\pi}{6}}{2}}{\sin\frac{\frac{\pi}{6}+x}{2}}=2.$

Příklad č. 144» Zobrazit zadání «

Vypočtěte limitu

$\lim\limits_{x\to \frac{\pi}{4}}\dfrac{\cos2x-\sin2x+1}{\cos x-\sin x}.$

Řešení» Zobrazit řešení «

$\lim\limits_{x\to \frac{\pi}{4}}\dfrac{\cos2x-\sin2x+1}{\cos x-\sin x}= \lim\limits_{x\to \frac{\pi}{4}}\dfrac{\cos^2x-\sin^2x-2\sin x\cos x+1}{\cos x-\sin x}=$

$\hspace*{5mm}= \lim\limits_{x\to \frac{\pi}{4}}\dfrac{2\cos^2x-2\sin x\cos x}{\cos x-\sin x}= \lim\limits_{x\to \frac{\pi}{4}}\dfrac{2\cos x\left(\cos x-\sin x\right)}{\cos x-\sin x}=$

$\hspace*{5mm}= \lim\limits_{x\to \frac{\pi}{4}}\left(2\cos x\right)=\sqrt{2}.$

Příklad č. 145» Zobrazit zadání «

Vypočtěte limitu

$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\operatorname{e}^{2x}-1}{x}.$

Řešení» Zobrazit řešení «

$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\operatorname{e}^{2x}-1}{x} \left\bracevert\begin{matrix} z=2x \end{matrix}\right\bracevert = \lim\limits_{z\to 0}\left(\dfrac{\operatorname{e}^{z}-1}{z}\cdot 2\right)= 2\cdot\lim\limits_{z\to 0}\left(\dfrac{\operatorname{e}^{z}-1}{z}\right)=2.$

Příklad č. 146» Zobrazit zadání «

Vypočtěte limitu

$\lim\limits_{x\to 0}\sqrt[x]{\cos x+x+2}.$

Řešení» Zobrazit řešení «

$\lim\limits_{x\to 0}\sqrt[x]{\cos x+x+2}= \lim\limits_{x\to 0}\operatorname{e}^{\frac{1}{x}\ln\left(\cos x+x+2\right)}$

neboť platí

$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\ln\left(\cos x+x+2\right)}{x}= \begin{cases} +\infty\quad x\to3^{-},\\ -\infty\quad x\to3^{+}, \end{cases}$

proto obdržíme

$\lim\limits_{x\to 0}\sqrt[x]{\cos x+x+2}= \lim\limits_{x\to 0}\operatorname{e}^{\frac{1}{x}\ln\left(\cos x+x+2\right)}= \begin{cases} +\infty\quad &x\to3^{-},\\ 0\quad &x\to3^{+} \end{cases} \Rightarrow\\ \hspace*{5mm}\Rightarrow\text{limita neexistuje.}$

Příklad č. 147» Zobrazit zadání «

Určete druhy nespojitosti v bodě $x_0=0$ pro funkce

$f_1(x)=\dfrac{\sin x}{x},\quad f_2(x)=\dfrac{\cos x}{x},\quad f_3(x)=\lfloor x \rfloor,\quad f_4(x)=\dfrac{\operatorname{e}^{\frac{1}{x}}+1}{\operatorname{e}^{\frac{1}{x}}-1}.$

Řešení» Zobrazit řešení «

Ze základních vzorců víme, že $\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$ . Funkce $f_1$ také není v 0 definována, proto v $x_0$ nastává odstranitelná nespojitost.

Pro funkci $f_2$ spočítáme limitu přímo, tj.

$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\cos x}{x} \left\bracevert\begin{matrix} \dfrac{1}{0} \end{matrix}\right\bracevert = \begin{cases} +\infty\quad &x\to0^{+},\\ -\infty\quad &x\to0^{-}, \end{cases}$

což znamená, že v $x_0$ nastává nespojitost II. druhu.

Pro funkci $f_3$ je nutné si uvědomit, jak se počítá celá část reálného čísla – je to vlastně nejbližší menší celé číslo, proto platí

$\lim\limits_{x\to 0}\lfloor x \rfloor= \begin{cases} 0\quad &x\to0^{+},\\ -1\quad &x\to0^{-}, \end{cases}$

tedy funkce $f_3$ má v bodě $x_0$ nespojitost I. druhu.

Limitu funkce $f_4$ si rozdělíme na dvě možnosti

$\lim\limits_{x\to0^{+}}\dfrac{\operatorname{e}^{\frac{1}{x}}+1}{\operatorname{e}^{\frac{1}{x}}-1}= \lim\limits_{x\to0^{+}}\left(\dfrac{\operatorname{e}^{\frac{1}{x}}+1}{\operatorname{e}^{\frac{1}{x}}-1}\cdot\dfrac{\operatorname{e}^{-\frac{1}{x}}}{\operatorname{e}^{-\frac{1}{x}}}\right)= \lim\limits_{x\to0^{+}}\dfrac{1+\operatorname{e}^{-\frac{1}{x}}}{1-\operatorname{e}^{-\frac{1}{x}}}= \lim\limits_{x\to0^{+}}\dfrac{1+\frac{1}{\operatorname{e}^{\frac{1}{x}}}}{1-\dfrac{1}{\operatorname{e}^{\frac{1}{x}}}}=\\ =1,$

$\lim\limits_{x\to0^{-}}\dfrac{\operatorname{e}^{\frac{1}{x}}+1}{\operatorname{e}^{\frac{1}{x}}-1}=-1,$

tudíž funkce $f_4$ má v bodě $x_0$ nespojitost I. druhu.

Příklad č. 148» Zobrazit zadání «

Určete, zda je daná funkce spojitá/spojitá zleva/spojitá zprava v bodech $-\pi/2, 0, 1, 2, 3, 4.$

Jestliže je nespojitá, určete druh nespojitosti.

$f(x)= \begin{cases} \cos x & x<0,\\ 1 & 0\leq x < 1,\\ 2 & x=1,\\ 1 & 1<x<2,\\ x & 2 \leq x \leq 3,\\ \dfrac{1}{(x-3)^2} & x>3. \end{cases}$

Řešení» Zobrazit řešení «

Nejprve si pro názornost ukažme graf této funkce. K vyřešení příkladu samozřejmě není nutný – stačí spočítat příslušné limity a funkční hodnoty.

Graf

Řešení příkladu shrnuje následující tabulka.

$x_0$	$-\tfrac{\pi}{2}$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
$f(x_0)$	$0$	$1$	$2$	$2$	$3$	$1$
$\lim\limits_{x\to x_0^-}$	$0$	$1$	$1$	$1$	$3$	$1$
$\lim\limits_{x\to x_0^+}$	$0$	$1$	$1$	$2$	$\infty$	$1$
$\lim\limits_{x\to x_0}$	$0$	$1$	$1$	neex.	neex.	$1$
spojitá zleva	ano	ano	ne	ne	ano	ano
spojitá zprava	ano	ano	ne	ano	ne	ano
spojitá	ano	ano	ne	ne	ne	ano
druh nespojitosti	––	––	odstran.	skok	2. druh	––

nahoru

Tisková verze

Mgr. Petr Zemánek, Ph.D., Mgr. Petr Hasil, Ph.D. |
ÚMS, Přírodovědecká fakulta, Masarykova univerzita |
Návrat na úvodní stránku webu, přístupnost |

| Technická spolupráce:
| Servisní středisko pro e-learning na MU
| Fakulta informatiky Masarykovy univerzity, 2012

Technické řešení této výukové pomůcky je spolufinancováno Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky.

Nahoru

INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ