Přímá integrace funkcí.
Podobně jako derivace elementárních funkcí jsou tabelované některé integrály elementárních funkcí. Uvádíme zde jejich přehled:
| $ {f(x)} $ | $ \displaystyle{\int} f(x) \, \mathrm{d} x $ |
|---|---|
| $ \mathrm{konst.} $ | $ \mathrm{konst.} \cdot x + C $ |
| $ x^n $ | $ \dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C \qquad \text{pro } n \neq -1 $ |
| $ \mathrm{e}^x $ | $ \mathrm{e}^x + C $ |
| $ \dfrac{1}{x} $ | $ \ln |x| + C $ |
| $ a^x $ | $ \dfrac{a^x}{\ln a} + C \qquad \text{pro } a > 0 $ |
| $ \sin x $ | $ -\cos x + C $ |
| $ \cos x $ | $ \sin x + C $ |
| $ \dfrac{1}{\cos^2 x} $ | $ \tan x + C $ |
| $ \dfrac{1}{\sin^2 x} $ | $ -\cot x + C $ |
Ne každá funkce je ale funkcí elementární a velmi často se setkáme s funkcemi, které jsou součtem/rozdílem, součinem nebo podílem více funkcí.
Označíme-li $ f(x) $ a $ g(x) $ funkce a $ F(x) $ a $ G(x) $ jejich primitivní funkce a $ c $ libovolnou konstantu, pak platí pro součet a rozdíl integrálů, podobně jako u derivací:
\( \displaystyle{\int} c \cdot f(x) \, \mathrm{d} x = c \cdot \displaystyle{\int} f(x) \, \mathrm{d} x = c \cdot F(x) + C \) (2),
\( \displaystyle{\int} (f(x) \pm g(x)) \, \mathrm{d} x = \displaystyle{\int} f(x) \, \mathrm{d} x \pm \displaystyle{\int} g(x) \, \mathrm{d} x = F(x) \pm G(x) + C \) (3).
Součin funkcí se integruje speciálními metodami, které zmíníme níže, podobně je tomu u podílu.
Pouze ve speciálním případě, kdy je čitatel zlomku, který integrujeme derivací jmenovatele, tedy integrujeme-li podíl typu $ \frac{f'(x)}{f(x)} $ , pak platí:
\( \displaystyle{\int} \dfrac{f'(x)}{f(x)} \, \mathrm{d} x = \ln |f(x)| + C \) (4).
Nyní můžeme přistoupit k několika řešeným příkladům (1-7), které využívají k integraci funkcí výše uvedené vztahy.
Integrace metodou per partes
V případě, že máme vypočítat integrál, který je součinem dvou funkcí, a který nelze vhodně upravit na tabulkové integrály uvedené v předchozím textu, je v mnohých případech výhodně použít metodu integrace per partes.
Tato metoda integrace využívá integrované formy vztahu pro derivaci součinu. Pro připomenutí, pro derivaci součinu dvou funkcí $ u(x) $ a $ v(x) $ platí $ (u(x) \cdot v(x))' = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x) $ . Zintegrujeme-li tento vztah, máme z $ (u(x) \cdot v(x))' $ nederivovaný součin $ u(x) \cdot v(x) $ a můžeme psát:
Pro výpočet integrálu ze součinu funkcí tak můžeme zapsat totožné vztahy:
\( \displaystyle{\int} u'(x) \cdot v(x) \, \mathrm{d} x = u(x) \cdot v(x) - \displaystyle{\int} u(x) \cdot v'(x) \, \mathrm{d} x \) (5),
\( \displaystyle{\int} u(x) \cdot v'(x) \, \mathrm{d} x = u(x) \cdot v(x) - \displaystyle{\int} u'(x) \cdot v(x) \, \mathrm{d} x \) (6).
Může se zdát, že se jedná o převod integrálu na jiný integrál. Je tomu tak. V původním integrálu ze součinu dvou funkcí si vždy zvolíme jednu funkci, kterou prohlásíme za derivaci $ u'(x) $ (nebo $ v'(x) $ ), kterou musíme umět integrovat a druhou $ v(x) $ (nebo $ u(x) $ ) kterou musíme umět derivovat. (To nebývá problém.) Tyto funkce volíme tak, abychom po úpravě obdrželi jednodušší integrál. Jak vhodně tyto funkce volit si ukážeme na následujících příkladech a následně se pokusíme o vyslovení několika pravidel, která by nám mohla pomoci s výpočty integrálů pomocí této metody. Je ještě nutné podotknout, že metoda per partes se při výpočtu v mnoha případech používá i opakovaně.
Abychom nemuseli vždy složitě vymýšlet, kterou funkci během integrace per partes zvolit jako derivovanou a kterou jako nederivovanou, je možné shrnout jednotlivé případy, se kterými se pravděpodobně setkáme, do následující tabulky: ( $ P(x) $ je obecně polynom.)
| Integrovaná funkce | $ u(x) $ & $ v'(x) $ |
|---|---|
| $ P(x) \cdot \mathrm{e}^x $ | $ P(x) $ & $ \mathrm{e}^x $ |
| $ P(x) \cdot \sin x $ | $ P(x) $ & $ \sin x $ |
| $ P(x) \cdot \cos x $ | $ P(x) $ & $ \cos x $ |
| $ P(x) \cdot \ln x $ | $ \ln x $ & $ P(x) $ |
S tímto penzem dovedností bychom již měli být schopni vyřešit integrály v řešených příkladech 8-11.
Integrace substituční metodou
Metoda integrace substitucí se s výhodou využívá, má-li funkce, která má být integrována, neelementární argument. Tedy např. v případě funkce $ f(x) = \mathrm{e}^x $ je argument exponenciály z hlediska výpočtu integrálu elementární. Nicméně, již pro funkci $ f(x) = \mathrm{e}^{2x+1} $ argument $ 2x+1 $ není z hlediska integrace elementární a je třeba jej nahradit elementárním argumentem – novou proměnnou.
Postup výpočtu substitucí využívá věty o derivaci složené funkce. Připomeňme, že funkce $ f(g(x)) $ má derivaci $ (f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x) $ . Označíme-li primitivní funkci $ f(g(x)) $ jako $ F(g(x)) $ , pak můžeme psát $ (F(g(x)))' = F'(g(x)) \cdot g'(x) = f(g(x)) \cdot g'(x) $ . Integrací této relace obdržíme:
\( \displaystyle{\int} f(g(x)) \cdot g'(x) \, \mathrm{d} x = F(g(x)) + C \) (7).
Zavedeme-li za argument funkce $ f $ , tedy za $ g(x) $ novou proměnnou $ t $ a za $ g'(x)\, \mathrm{d} x $ analogicky $ \mathrm{d} t $ , pak dostaneme integrál z elementární funkce z nové proměnné $ t $ .
Integraci pomocí substituce provádíme pomocí vztahu:
\( \displaystyle{\int} \underbrace{f(g(x))}_{f(t)} \cdot \underbrace{g'(x) \, \mathrm{d} x}_{\mathrm{d} t} = \displaystyle{\int} f(t) \mathrm{d} t = \underbrace{F(g(x))}_{F(t)} + C \) (8).
Je třeba podotknout, že v "novém" integrálu $ \int f(t)\mathrm{d} t $ se po substituci nesmí vyskytovat žádná původní proměnná, tedy nový integrál musí představovat integrál pouze z funkce obsahující proměnnou $ t $ a nikoliv $ x $ ! Veškerý postup ilustrujme na řešených příkladech 12-15.