2.1.1.1 Limita funkce

Úvod do matematiky 2.1.1.1 Limita funkce

2.1.1.1 Limita funkce

Limita funkce je lokální vlastnost funkce, která popisuje chování (hodnoty) funkce v ryzím okolí bodu, v němž limitu zkoumáme. Je tedy jasné, že funkce sice může, ale rovněž nemusí nabývat funkční hodnoty funkce v bodě, ve kterém limitu vyšetřujeme. Může nastat dokonce případ, že funkce má limitu v bodě ve kterém není definována.

Ryzí okolí bodu je takové okolí bodu, které nezahrnuje přímo tento bod.

Intuitivní zavedení limity ve vlastním bodě $ x_{0} $ (tedy takovém $ x_{0}\in\mathbb{R} $ ) ukazuje obrázek (1). Podobně lze intuitivně porozumět limitě funkce v nevlastním bodě $ x_{0}=\pm\infty $ , jak je znázorněno na obrázku (2).

Obr. 1: Grafické znázornění limit ve vlastním bodě $ x_{0} $ . Vlevo má limita ve vlastním bodě $ x_{0} $ hodnotu $ L\in\mathbb{R} $ , jedná se tedy o tzv. vlastní limitu. Vpravo je znázorněna limita ve vlastním bodě funkce, kde má však hodnotu $ \infty $ , jedná se o tzv. nevlastní limitu.

Obr. 2: Grafické znázornění limit v nevlastním bodě $ x_{0} $ . Vlevo má limita v nevlastním bodě hodnotu $ L\in\mathbb{R} $ , jedná se tedy o tzv. vlastní limitu. Vpravo je znázorněna limita v nevlastním bodě funkce, kde má hodnotu $ \infty $ , jedná se o tzv. nevlastní limitu.

Pokud má funkce $ f(x) $ v okolí bodu $ x_{0} $ limitu rovnu $ L $ , zapisujeme:

$ \lim \limits_{x\to x_{0}}f(x)=L $ (1).

Z definice limity však vyplývá, že funkce se musí nabývat v celém okolí bodu $ x_0 $ hodnot okolo $ L $ a to jak v okolí levém (takovém, kde je $ x < x_0 $ ) i pravém (tj. pro hodnoty $ x > x_0 $ ). Pro taková okolí bodů se pak definují jednostranné limity zprava (2) a zleva (3):

$ \lim \limits_{x \to x_0 ^+}f(x)=L $ (2),

$ \lim \limits_{x\to x_{0}}f(x)=L $ (3).

Limita v bodě $ x_0 $ pak existuje pouze tehdy, je-li v bodě $ x_0 $ limita zprava a zleva stejná.

Technická realizace: Veronika Švandová
ve spolupráci se Servisním střediskem pro e-learning na MU

Tvorba tohoto webu je spolufinancována Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky.