Řešení:

Jedná se o integrál ze součtu několika elementárních funkcí, které lze upravit na mocninný tvar. S využitím vztahu (3) máme pak:

Tyto integrály již lze integrovat pomocí pravidla $ \int x^n \, \mathrm{d} x = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C $ :

Výsledek pak již pouze upravíme na estetický tvar:

Řešení:

Výše uvedený integrál je sice podílem funkcí, nicméně, je snadné jej převodem na mocninný tvar a následným dělením převést na rozdíl tabulkových integrálů:

Řešení:

Jedná se o integrál ze součinu dvou funkcí. Takový integrál by se v tomto tvaru řešil velmi těžko. Práci si však značně usnadníme roznásobením závorek a úpravou na mocninný tvar:

Takový integrál již lehce spočítáme jako integrál součtu dvou elementárních funkcí:

Řešení:

Uvedený integrál vypadá poměrně nepříjemně, vzhledem k  odmocnině z trojčlenu v čitateli zlomku. Nicméně, pokud si všimneme, že pod odmocninou máme klasický vzorec pro druhou mocninu dvojčlenu, konkrétně $ x^4 + 2 + x^{-4} = (x^2 + x^{-2})^2 $ , je již následná úprava na součet elementárních funkcí přímočará:

Tyto integrály jsou již tabulkové a je snadné je vypočítat:

Řešení:

Přestože se jedná o integrál z elementární funkce, není jeho integrace zcela elementární záležitostí. Využijeme však faktu, že funkce $ \tan x $ je definovaná pomocí funkcí sinus a  kosinus. Převedeme tak integrál na podíl dvou funkcí:

Na první pohled to nevypadá jako velký pokrok, nicméně, vzpomeneme-li si na derivace elementárních funkcí a vezmeme-li v  úvahu platnost vztahu (4), můžeme dojít k překvapivě přímočarému řešení. Derivací funkce $ \cos x $ je funkce $ - \sin x $ . A pokud je čitatel integrovaného zlomku roven derivaci jmenovatele, pak je integrál jednoduše vypočitatelný dle (4). Proto si v čitateli vyrobíme funkci $ - \sin x $ a dále integrujeme:

Řešení:

Integrál je nejprve třeba upravit na takový tvar, abychom mohli využít pravidla pro integrování elementárních goniometrických funkcí. Využijeme vlastnosti $ \cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x $ a rovněž $ \sin^2 x + \cos^2 x =1 $ a zlomek v  integrálu upravíme:

Tento integrál je již tabulkový a snadno jej vypočteme:

Řešení:

Jedná se o integrál z podílu funkcí, který by se těžko přímo integroval. Pokusíme se ale o rozklad kvadratického dvojčlenu v čitateli a zlomek tak upravíme:

Tento integrál je již součtem elementárních integrálů:

Řešení:

Jedná se o integrál, který ani sebelepší úpravou nemůžeme převést na integrál tabulkový. Jedná se ale evidentně o součin dvou funkcí. Využijeme proto metody integrace per partes. Máme součin dvou funkcí $ x $ a  $ \mathrm{e}^x $ . Jednu z nich musíme zvolit jako derivaci a druhou jako funkci nederivovanou. Vzhledem k tomu, že ve vztahu (5) je na pravé straně integrál z  funkcí se zaměněnou derivací, zvolíme v původním integrálu funkce $ u(x) $ a  $ v'(x) $ tak, aby integrál ze součinu $ u'(x) \cdot v(x) $ byl jednodušší. Toho docílíme tak, že jako nederivovanou funkci $ u(x) $ zvolíme funkci $ x $ , protože její derivace je rovna jedničce a z integrálu na pravé straně tak zmizí. Jako funkci $ v'(x) $ zvolíme $ \mathrm{e}^x $ , funkce $ v(x) $ na pravé straně (5) pak bude $ v(x) = \int v'(x) \, \mathrm{d} x = \int \mathrm{e}^x \, \mathrm{d} x = \mathrm{e}^x $ . Celý tento proces zapíšeme takto:

Vidíme, že se nám původní integrál zjednodušil na prostý součin $ x \cdot \mathrm{e}^x $ a tabulkový integrál z funkce $ \mathrm{e}^x $ . Tento výraz už jen zintegrujeme a  upravíme:

Řešení:

Opět se jedná o integrál, který je součinem funkcí a nelze jej upravit na integrály z elementárních funkcí. Využijeme proto metodu per partes. Jedná se o součet polynomu a goniometrické funkce. Derivací polynomu obdržíme polynom o stupeň nižší. Dvojnásobnou derivací polynomu bychom tak mohli obdržet v upraveném integrálu (5) pouze goniometrickou funkci. To znamená dvojnásobné využití metody per partes. Zvolíme si tedy polynom $ x^2 + 1 $ jako nederivovanou funkci $ u(x) $ , její derivace $ u'(x) = 2x $ . Naopak jako derivovanou funkci $ v'(x) = \cos x $ , potom $ v(x) = \int \cos x \, \mathrm{d} x = \sin x $ . Celý proces prvního kroku tak můžeme zapsat jako:

Na integrál na pravé straně pak ještě jednou uplatníme metodu per partes a tak se zbavíme výrazu $ 2x $ před goniometrickou funkcí v integrálu. Zvolíme-li tedy znovu $ u(x) = 2x $ , pak je $ u'(x) = 2 $ a podobně zvolíme $ v'(x) = \sin x $ a pak $ v(x) = \int \sin x \, \mathrm{d} x = - \cos x $ . Můžeme tak psát:

Tím jsme obdrželi elementární integrál a výsledek již jen upravíme:

Řešení:

Jedná se o integrál ze součinu polynomu a přirozeného logaritmu a proto využijeme nápovědy z Tabulky ??? a jako funkci $ u(x) $ zvolíme $ \ln^2 x $ , pak její derivace $ u'(x) $ je derivací složené(!) funkce, tedy $ u'(x) = 2 \ln x \cdot \dfrac{1}{x} $ . Za funkci $ v'(x) $ zvolíme $ x^3 $ a tedy $ v(x) = \int x^3 \, \mathrm{d} x = \frac{x^4}{4} $ . Pomocí vztahu pro integraci per partes tak obdržíme:

Jak je vidět, tak výsledek obsahuje znovu integrál, který je součinem dvou funkcí, z čehož jedna je přirozený logaritmus (tentokráte již ne v mocnině) a polynom. Použijeme tedy ještě jednou metodu per partes se stejnou taktikou jako v prvním kroku:

Řešení:

Jedná se o integrál ze součinu polynomu a exponenciální funkce. Proto použijeme metodu per partes a  to tak, že jako nederivovanou funkci zvolíme $ u(x) = x^2 + 1 $ a  jako derivovanou $ v'(x) = \mathrm{e}^x $ (dle Tabulky ???). Dostaneme tak rozvoj:

Vidíme, že došlo ke zjednodušení polynomu v integrálu o  jeden stupeň. Použijeme tedy ještě jednou metodu per partes a to se stejnou taktikou, kterou již znázorníme jen matematickou symbolikou:

Řešení:

Vidíme, že v integrálu je vyskytuje argument $ 5x - \pi $ , který nám nedovoluje počítat integrál jako klasický tabulkový. Zvolíme proto tento argument jako novou proměnnou. Tedy položíme $ g(x) = 5x-\pi = t $ . V integrálu (9) je vidět, že nová integrační proměnná $ \mathrm{d} t $ se vypočte jako $ \mathrm{d} t = g'(x) \, \mathrm{d} x $ . Derivace $ g'(x) $ je $ g'(x) = (5x - \pi)' = 5 $ . Proto vidíme, že $ \mathrm{d} t = 5 \, \mathrm{d} x $ a tedy v původním integrálu můžeme $ \, \mathrm{d} x $ nahradit $ \dfrac{1}{5} \mathrm{d} t $ . Tak původní integrál přejde na elementární integrál z proměnné $ t $ :

To je již integrál z elementární funkce. Je ale třeba po provedení integrace znovu dosadit za $ t $ původní proměnnou, tedy provést transformaci $ t = 5x - \pi $ . Výsledný integrál je pak:

Řešení:

Snadno nahlédneme, že exponenciální funkce obsahuje z  hlediska integrace nepříjemný argument $ -x^2 $ . Budeme se tedy snažit tohoto argumentu zbavit. Provedeme to tak, že zavedeme novou proměnnou $ t = -x^2 $ . V takovém případě bude $ \mathrm{d} t = (-x^2)' \, \mathrm{d} x $ , tedy po úpravě $ \mathrm{d} t = -2x \, \mathrm{d} x $ . Z tohoto výrazu vyjádříme $ \, \mathrm{d} x $ , což vede k výrazu $ \, \mathrm{d} x = -\dfrac{1}{2x} \mathrm{d} t $ . Dosazením (po dosazení uvádíme integrál v lomených závorkách, protože není v korektním tvaru -- jsou v něm jak proměnné $ x $ , tak proměnné $ t $ , což je nepřípustné) do původního integrálu obdržíme:

Všimněme si, prosím, že po vhodné substituci dojde k  transformaci veškerých proměnných $ x $ na novou proměnnou $ t $ . Úpravu výrazu, který obsahoval obě proměnné jsme uzavřeli do lomených závorek, vzhledem k tomu, že se nejedná o korektní matematický výraz. Nyní už pokračujeme přímočarou integrací podle $ t $ a nahrazením proměnné $ t $ zpět výrazem $ t = -x^2 $ :

Řešení:

Jedná se o integrál z podílu dvou goniometrických funkcí. Ve jmenovateli se však vyskytuje funkce sinus ve čtvrté mocnině, což je neintegrovatelný výraz. Využijeme proto metodu substituce, ve které provedeme transformaci $ \sin x = t $ . V  takovém případě nabude integrál po substituci tvaru:

Tento integrál je již tabulkový a lze jej po úpravě na mocninný tvar snadno integrovat. Nakonec opět provedeme zpět transformaci $ t = \sin x $ na původní proměnnou $ x $ :

Řešení:

Integrál před výpočtem upravíme tak, že ve jmenovateli integrovaného zlomku upravíme vzorec pro třetí mocninu dvojčlenu $ 1-3x^2+3x^4-x^6 = (1-x^2)^3 $ a konstantu $ 2 $ z čitatele vytkneme před integrál, obdržíme tak:

Tento integrál budeme řešit metodou substituce. Ve jmenovatli zlomku, který máme integrovat je třetí mocnina výrazu $ 1-x^2 $ , proto za vhodnou substituci zvolíme $ t = 1-x^2 $ . Provedeme-li transformaci proměnných, jak je obvyklé, obdržíme integrál:

To je již elementární integrál, který upravíme na mocninný tvar a integrujeme. Nakonec provedeme zpětnou transformaci proměnných $ t = 1-x^2 $ a obdržíme výsledek.