1. Výpočet určitého integrálu
Vypočítejme určitý integrál
$$ \displaystyle{\int\limits _{-3}^{1}} (x^2 - 1) \, \mathrm{d} x . $$Řešení:
Funkcí, kterou máme integrovat, je $ f(x) = x^2 - 1 $ . Podle pravidel pro integrování, která jsme uvedli výše tuto funkci zintegrujeme. Obdržíme tak $ F(x) = \int (x^2-1) \, \mathrm{d} x = \dfrac{x^3}{3}-x $ . Do této primitivní funkce dosadíme hodnoty horní meze $ b = 1 $ a dolní meze $ a=-3 $ a podle vztahu (1) dostaneme přímočaře výsledek:
$$ \displaystyle{\int\limits _{-3}^{1}} (x^2 - 1) \, \mathrm{d} x = \underbrace{\left[ \dfrac{x^3}{3} - x \right]^1_{-3}}_{[F(x)]^b _a} = \underbrace{\left(\dfrac{1^3}{3} - 1\right)}_{F(b)} - \underbrace{\left(\dfrac{(-3)^3}{3}-(-3) \right)}_{F(a)} = \underline{\underline{\dfrac{16}{3}}} . $$2. Výpočet určitého integrálu
Vypočítejme určitý integrál
$$ \displaystyle{\int\limits _{1}^{2}} \left(\sqrt{x} + \dfrac{1}{x}\right) \, \mathrm{d} x . $$Řešení:
Určíme nejprve primitivní funkci k funkci $ f(x) = \sqrt{x} + \dfrac{1}{x} $ . Upravíme si první sčítanec na mocninný tvar a integrujeme. Následně dosadíme integrační meze a určitý integrál vyčíslíme:
$$ \displaystyle{\int \limits _{1}^{2}} \left(\sqrt{x} + \dfrac{1}{x}\right) \, \mathrm{d} x = \displaystyle{\int\limits _{1}^{2}} \left(x^{\frac{1}{2}} + \dfrac{1}{x} \right) \, \mathrm{d} x = \left[ \dfrac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + \ln|x| \right]^{2}_{1} = $$3. Výpočet určitého integrálu substituční metodou
Vypočítejme určitý integrál
$$ \displaystyle{\int\limits _{3}^{7}} \dfrac{x}{x^2-4} \, \mathrm{d} x . $$Řešení:
Jedná se o integrál, který budeme řešit substituční metodou. Položíme $ t = x^2 -4 $ . Postup je identický s integrací jako u neurčitého integrálu. Výhodou však je, že nemusíme funkci zpět z proměnné $ t $ transformovat do $ x $ , pokud při substituci transformujeme integrační meze (které jsou uvedeny pro proměnnou $ x $ ) také do proměnné $ t $ . V našem případě, jak jsme již řekli, použijeme substituci $ t = x^2 -4 $ , proto integrační mez $ 3 $ přejde na $ t = 3^2-4 = 5 $ (tedy $ 3 \to 5 $ ) a obdobně $ 7 \to 45 $ . Pak můžeme k výpočtu hodnot primitivní funkce použít přímo proměnné $ t $ . Substitucí tedy obdržíme (včetně integračních mezí):
$$ $$Tento integrál integrujeme a po integraci podle $ t $ můžeme přímo dosadit transformované integrační meze:
$$ \dfrac{1}{2} \cdot \displaystyle{\int\limits _{5}^{45}} \dfrac{1}{t} =\dfrac{1}{2} \cdot \left[ \ln|t| \right]^{45}_{5} = \dfrac{1}{2}\cdot (\ln 45 - \ln 5) = \underline{\underline{\ln 3}}. $$4. Výpočet určitého integrálu metodou per partes
Vypočítejme určitý integrál
$$ \displaystyle{\int\limits _{-\pi}^{\frac{\pi}{2}}} x \cdot \cos x \, \mathrm{d} x . $$Řešení:
Jedná se o integrál, jehož primitivní funkci $ F(x) $ k funkci $ f(x) = x\cos x $ budeme hledat metodou per partes. Nejprve si touto metodou vypočteme primitivní funkci $ F(x) $ :
$$ $$Pro určitý integrál ale platí $ \displaystyle{\int\limits _{a}^{b}} f(x) \, \mathrm{d} x = [F(x)]^b _a = F(b)- F(a) $ a máme-li zjištěnu primitivní funkci $ F(x) $ , můžeme rovnou do tohoto vztahu vypočtenou primitivní funkci vložit, dosadit integrační meze a počítat:
$$ \displaystyle{\int\limits _{-\pi}^{\frac{\pi}{2}}} x \cdot \cos x \, \mathrm{d} x = \left[x \sin x + \cos x\right]_{-\pi}^{\frac{\pi}{2}} = $$ $$ = \left(\dfrac{\pi}{2} \cdot \sin \left(\dfrac{\pi}{2}\right) + \cos \left(\dfrac{\pi}{2}\right)\right) - (-\pi \cdot \sin (-\pi) + \cos (-\pi))= \underline{\underline{\dfrac{2 + \pi}{2}}}. $$