1. Vypočtěte následující integrály:
$ \displaystyle{\int} (x^2 + 1)^2 \, \mathrm{d} x $
$ \displaystyle{\int} \dfrac{x^4-1}{x^2 + 1 }\, \mathrm{d} x $
$ \displaystyle{\int} \dfrac{\sin x - \sin^3 x}{\cos^2 x}\, \mathrm{d} x $
$ \displaystyle{\int} \dfrac{3x^2}{x^3 - 10}\, \mathrm{d} x $
$ \displaystyle{\int} \dfrac{2}{3}\sqrt[7]{x} + \dfrac{7}{2} \sqrt[4]{x^3} \, \mathrm{d} x $
$ \displaystyle{\int} \dfrac{2+x^2}{x^3} \, \mathrm{d} x $
$ \displaystyle{\int} \cot x \, \mathrm{d} x $
$ \displaystyle{\int} \dfrac{1+\sqrt{2}}{x \cdot \sqrt{2} } \, \mathrm{d} x $
Výsledky:
$ \dfrac{x^5}{5} + \dfrac{2x^3}{3} + x + C $
$ \dfrac{x^3}{3}-x + C $
$ - \cos x + C $
$ \ln | x^3 -10| + C $
$ 2 \cdot \sqrt[4]{x^7} + \dfrac{7}{12} \cdot \sqrt[7]{x^8} + C $
$ \ln|x| - \dfrac{1}{x^2} + C $
$ \ln|\sin x| + C $
$ \left( 1 + \dfrac{1}{\sqrt{2}} \right) \cdot \ln |x| + C $
2. Vypočtěte následující integrály metodou per partes:
$ \displaystyle{\int} (x-4) \sin x \, \mathrm{d} x $
$ \displaystyle{\int} \left(\dfrac{1}{2}x^2 - x - 1\right) \cdot \mathrm{e}^x \, \mathrm{d} x $
$ \displaystyle{\int} \dfrac{x^2+1}{2} \cdot \ln x \, \mathrm{d} x $
$ \displaystyle{\int} x\sin x + x \cos x \, \mathrm{d} x $
$ \displaystyle{\int} \dfrac{10 \ln x}{x^{10}}\, \mathrm{d} x $
$ \displaystyle{\int} 4x \ln x - 4x \, \mathrm{d} x $
$ \displaystyle{\int} x^3 \cdot \cos x \, \mathrm{d} x $
$ \displaystyle{\int} \left( x - \dfrac{1}{x} \right) \cdot x^2 \mathrm{e}^x \, \mathrm{d} x $
Výsledky:
$ \sin x - x \cdot \cos x + 4 \cdot \cos x + C $
$ \mathrm{e}^x \cdot (x^2 - 3x + 2) + C $
$ \dfrac{x^3}{6} \ln x + \dfrac{x}{2} \ln x - \dfrac{x^3}{18} - \dfrac{x}{2} + C $
$ (x+1) \sin x + (1-x) \cos x + C $
$ -\dfrac{10}{89x^9} - \dfrac{10 \ln x}{9x^9} + C $
$ x^2 (2 \ln x -3) + C $
$ x^3 \sin x + 3x^2 \cos x - 6x \sin x - 6 \cos x + C $
$ \mathrm{e}^x \cdot (x^3 - 3x^2 + 5x - 5) + C $
3. Vypočtěte následující integrály metodou substituce:
$ \displaystyle{\int} x^2 \mathrm{e}^{-x^3} \, \mathrm{d} x $
$ \displaystyle{\int} \dfrac{\mathrm{e}^x}{\dfrac{1}{7} \mathrm{e}^x + 7} \, \mathrm{d} x $
$ \displaystyle{\int} \sin x \cdot \cos x \, \mathrm{d} x $
$ \displaystyle{\int} (4x-2) \cdot \sin (x^2 -x) \, \mathrm{d} x $
$ \displaystyle{\int} \sqrt[6]{6 - \dfrac{x}{6}} \, \mathrm{d} x $
$ \displaystyle{\int} (4-7x)^{10} \, \mathrm{d} x $
$ \displaystyle{\int} 2 \cdot \mathrm{e}^{2 \cdot \sin x} \cdot \cos x \, \mathrm{d} x $
$ \displaystyle{\int} \dfrac{5x^4}{2 \cdot \sqrt{4+x^5}} \, \mathrm{d} x $
Výsledky:
$ -\dfrac{1}{3}\mathrm{e}^{-x^3} + C $
$ 7 \ln \left| \dfrac{\mathrm{e}^x}{7} + 7 \right| + C $
$ - \dfrac{1}{2} \cdot \cos^2 x + C $
$ -2 \cos (x^2 -x) + C $
$ - \dfrac{36}{7} \cdot \sqrt[6]{\left(6-\dfrac{x}{6}\right)^7} + C $
$ - \dfrac{1}{77} \cdot (4-7x)^{11} + C $
$ \mathrm{e}^{2\sin x} + C $
$ \sqrt{4 + x^5 } + C $
4. Vypočtěte následující integrály vhodnou metodou:
$ \displaystyle{\int} x \cdot \sin (2x-1) \, \mathrm{d} x $
$ \displaystyle{\int} x \cdot \mathrm{e}^{(x^2-4)} \, \mathrm{d} x $
$ \displaystyle{\int} \tan x + \cot x \, \mathrm{d} x $
$ \displaystyle{\int} x \cdot \tan^2 x \, \mathrm{d} x $
$ \displaystyle{\int} 8x \cos 8x \, \mathrm{d} x $
$ \displaystyle{\int} \dfrac{x}{2} \ln \dfrac{x}{2} \, \mathrm{d} x $
Výsledky:
$ \dfrac{1}{4} \sin (2x-1) - \dfrac{1}{2}x \cos (2x-1) + C $
$ \dfrac{\mathrm{e}^{x^2-4}}{2} + C $
$ \ln |\sin x| - \ln | \cos x| $
$ -\dfrac{x^2}{2} + x\tan x + \ln|\cos x| + C $
$ x \cdot \sin (8x) + \dfrac{1}{8} \cos (8x) + C $
$ \dfrac{1}{8} x^2 (2 \ln x - 1 - 2\ln2) + C $