1.2.1.3 Vektorový součin

Nyní zavedeme tzv. vektorový součin \(\vec{u} \times \vec{v}\) pro vektory \(\vec{u}\) a \(\vec{v}\). Avšak zdůrazněme, že vektorový součin (kvůli zjednodušení) definujeme pouze pro vektory \(\vec{u}, \vec{v} \in \mathbb{R}^3\)!

Pro libovolné vektory \(\vec{u}, \vec{v} \in \mathbb{R}^3, \vec{u} = (u_1,u_2, u_3), \vec{v} = (v_1,v_2, v_3)\) nazveme vektorovým součinem vektorů \(\vec u\) a \(\vec v\) (v tomto pořadí!) vektor \(\vec w\) (a označujeme \({\color{DarkBlue} {\vec{u} \times \vec{v}}}\)) pro který platí:

\( \vec w = \vec{u} \times \vec{v} = \left|\begin{array}{ccc} \vec i & \vec j & \vec k \\ u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \end{array}\right| = i \cdot \left|\begin{array}{cc} u_2 & u_3 \\ v_2 & v_3 \end{array}\right| + j \cdot \left|\begin{array}{cc} u_3 & u_1 \\ v_3 & v_1 \end{array}\right| + k \cdot \left|\begin{array}{cc} u_1 & u_2 \\ v_1 & v_2 \end{array}\right| \) (7)

\(= (u_2 v_3 - u_3 v_2, u_3 v_1 - u_1 v_3, u_1 v_2 - u_2 v_1)\),

kde \(i, j, k\) jsou jednotkové vektory ve směru souřadnicových os \(x, y, z\), \(i=(1,0,0), j=(0,1,0), k=(0,0,1)\).

Uvedený vzorec pro vektorový součin si lze snadno zapamatovat pomocí následující pomůcky.

[figure] — **Obr. 2:** Pomůcka pro vektorový součin

Z definice vektorového součinu lze snadno odvodit:

Jsou-li vektory \(\vec{u}, \vec{v}\) lineárně závislé (tj. tyto vektory mají stejný směr čili umístění těchto vektorů jsou rovnoběžná - tj. jeden vektor je násobkem druhého), je \( \vec{w} = 0. \)   (8)
Naopak, jsou-li vektory \(\vec{u}, \vec{v}\) lineárně nezávislé (tj. tyto vektory nemají stejný směr čili žádné umístění jednoho vektoru není rovnoběžné s žádným umístěním druhého vektoru, je vektor \(\vec{w}\) nenulový. Navíc platí, že vektor \(\vec{w}\) má tyto vlastnosti:

vektor \(\vec{w}\) \( \text {je kolmý} \)   (9) k oběma vektorům \(\vec{u}, \vec{v}\);

vektory \(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\) tvoří tzv. pravotočivou bázi   Viz níže - část Ad 2) ;

\( |\vec{w}| = |\vec{u}||\vec{v}| \sin \alpha \)   (10), kde \(\alpha\) je odchylka vektorů \(\vec{u}\) a \(\vec{v}\).   Viz níže - část Ad 3)

Ad 2) Pravotočivá báze (soustava)

Mějme tři libovolné vektory v prostoru. Každá trojice vektorů, jejichž umístění neleží v jedné rovině, se nazývá bází v prostoru. Zvolíme si takové umístění těchto vektorů, aby jejich počáteční body byly identické.

Vezměme si vektory \(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\), kde \(\vec{w} = \vec{u} \times \vec{v}\). Položíme-li pravou ruku na pomyslnou rovinu určenou vektory \(\vec{u}, \vec{v}\) tak, aby pokrčené prsty ruky udávaly směr od vektoru \(\vec{u}\) k \(\vec{v}\) (nejkratším směrem), pak vztyčený palec směřuje do stejného poloprostoru jako vektor \(\vec{w}\). V takovém případě se báze nazývá pravotočivá.

Pokud bychom vzali tři libovolné vektory, řekněme \(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\), kde \(\vec{c} \neq \vec{a} \times \vec{b}\), pak by vztyčený palec mohl ukazovat do opačného poloprostoru než vektor \(\vec{c}\). V takovém případě nazveme bázi levotočivou. Kdybyste místo pravé ruky teď použili ruku levou, tak její palec bude ukazovat do stejného poloprostoru jako vektor \(\vec{c}\).

Na obrázku (3) vlevo tvoří vektory \(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\) pravotočivou bázi, vpravo potom levotočivou.

Ad 3) Obsah rovnoběžníka

Jsou-li vektory \(\vec{u}, \vec{v}\) lineárně nezávislé, pak vzorec \(|\vec{w}| = |\vec{u}||\vec{v}| \sin \alpha\) udává obsah rovnoběžníka, jehož strany tvoří vektory \(\vec{u}\) a \(\vec{v}\). Stačí si uvědomit, že pro obsah rovnoběžníka platí \(S = |\vec{u}| \cdot v_a\), kde \(v_a\) je výška tohoto rovnoběžníka. Zároveň však platí, že \(v_a =|\vec{v}| \sin \alpha\).