Pro výpočty limit budeme využívat jednoduché početní operace, které platí pro limity. Jsou jimi zejména pravidla pro sčítání, odečítání, násobení a dělení limit a limita absolutní hodnoty funkce.
Označme si pro jednoduchost $ \lim \limits_{x\to x_{0}}f(x) = F $ a $ \lim \limits_{x\to x_{0}}g(x) = G $ , pak platí následující vztahy:
\( \lim \limits_{x\to x_{0}} (f(x) \pm g(x)) = F \pm G \) (5),
\( \lim \limits_{x\to x_{0}} (f(x) \cdot g(x)) = F \cdot G \) (6),
\( \lim \limits_{x\to x_{0}} \dfrac{f(x)}{g(x)} = \dfrac{F}{G} \quad \textrm{pokud } G \neq 0 \) (7),
\( \lim \limits_{x\to x_{0}} |f(x)| = |F| \) (8).
Při výpočtech limit můžeme narazit na několik typů případů. Dle toho, o jaký případ limity se jedná pak využijeme daný postup. Následuje přehled těchto případů s komentovaným řešením.
Nejjednodušším případem je limita funkce ve vlastním bodě, ve kterém je daná spojitá funkce definována. V takovém případě je výpočet limity omezen na výpočet funkční hodnoty funkce v tomto bodě - viz řešené příklady - příklad (1).
V případě, že počítáme limitu funkce ve vlastním bodě, ve kterém však není funkce definována (tzn. v bodě nespojitosti), může nastat několik situací:
Funkci lze postupně upravit tak, aby byl bod nespojitosti touto úpravou odstraněn. Toho lze využít zejména u racionálních lomených funkcí, ale i u jiných případů. Limitu funkce pak vypočítáme prostým dosazením do předpisu upravené funkce.
V případě, že nelze bod nespojitosti odstranit, může se jednat buď o nevlastní limitu ve vlastním bodě jako na obrázku (1) (v případě, že jsou si limity zprava a zleva rovny) nebo funkce v daném bodě nemá limitu (pokud jsou jednostranné limity různé).
V případě, že se jedná o funkci, ve které vystupují goniometrické funkce, pokusíme se ji upravit tak, abychom mohli využít vlastnosti limity
\( \lim \limits_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x} = 1 \) (9).
Projděte si s námi související řešené příklady (2) - (7), případně (10) - (14).
Výpočty limit v nevlastních bodech (obrázek (2)) probíhají mírně odlišně. Můžeme de facto rozlišit několik typů těchto limit:
Limity podílu racionálních lomených funkcí vyčíslíme nejčastěji tak, že funkce upravíme na podíl dvou polynomů a následně celý zlomek rozšíříme výrazem $ \dfrac{1}{x^n} $ , kde $ n $ je stupeň nejvyšší přítomné mocniny v rámci celého zlomku. Využijeme tak vlastnosti limity:
\( \lim \limits_{x \to \pm \infty} \dfrac{1}{x^n} = 0 \) (10).
V případě rozdílu odmocnin lze s limitou nakládat jako se zlomkem a odmocnin se v čitateli příslušným rozšířením rozdílu.
Obecně lze říci, že pro výpočet limit v nevlastních bodech funkcí v podílovém tvaru je možné využít i myšlenkových úvah. Pokud totiž funkce v čitateli roste pomaleji, než funkce ve jmenovateli (za předpokladu, že obě funkce jsou monotónní a divergují) je jasné, že v limitě $ x \to \infty $ bude výraz v čitateli nepředstavitelně nižší, než ve jmenovateli a naopak. Vše osvětlíme na řešených příkladech (8) - (9), můžete si též projít vyřešené příklady (15) - (16).
Poměrně často se při výpočtech limit setkáme s neurčitými výrazy. Jedná se o výrazy typu $ \dfrac{0}{0} $ nebo $ \dfrac{\infty}{\infty} $ . Pokud se jedná o případy, které umíme upravit výše popsanými způsoby, využijeme je. V jakémkoliv případě neurčitého výrazu lze ale použít i L`Hospitalovo pravidlo, které využívá derivací.
Samostatně si můžete výpočty nejrůznějších typů limit procvičit v příkladech k procvičení - příklady (1) - (2).