[Další] [Předchozí] [Předchozí – na konec] [Na konec] [Výše]
Obrázky ke cvičením Kapitoly 1 jsou uvedeny na závěr.
2.1 a) Ke
A
> 0
takové, že pro
[x,y],
pro něž 0 <
x +
1
<
, 0
<
y
− 2
<
platí f(x,y)
> A. b) Ke
A
> 0, B
taková, že
pro
x >
B,
y
− 1
<
je f(x,y)
< A. 2.2 a)
b) 2 c) ln2 d)
0 e) 0. 2.3 a) neexistuje b) neexistuje
c) 0 d) 1 e) 0 f) 2 g) 0 h) 2.
2.4 a) 0 b) e c) neexistuje d) 0 e) 0
f) 1. 2.6 a) f je spojitá v
2
[0,0]
b) {[x,y] :
x = −y}
c) {[x,y] :
x = −y}
d) {[x,y] :
x = 0 nebo y =
0} e) {[x,y] :
x = kp, y
= kp, k
} f) {[x,y] :
x2 +
y2 =
1}. 2.7 a) {[x,y] :
x = −y nebo
x =
0} b) {[x,y] :
y =
} c) {[x,y] :
x = 0, y
= 0} d) {[x,y] :
y = 0} e)
{[x,y,z] :
x = 0 nebo y = 0
nebo z = 0} f)
{[x,y,z] =
[a,b,c]}.
2.8 a) je spojitá b) není
spojitá.
3.1 a)
zx =
3x2 +
4xy + 3y2
+ 4, zy
= 2x2
+ 6xy −
5 b) zx
= , zy
=
c) zx
= sin(x
+ 2y) +
xcos(x
+ 2y),
zy =
2xcos(x
+ 2y) d)
zx =
cos
cos
+
sin
sin
, zy =
−
cos
cos
−
sin
sin
e) ux
=
−
+
, uy
= −
+
+
,
uz =
−
f) zx
= −
e−
, zy
=
e−
g) zx
=
, zy =
−
h) zx
=
, zy =
−
i) zx
= −
, zy
= −
j) zx
=
, zy
=
k) ux
= 2xex2(1−y−z) , uy
= uz
= −ex2(1−y−z) l) zx
=
, zy =
−
m) zx
=
,
zy =
−
n)
=
=
=
, kde r =
. 3.2 a) zx
= yxxy(1 +
lny),
zy =
xxy+1 lnx
b) zx =
−
,
zy =
−
, c) zx
= −
(
)
ln3, zy
=
(
)
ln3 d) zx
= y[ln(x
+ y) +
], zy
= x[ln(x
+ y) +
]
e) zx =
2(2x + y)(2x+y)[ln(2x
+ y) + 1],
zy =
(2x + y)(2x+y)[ln(2x
+ y) + 1]
f) zx =
−
, zy
= −
g) zx
= yesin
pxy(1 +
pxy cos
pxy),
zy =
xesin
pxy(1 +
pxy cos
pxy)
h) ux =
x(
−1), uy
=
x
lnx, uz
= −
x
lnx i) zx
=
, zy
= −
j)
=
=
= 2cos(x2
+ y2
+ z2)
k) ux =
yzxyz−1, uy
= xyz zyz−1 lnx,
uz =
xyz yz
lnxlny.
3.3 a) zx
= 2
, zy = 10 +
b) zx
= 0, zy
=
c) zx
= 1, zy
= −1.
3.4 a)
b)
. 3.6 a) zxx
= 12x2
− 8y2,
zxy =
−16xy,
zyy =
12y2 −
8x2
b) zxx = 0,
zxy = 1
−
, zyy =
c) zxx
= 0, zxy
= −
, zyy
=
d) zxx
= −
,
zxy =
, zyy
= −
e) zxx =
2cos(x
+ y)
− xsin(x
+ y),
zxy =
cos(x
+ y)
−xsin(x
+ y),
zyy =
−xsin(x
+ y)
f) zxx =
−
, zxy
=
, zyy
=
g) zxx
= x(x+y)[(lnx
+
)2 +
−
], zxy
= x(x+y)[ln2x
+
lnx +
], zyy
= x(x+y) ln2x
h) zxx =
, zxy
=
, zyy
= −
i) zxx =
−
, zxy =
−
, zyy =
j) zxx
=
, zxy
= −
, zyy
=
k) zxx
= −
, zxy
=
, zyy
=
l) zxx
= 2y(1 +
x2)y−2(−x2
+ 2x2y
+ 1), zxy
= 2x(1 +
x2)y−1[1 +
y ln(1 +
x2)],
zyy = (1 +
x2)y
ln2(1 +
x2).
4.1
a) 2dx b) dx −
dy c)
dx −
dy d) dx +
2ln2dy
− 2ln2dz
e)
dx
+
dy
f) df =
dx −
dy g) df =
−2dx
+ dz h) du =
4.2
a)
+
0,035 b)
−
c) 2,
95 d) −0,06
e) 1 f) 1,13
g) dV ≐
cm3 h) dh≐ 1
cm. 4.3 a) není
diferencovatelná, např. pro u
= (1,1)
neexistuje směrová derivace fu(0,0)
b) není diferencovatelná, neboť f(1,1)(0,0)
neexistuje c) ano df(0,0) = 0
4.4 a) x +
y + z
=
b) 3x +
5y − z
= 4 c) z0
= −
, x + y
− 2z
=
d) z0
= 1, z =
1. 4.5 a) [2,1],
[−2,−1]
b)
c) [−1∕2,1∕2]
d) [1,1]
e) [
,
,−
], [−
,−
,
] f) tečna existuje ⇔ a12
+ ⋯ +
an2
= 1; pak [x1,…,xn] =
[−a1,…,−an].
4.6 a) f(1,2)(1,1) = 3
b) f(1,0,1)(0,1,0) = 0.
4.7 a) d2z
=
+
−
b) d2z
= 6(x−y)(dx)2
+12(y−x)dxdy
+6(x−y)(dy)2
c) dnz
= ex+y ∑
j=0n
[n2
+2j2
−2nj
−n+x2
+y2
+2xj +2(n−j)y](dx)j(dy)n−j d) dnz
=
(dx+dy)n
e) dnz
=
∑ j=0n(−1)j
(dx)j(dy)n−j f) dnu
= n!ex+y+z ∑
i+j+k=n
(dx)i(dy)j(dz)k.
4.8 a)
+ xlny
− cosy
+ C, b)
sin2y
+ C c)
+ C d) xy2
− x +
y2
+ C. 4.9
a) x3 +
y3 +
z3 −
3xyz +
2x + y
lny +
z b) arctg xyz.
5.1 a)
z(x,y) =
f() b) z(x,y) =
f
c) u(x,y,z) =
f(x+y−2z,x−2y+z).
5.2 a) zuv
= 0, z(x,y) =
f(x
− 2
) +
g(x
+ 2
) b) zvv0,
z(x,y) =
f(
)+xyg(
) c) u(4−uv)zuv−2zv
= 0 d) zvv+2v3zv
= 0 e) (u2
−v2)zuv
−vzu
= 0 f) (u2
−v2)zuv
+vzu
−uzv
= 0 g) uzuu
−xzuv
+zu
= 0. h) vzvv+zv
= 0, z(x,y) =
f(xy)lny
+g(xy).
i) zuv =
zv,
z(x,y) =
f(
)g(xy).
5.4 a) T2(x,y) =
+
[(x−
)+(y−
)]−
[(x−
)2
+2(x−
)(y−
)+(y−
)2]
b) T2(x,y) =
+ x −
c) T2(x,y) = 1
−
+
d) T2(x,y) =
−
(x −
1) +
(y −
1) +
(x −
1)2 −
(y
− 1)2
e) T2(x,y) =
x−x(y
−1) f) T2(x,y) =
+
[(x−1)+(y
−1)]−
(x−1)(y
−1) g) T2(x,y,z) = 1 +
(x− 1) +
(x− 1)(y
− 1) −
(x−
1)(z −
1). 5.5 a)
+ 0,0297 b)
+
+
.
6.1
a) zmin =
−1 v bodě [1,0]
b) zmax =
v [
,
], ve stacionárních bodech [0,0],[0,4],[4,0]
extrém nenastává c) zmax
= 16 v [2,−2]
d) zmin = 30
v [5,2]
e) zmin = 3 +
ln3 v [1,1],
f) V jediném stacionárním bodě [1,1]
extrém nenastává g) zmin
= −
v [−
,−
] h) umin
= −6913
v [24,−144,−1]
i) umin = 4
v [
,1,1]
j) zmin =
3
a2
v [
,
]
k) umax =
, v [3,
,1]
l) umax =
v x1
= ⋯ =
xn =
m) umin
= (n +
1)2
v x1
= 2
, x2
= 2
,…xn
= 2
. 6.3
a) fmin =
−2 v [−1,−1],
fmax = 2
v [1,1]
b) fmin =
v [
,
], fmax
= 3 v [0,0],
c) fmin = 2
−
v [1 −
,1
−
], fmax
= 2 +
v [1 +
,1 +
] d) fmin
= −
v [−
,−
,0],
fmax =
+ 1
v [
,
,1] e) fmin
= 0 v [0,0,0],
fmax = 1
v bodech [x,y,0],
kde x2 +
y2 = 1.
6.4 a) fmax
= 7 v [0,−1],
fmin =
−4 v [1,1]
b) fmax = 22
v [2,2],
fmin =
−2 v [−2,2]
c) fmax = 6
v [3,0],
fmin =
−1 v [1,1]
d) fmax =
−
v [−
,
], fmin
= −2
v [0,0].
e) fmin = 0
v [0,0],
fmax = 12 v
bodech [0,
3]. f) fmin
= 3 − 2
v bodě [
,−
], fmax
= 3 + 2
v bodě
[−
,
]. 6.5
a) fmax =
v [
,
], fmin
= −
v [
,
] b) fmax
= 1 v [
1,0] a
[0,
1], fmin
= 0 v [0,0]
c) fmax = 3 +
v [
,
,1],
fmin =
−
v [−
,−
,
] d) Čísla a,x1,x2,…,xn,b tvoří
geometrickou posloupnost s kvocientem q =
.
7.1
a) (F−1)(1,0)=
b) (F−1)
(−2,4)=
c) (F−1)
(1,2)=
7.2 a) [x,y]
b) [x,y]
c) [x,y,z
]
d) [x,y,z]
, kde
r =
, R =
. 7.3 r
(r,
) = R(r,
)
(r,
),
(r,
) = −rR(r,
)
(r,
)
8.1
a) [2,2],[−2,−2]
b) body osy y c) body
roviny z = 0 ležící na elipse +
= 1. 8.2 a) y
=
b) y
=
.
8.3 a) 5y
+ 2x =
0, y = −2x
b) 2x −
y +
1 = 0, 2x
− y −
1. 8.4 [1,1], [1,−3]
8.5 y
= −(1
− ccosy)−3csiny.
8.6 a) tečná rovina:
x − 3y
− 4z
− 4
= 0, normála: x
= 2 +
t, y =
−
t, z = −1
− t, t
b) x + 4y
+ 6z −
21 = 0, x +
4y + 6z
+ 21 = 0 c) x −
y +
2z
= 0.
8.7 a) zx
= zy
= −1,
zxx =
zxy =
zyy = 0
b) zx =
, zy
= −
, zxx
= −
, zxy
=
, zyy
= −
. 8.8 ymin
= 0,5
v x = 0, ymax
= −2
v x = 0,5.
8.9 a) zmin
= −2
v [1,−1],
zmax = 6
v [1,−1]
b) zmin = 1
v [−2,0],
zmax =
−
v [
,0].
9.1
a) fmax =
b) fmax
=
v [
,
,
]
c) fmin =
−
v [
,
,−
], [
,−
,
], [−
,
,
], fmax
=
v [−
,−
,
], [−
,
,−
], [
,−
,−
] d) fmax
= 2 v [1,1,1]
e) fmin =
−1 pro
xi =
ai−1
−1 f) fmin
=
2 pro
xi =
−1 g) fmax
nastává pro xi =
. 9.2
a) Délky hran hranolu:
,
,
, V max
=
abc b) Rozměry
kvádru a,b,
, V
max =
c) Výška hranolu
vhr =
h, hrana základny a =
R,
V max =
R2h
d) a = b
= c =
, V max =
e) [x,y] =
, f) Normála k elipsoidu v hledaném bodě
musí být kolmá na přímku spojující zadané dva body. 9.3 a) fmin
=
b) Nechť B
= (u1,…,un−1), je
matice sestavená z vektorů u1,…,un−1,
= (
1,…,
n−1),
fmin =
(BT
B)−1
,
pro
x = B(BT
B)−1
.
[Další] [Předchozí] [Předchozí – na konec] [Na začátek] [Výše]