Výsledky cviˇcení kapitol 1

[Další] [Předchozí] [Předchozí – na konec] [Na konec] [Výše]

Výsledky cvičení kapitol 1–9

Obrázky ke cvičením Kapitoly 1 jsou uvedeny na závěr.

KAPITOLA 2

2.1 a) Ke A > 0 takové, že pro [x,y], pro něž 0 < x + 1 < , 0 < y − 2 < platí f(x,y) > A. b) Ke A > 0, B taková, že pro x > B, y − 1 < je f(x,y) < A. 2.2 a) √ -- 2 b) 2 c) ln2 d) 0 e) 0. 2.3 a) neexistuje b) neexistuje c) 0 d) 1 e) 0 f) 2 g) 0 h) 2. 2.4 a) 0 b) e c) neexistuje d) 0 e) 0 f) 1. 2.6 a) f je spojitá v ²[0,0] b) {[x,y] : x = −y} c) {[x,y] : x = −y} d) {[x,y] : x = 0 nebo y = 0} e) {[x,y] : x = kp, y = kp, k } f) {[x,y] : x² + y² = 1}. 2.7 a) {[x,y] : x = −y nebo x = 0} b) {[x,y] : y = x2- 3 } c) {[x,y] : x = 0, y = 0} d) {[x,y] : y = 0} e) {[x,y,z] : x = 0 nebo y = 0 nebo z = 0} f) {[x,y,z] = [a,b,c]}. 2.8 a) je spojitá b) není spojitá.

KAPITOLA 3

3.1 a) z_x = 3x² + 4xy + 3y² + 4, z_y = 2x² + 6xy − 5 b) z_x = 5x3√y+3y √x3 , z_y = √- x3−√6-y xy c) z_x = sin(x + 2y) + xcos(x + 2y), z_y = 2xcos(x + 2y) d) z_x = -1 y cos x y cos y x + -y x2 sin x y sin y x , z_y = − -x y2 cos x y cos y x − 1 x sin x y sin y x e) u_x = ∘ ------ 1 − y2 − √-xy-2 1−x + √---xz--- 1−x2−y2 , u_y = − √-xy-- 1−y2 + √ ------ 1 − x2 + √---yz--- 1−x2−y2 , u_z = − ∘ ----------- 1− x2 − y2 f) z_x = −e⁻ , z_y = yx2 e⁻ g) z_x = x1+4 , z_y = − ∣2y∣ h) z_x = --1- 1+x2 , z_y = − --1- 1+y2 i) z_x = − 2xsinx2 y , z_y = − cosx2- y2 j) z_x = √-1---- x2+y2 , z_y = -------y√------ x2+y2+x x2+y2 k) u_x = 2xe^x2(1−y−z) , u_y = u_z = −e^x2(1−y−z) l) z_x = x2y+y2 , z_y = − x2x+y2- m) z_x = √ - --2--22x√y-2--2 (x +y) x− y , z_y = − √- 2 -2--22√x-2--2- (x +y ) x −y n) u xx- = uy y- = u zz = 2 r(r2−1) , kde r = ∘ ------------ x2 + y2 + z2 . 3.2 a) z_x = yx^xy(1 + lny), z_y = x^xy+1 lnx b) z_x = − √------y---√--- xy− x2y2(1+ xy) , z_y = − √-----x---√---- xy−x2y2(1+ xy) , c) z_x = −() ln3, z_y = yx2 () ln3 d) z_x = y[ln(x + y) + xx+y- ], z_y = x[ln(x + y) + -y-- x+y ] e) z_x = 2(2x + y)^(2x+y)[ln(2x + y) + 1], z_y = (2x + y)^(2x+y)[ln(2x + y) + 1] f) z_x = − 1x2 ∘ ------- xxyy−+xx−+yy- , z_y = − y12 g) z_x = ye^sin
pxy(1 + pxy cos pxy), z_y = xe^sin
pxy(1 + pxy cos pxy) h) u_x = y z x⁽⁻¹⁾, u_y = 1 z x lnx, u_z = − y- z2 x lnx i) z_x = -2(x−y)- 1+(x−y)4 , z_y = − -2(x−-y)4- 1+(x−y) j) ux x = uy y = uz z = 2cos(x² + y² + z²) k) u_x = y^zx^yz−1, u_y = x^yz zy^z−1 lnx, u_z = x^yz y^z lnxlny. 3.3 a) z_x = 2 √-- 5 , z_y = 10 + √ -- 5 b) z_x = 0, z_y = c) z_x = 1, z_y = −1. 3.4 a) √ - -22 b) . 3.6 a) z_xx = 12x² − 8y², z_xy = −16xy, z_yy = 12y² − 8x² b) z_xx = 0, z_xy = 1 − 1- y2 , z_yy = 2x- y3 c) z_xx = 0, z_xy = − 2- y3 , z_yy = 6x y4 d) z_xx = − --3xy2--- (x2+y2)52 , z_xy = y(2x2−-y2) (x2+y2)52 , z_yy = − x(x2−2y2) (x2+y2)52 e) z_xx = 2cos(x + y) − xsin(x + y), z_xy = cos(x + y) −xsin(x + y), z_yy = −xsin(x + y) f) z_xx = − 2sin-x2+4x2cosx2 y , z_xy = 2xsin-x2 y2 , z_yy = 2cosx2- y3 g) z_xx = x^(x+y)[(lnx + x+y- x )² + 1 x − y- x2 ], z_xy = x^(x+y)[ln²x + x+xy- lnx + ], z_yy = x^(x+y) ln²x h) z_xx = -22x2-3- (x +y )2 , z_xy = --22y23- (x +y)2 , z_yy = − 2x(x2+2y2) -2-2--2-3 y (x+y )2 i) z_xx = − (x+1y2)2 , z_xy = − (x2+yy2)2 , z_yy = 2(x−y2) (x+y2)2 j) z_xx = y2−x2 (x2+y2)2 , z_xy = − 2xy (x2+y2)2- , z_yy = x2− y2 (x2+y2)2 k) z_xx = − 2x∣y∣ (x2+y2)2 , z_xy = 2 2 (x(x−2y+)ys2g)n2y , z_yy = (x22+x∣yy2∣)2 l) z_xx = 2y(1 + x²)^y−2(−x² + 2x²y + 1), z_xy = 2x(1 + x²)^y−1[1 + y ln(1 + x²)], z_yy = (1 + x²)^y ln²(1 + x²).

KAPITOLA 4

4.1 a) 2dx b) 1 2 dx − 1 2 dy c) 1 4 dx − 1 2 dy d) dx + 2ln2dy − 2ln2dz e) 3 5 dx + 4 5 dy f) df = √3 4-- dx − 1 4 dy g) df = −2dx + dz h) du = ( ) x y [ ] dx-− dy − dz2 ln x x y z y 4.2 a) p- 4 + 0,035 b) p- 6 − 0√,09 3 c) 2, 95 d) −0,06 e) 1 f) 1,13 g) dV ≐ 50p 3 cm³ h) dh≐ 1 cm. 4.3 a) není diferencovatelná, např. pro u = (1,1) neexistuje směrová derivace f_u(0,0) b) není diferencovatelná, neboť f_(1,1)(0,0) neexistuje c) ano df(0,0) = 0 4.4 a) x + y + z = √ -- 3 b) 3x + 5y − z = 4 c) z₀ = − p- 4 , x + y − 2z = p- 2 d) z₀ = 1, z = 1. 4.5 a) [2,1], [−2,−1] b) [ −a −b ] √1+a2+b2,√1+a2+b2 c) [−1∕2,1∕2] d) [1,1] e) [ √-- 2 , 1 √2- ,− 1 √2- ], [− √2-- ,− √1- 2 , 1√-- 2 ] f) tečna existuje ⇔ a₁² + ⋯ + a_n² = 1; pak [x₁,…,x_n] = [−a₁,…,−a_n]. 4.6 a) f_(1,2)(1,1) = 3 b) f_(1,0,1)(0,1,0) = 0. 4.7 a) d²z = 2 (dxx) + 2dxydy- − 2 (dyy)2- b) d²z = 6(x−y)(dx)² +12(y−x)dxdy +6(x−y)(dy)² c) dⁿz = e^x+y ∑ _j=0ⁿ (n) j [n² +2j² −2nj −n+x² +y² +2xj +2(n−j)y](dx)^j(dy)^n−j d) dⁿz = (−1)n−1(n− 1)! --(x+y)n--- (dx+dy)ⁿ e) dⁿz = (x+y2)n+1- ∑ _j=0ⁿ(−1)^j (n) j [(n − j)x + jy] (dx)^j(dy)^n−j f) dⁿu = n!e^x+y+z ∑ _i+j+k=n (x+i)(y+j)(z+k) i!j!k! (dx)ⁱ(dy)^j(dz)^k. 4.8 a) 2 x2 + xlny − cosy + C, b) 2 x2- sin2y + C c) ∘ ------- x2 + y2 + C d) xy² − x + y² + C. 4.9 a) x³ + y³ + z³ − 3xyz + 2x + y lny + z b) arctg xyz.

KAPITOLA 5

5.1 a) z(x,y) = f( ∘ ------- x2 + y2 ) b) z(x,y) = f ( ) yx c) u(x,y,z) = f(x+y−2z,x−2y+z). 5.2 a) z_uv = 0, z(x,y) = f(x − 2 √y- ) + g(x + 2 √y- ) b) z_vv0, z(x,y) = f( ∘ -2----2 x + y )+xyg() c) u(4−uv)z_uv−2z_v = 0 d) z_vv+2v³z_v = 0 e) (u² −v²)z_uv −vz_u = 0 f) (u² −v²)z_uv +vz_u −uz_v = 0 g) uz_uu −xz_uv +z_u = 0. h) vz_vv+z_v = 0, z(x,y) = f(xy)lny +g(xy). i) z_uv = 1 2u- z_v, z(x,y) = √--- xy f( y x )g(xy). 5.4 a) T₂(x,y) = √- -22- +[(x−)+(y−)]− √- -24- [(x−)² +2(x−)(y−)+(y−)²] b) T₂(x,y) = p- 4 + x − xy 2 c) T₂(x,y) = 1 − x2 2 + y2 2 d) T₂(x,y) = p- 4 − 1 2 (x − 1) + 1 2 (y − 1) + 1 4 (x − 1)² − 1 4 (y − 1)² e) T₂(x,y) = x−x(y −1) f) T₂(x,y) = ln-2 2 + 1 2 [(x−1)+(y −1)]− 1 2 (x−1)(y −1) g) T₂(x,y,z) = 1 + (x− 1) + (x− 1)(y − 1) − (x− 1)(z − 1). 5.5 a) p 4- + 0,0297 b) 1 2 + √- 2−-3- 2 p-- 180 + √- √- 2-6−4-3−-1 2 -p22- 2⋅180 .

KAPITOLA 6

6.1 a) z_min = −1 v bodě [1,0] b) z_max = 64 27 v [ 4 3 , 4 3 ], ve stacionárních bodech [0,0],[0,4],[4,0] extrém nenastává c) z_max = 16 v [2,−2] d) z_min = 30 v [5,2] e) z_min = 3 + ln3 v [1,1], f) V jediném stacionárním bodě [1,1] extrém nenastává g) z_min = − -4√-- 3 3 v [−,−] h) u_min = −6913 v [24,−144,−1] i) u_min = 4 v [ 1 2 ,1,1] j) z_min = 3 √3-- 3 a² v [ √a- 33 , a√-- 33 ] k) u_max = 27- 2 , v [3, 3 2 ,1] l) u_max = ( ) --2---- n2+n+2 v x₁ = ⋯ = x_n = ---2--- n2+n+2 m) u_min = (n + 1)2 v x₁ = 2 , x₂ = 2 ,…x_n = 2 . 6.3 a) f_min = −2 v [−1,−1], f_max = 2 v [1,1] b) f_min = 3 2 v [ 1 2 , 1 2 ], f_max = 3 v [0,0], c) f_min = 2 − √2- v [1 − 1√-- 2 ,1 − √1- 2 ], f_max = 2 + √2-- v [1 + √1- 2 ,1 + √1- 2 ] d) f_min = − √-- 2 v [− 1√2- ,− √12- ,0], f_max = √ -- 2 + 1 v [ √12- , √12- ,1] e) f_min = 0 v [0,0,0], f_max = 1 v bodech [x,y,0], kde x² + y² = 1. 6.4 a) f_max = 7 v [0,−1], f_min = −4 v [1,1] b) f_max = 22 v [2,2], f_min = −2 v [−2,2] c) f_max = 6 v [3,0], f_min = −1 v [1,1] d) f_max = − 1 2 v [− √1- 2 , √1- 2 ], f_min = −2 v [0,0]. e) f_min = 0 v [0,0], f_max = 12 v bodech [0,3]. f) f_min = 3 − 2 √-- 2 v bodě [ √1- 2 ,− 1√-- 2 ], f_max = 3 + 2 √-- 2 v bodě [−, √1- 2 ]. 6.5 a) f_max = √ - 3--3 8 v [ p 3- , p 3- ], f_min = − 3√3 -8- v [ 2p -3 , 2p 3- ] b) f_max = 1 v [1,0] a [0,1], f_min = 0 v [0,0] c) f_max = 3 + 3√5- v [ 1√5- , √25- ,1], f_min = − 152 v [−,−, 536- ] d) Čísla a,x₁,x₂,…,x_n,b tvoří geometrickou posloupnost s kvocientem q = n+1∘ -b a .

KAPITOLA 7

7.1 a) (F⁻¹)(1,0)= ( ) 0 1 1 0 b) (F⁻¹)(−2,4)= ( 1 1) 6 6 − 16 0 c) (F⁻¹)(1,2)= ( ) 1 0 0 1 7.2 a) [x,y] F ↦−→ [x(b2−-a2)−2a(by+c) y(a2−b2)−-2b(ax+c)] a2+b2 , a2+b2 b) [x,y] [ ] ---y--- ---x--- √x2+y2-,√x2+y2- c) [x,y,z ] [x √x2+y2+z2 y√x2+y2+z2- ] --√-2--2--,--√--2--2-,0 x +y x+y d) [x,y,z] [ ] rxR,ryR-, zrR , kde r = ∘ ------------ x2 + y2 + z2 , R = ∘ ------------ xa22 + yb22 + z2c2- . 7.3 r ∂R∂r (r,) = R(r,) ∂∂Φϕ- (r,), ∂R- ∂ϕ (r,) = −rR(r,) ∂Φ- ∂r (r,)

KAPITOLA 8

8.1 a) [2,2],[−2,−2] b) body osy y c) body roviny z = 0 ležící na elipse 2 xa2 + 2 yb2 = 1. 8.2 a) y = 1+y2y2 b) y = 2 yx2(1(−1−-lnlnxy)) . 8.3 a) 5y + 2x = 0, y = −2x b) 2x − y + 1 = 0, 2x − y − 1. 8.4 [1,1], [1,−3] 8.5 y = −(1 − ccosy)⁻³csiny. 8.6 a) tečná rovina: x − 3y − 4z − 4 = 0, normála: x = 2 + 1 2 t, y = 4 3 − 3 4 t, z = −1 − t, t b) x + 4y + 6z − 21 = 0, x + 4y + 6z + 21 = 0 c) x − y + 2z ∘ --- 112 = 0. 8.7 a) z_x = z_y = −1, z_xx = z_xy = z_yy = 0 b) z_x = -xz-- x2−y2 , z_y = − -yz-- x2−y2 , z_xx = − y2z (x2−y2)2 , z_xy = xyz (x2−-y2)2 , z_yy = − 2 (x2x−zy2)2- . 8.8 y_min = 0,5 v x = 0, y_max = −2 v x = 0,5. 8.9 a) z_min = −2 v [1,−1], z_max = 6 v [1,−1] b) z_min = 1 v [−2,0], z_max = − 8 7 v [ 16 7 ,0].

KAPITOLA 9

9.1 a) f_max = a6 66 b) f_max = 1 8 v [ p- 6 , p- 6 , p- 6 ] c) f_min = − -1√- 3 6 v [ √1- 6 , 1√-- 6 ,− 2√-- 6 ], [ √16- ,− √26- , 1√6- ], [− √26- , √16- , √16- ], f_max = 31√6 v [− 1√6- ,− 1√6- , √26- ], [− √16- , √26- ,− 1√6- ], [ √2- 6 ,− √1- 6 ,− √1- 6 ] d) f_max = 2 v [1,1,1] e) f_min = (∑n a −2) k=1 k ⁻¹ pro x_i = a_i⁻¹ (∑n ) k=1 a−k2 ⁻¹ f) f_min = (∑n √ ----) k=1 αkβk ² pro x_i = ∘ --- αiβi ⁻¹ g) f_max nastává pro x_i = ∑n-αi-- k=1αk . 9.2 a) Délky hran hranolu: 2a √3- , 2b √3- , 2c √3- , V _max = 8 3√3 abc b) Rozměry kvádru a,b, c 2 , V _max = abc 2-- c) Výška hranolu v_hr = h, hrana základny a = √- 232 R, V _max = 827- R²h d) a = b = c = ∘ -- P- 6 , V _max = P√√P- 6 6 e) [x,y] = ----- ∘ ---- [ ∘ aa+b -b-] ±a , ± b a+b , f) Normála k elipsoidu v hledaném bodě musí být kolmá na přímku spojující zadané dva body. 9.3 a) f_min = ---∣∣α2v−β2u∣∣2--2- 2(∣∣u∣∣ ∣∣v∣∣−〈u,v〉) b) Nechť B = (u₁,…,u_n−1), je matice sestavená z vektorů u₁,…,u_n−1, = (₁,…,_n−1), f_min = (B^T B)⁻¹, pro x = B(B^T B)⁻¹.