Výpočty derivací elementárních funkcí, které plynou z definice nejsou nutné, stačí si je osvojit z následující tabulky.
| $ {f(x)} $ | $ f'(x) $ |
|---|---|
| $ konst. $ | $ 0 $ |
| $ x^n $ | $ n \cdot x^{n-1} $ |
| $ \mathrm{e}^x $ | $ \mathrm{e}^x $ |
| $ a^x $ | $ a^x \cdot \ln a $ |
| $ \ln x $ | $ \dfrac{1}{x} $ |
| $ \log_a x $ | $ \dfrac{1}{x \ln a} $ |
| $ \sin x $ | $ \cos x $ |
| $ \cos x $ | $ -\sin x $ |
| $ \tan x $ | $ \dfrac{1}{\cos^2 x} $ |
Ne každá funkce je ale funkcí elementární a velmi často se setkáme s funkcemi, které jsou součtem/rozdílem, součinem nebo podílem více funkcí.
Označíme-li $ f(x) $ a $ g(x) $ funkce a $ f'(x) $ a $ g'(x) $ jejich derivace a $ c $ je libovolná konstanta, pak platí:
\( (c \cdot f(x))' = c \cdot f'(x) \) (3),
\( (f(x) \pm g(x))' = f'(x) \pm g'(x) \) (4),
\( (f(x) \cdot g(x))' = f'(x)\cdot g(x) + f(x)\cdot g'(x) \) (5),
\( \left( \dfrac{f(x)}{g(x)} \right)' = \dfrac{f'(x)\cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x) }{(g(x))^2} \) (6).
Někdy můžeme narazit na tzv. složenou funkci. Obecně se jedná o funkci, jejíž argumentem je další funkce, tedy obecně $ f(g(x)) $ . Funkci $ f $ nazýváme vnější funkcí a funkci $ g $ jako funkci vnitřní. Příkladem takové složené funkce může být např. $ \sin(x^2-1) $ . V tomto případě je vnitřní funkcí $ x^2-1 $ a vnější funkcí funkce sinus.
Derivace složené funkce se pak vypočítá jako:
\( (f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x) \) (7).
Slovně řečeno, nejdříve derivujeme vnější funkci $ f $ , které ponecháme její argument $ g(x) $ , jaký je v zadání a poté teprve derivujeme funkci vnitřní (tedy argument vnější funkce) $ g(x) $ .
Výpočty derivací podle uvedených vzorců jsou poměrně mechanickou záležitostí, nicméně, jedná se o delší výpočty (zejména pak úpravy derivovaných výrazů) a proto je třeba počítat pomalu a dávat pozor na elementární chyby.
Projděte si s námi související řešené příklady (1) - (10). Samostatně si můžete výpočty procvičit v příkladech k procvičení - příklad (1).
V praxi je možné setkat se s derivacemi vyšších řádů – druhou ( $ f''(x) $ ), třetí ( $ f'''(x) $ ) až obecně n-tou derivací ( $ f^{(n)}(x) $ ). Jejích výpočet není složitý ale spíše pracný. Druhou derivaci vypočítáme derivováním derivace první. Třetí derivaci vypočteme derivováním druhé derivace atd.
K tomuto tématu se vztahují řešené příklady (11) - (12). Samostatně si můžete tyto výpočty procvičit v příkladech k procvičení - příklad (2).