[Další] [Předchozí] [Předchozí – na konec] [Na konec] [Výše]

Kapitola 6
Lokální a absolutní extrémy

Vyšetřování extrémů funkcí je jednou z nejdůležitějších částí diferenciálního počtu. Je tomu tak proto, že v každodenním životě se setkáváme s řešením extremálních úloh. Např. každé ekonomické rozhodování se řídí pravidlem minimalizace nákladů a maximalizace zisku. Rovněž přírodovědné děje probíhají tak, že jistá veličina nabývá nejmenší nebo největší hodnoty (spotřebovaná energie, vykonaná práce).

Nejprve studujeme lokální extrémy. Zde vyšetřujeme danou funkci pouze lokálně, tj. v okolí nějakého bodu. To je předmětem prvního odstavce. Pokud je předepsána množina a máme najít bod této množiny, v němž funkce nabývá největší, resp. nejmenší hodnoty, mluvíme o absolutních extrémech. O nich pojednává druhá část této kapitoly.

6.1 Lokální extrémy

Definice 6.1. Řekneme, že funkce f : ℝn → ℝ nabývá v bodě x∗ ∈ ℝn lokálního maxima (minima), jestliže existuje okolí 𝒪(x∗) bodu x∗ takové, že pro každé x ∈ 𝒪(x∗) platí f(x) ≤ f(x∗) (f(x) ≥ f(x∗)).

Jsou-li nerovnosti v těchto vztazích pro x≠x∗ ostré, mluvíme o ostrých lokálních maximech a minimech. Pro (ostrá) lokální minima a maxima budeme používat společný termín (ostré) lokální extrémy.

 

Příklad 6.1. i) Funkce f(x,y) = ∘ ------- x2 + y2 má v bodě [x,y] = [0,0] ostré lokální minimum, neboť f(0,0) = 0 a pro každé [x,y]≠[0,0] je f(x,y) > 0. (Grafem funkce je kuželová plocha, viz obr. 13.2 .)

ii) Funkce f : ℝ2 → ℝ definovaná předpisem

{ 2 2 f(x,y) = x + y , pro [x,y] ⁄= [0,0], 1, pro [x,y] = [0,0],
má v bodě [0,0] ostré lokální maximum, neboť pro [x,y]≠[0,0] dostatečně blízko počátku platí f(x,y) < f(0,0) = 1.

 

Uvedené příklady ilustrují skutečnost, že pro existenci lokálního extrému v nějakém bodě funkce nemusí mít v tomto bodě parciální derivace, nemusí zde být dokonce ani spojitá.

V následujícím odvodíme nutné a postačující podmínky pro existenci lokálního extrému v případě, že funkce má v daném bodě parciální derivace. Podobně jako u funkce jedné proměnné je nutná podmínka formulována pomocí stacionárního bodu a postačující podmínka pomocí parciálních derivací 2. řádu.

Definice 6.2. Nechť f : ℝn → ℝ. Řekneme, že bod x∗ ∈ ℝn je stacionární bod funkce f, jestliže v bodě x∗ existují všechny parciální derivace funkce f a platí

∂f ∗ ∂x-(x ) = 0, i = 1,...,n. i
(6.1)

 

 

Následující věta, která prezentuje nutnou podmínku existence lokálního extrému, bývá v některé literatuře citována jako Fermatova věta.1

Věta 6.1. Nechť funkce f : ℝn → ℝ má v bodě x∗ ∈ ℝn lokální extrém a v tomto bodě existují všechny parciální derivace funkce f. Pak je bod x∗ jejím stacionárním bodem, tj. platí (6.1 ).

 

Důkaz. Předpokládejme, že některá z parciálních derivací funkce f v bodě x∗ je nenulová, tj. platí fxi(x∗)≠0. To vzhledem k definici parciální derivace znamená, že funkce ϕ(t) = f(x∗ + tei), kde ei = (0,…,0,1,0,…,0), jednička je na i-tém místě, má nenulovou derivaci v bodě t = 0, a tedy zde nemůže mít lokální extrém. To však znamená, že ani funkce f nemůže mít v bodě x∗ lokální extrém. □

 

Poznámka 6.1. Funkce f : ℝn → ℝ může mít lokální extrém pouze ve svém stacionárním bodě nebo v bodě, kde alespoň jedna z parciálních derivací neexistuje.

 

Zdůrazněme, že stacionární bod nemusí být bodem lokálního extrému, jak ukazuje obrázek, kde je znázorněn graf funkce f(x,y) = f(x0,y0) + (y − y0)2 − (x − x0)2, která má stacionární bod [x0,y0], avšak v tomto bodě nemá lokální extrém (takový bod se nazývá sedlo, viz obr. 6.1 ).

 

PICT

obr. 6.1:

V následující větě odvodíme postačující podmínku, aby funkce měla ve stacionárním bodě lokální extrém.

Připomeňme situaci pro funkci jedné proměnné g : ℝ → ℝ. Nechť t0 ∈ ℝ je stacionární bod této funkce. O tom, zda v tomto bodě je, nebo není extrém, rozhodneme podle hodnot vyšších derivací funkce g v t0. Speciálně je-li g′′(t0) > 0 (< 0), má funkce g v bodě t0 ostré lokální minimum (maximum).

Toto tvrzení se dokáže pomocí Taylorova rozvoje funkce g v t0. Platí

′ 1-′′ 2 1-′′ 2 g(t) = g(t0)+ g (t0)(t− t0)+ 2g (ξ)(t − t0) = g(t0) + 2g (ξ)(t− t0),
kde ξ je číslo ležící mezi t a t0. Je-li nyní funkce g′′ spojitá, pak g′′(t0) > 0 (g′′(t0) < 0) implikuje g′′(ξ) > 0 (g′′(ξ) < 0) pro ξ dostatečně blízká t0, pak g′′(ξ)(t − t0)2 > 0 (g′′(ξ)(t − t0)2 < 0), a tedy g(t) > g(t0) (g(t) < g(t0)) pro t dostatečně blízko t0, tj. funkce g nabývá v t0 ostrého lokálního minima (maxima). Analogicky postupujeme u funkcí více proměnných.

Zformulujme nejprve postačující podmínku pro existenci lokálního extrému pro funkci dvou proměnných.

Věta 6.2. Nechť funkce f : ℝ2 → ℝ má v bodě [x0,y0] a nějakém jeho okolí spojité parciální derivace druhého řádu a nechť [x0,y0] je její stacionární bod. Jestliže

D(x0, y0) = fxx(x0,y0)fyy(x0,y0)− [fxy(x0,y0)]2 > 0,
(6.2)

pak má funkce f v [x0,y0] ostrý lokální extrém. Je-li fxx(x0,y0) > 0, jde o minimum, je-li fxx(x0,y0) < 0, jde o maximum.

Jestliže D(x0,y0) < 0, pak v bodě [x0,y0] lokální extrém nenastává.

 

Důkaz. Nechť D(x0,y0)≠0. Ze spojitosti parciálních derivací 2. řádu funkce f plyne spojitost funkce D(x,y) = fxx(x,y)fyy(x,y) − [fxy(x,y)]2 a funkce fxx v bodě [x0,y0]. Odtud plyne, že pro [x,y] dostatečně blízká bodu [x0,y0] platí

sgnD(x, y) = sgnD(x0, y0), sgnfxx(x,y) = sgnfxx(x0,y0).

Taylorův vzorec pro n = 1 se středem [x0,y0] dává

1 f(x,y) = f (x0,y0) +-[fxx(c1,c2)(x− x0)2+ 2 2 +2fxy(c1,c2)(x − x0)(y − y0)+ fyy(c1,c2)(y − y0)]
(6.3)

kde [c1,c2] leží na úsečce spojující [x0,y0] a [x,y].

Označme A = fxx(c1,c2),B = fxy(c1,c2),C = fyy(c1,c2), h = x − x0, k = y − y0 a uvažujme kvadratický polynom dvou proměnných

P (h, k) = Ah2 + 2Bhk + Ck2.
Pak vztah (6.3 ) můžeme psát ve tvaru
f(x0 + h,y0 + k) = f(x0,y0)+ P (h,k).
(6.4)

 

Vyšetřeme nyní znaménko polynomu P(h,k). Uvažujme dva případy.

□

 

Příklad 6.2. Určete lokální extrémy funkce z = x3 + y3 − 3xy.

Řešení. Funkce, jejíž extrémy hledáme, je polynomem proměnných x,y, a proto jsou její parciální derivace spojité v celém ℝ2. Lokální extrémy mohou nastat pouze ve stacionárních bodech, které najdeme jako řešení soustavy rovnic

zx = 3x2 − 3y = 0, zy = 3y2 − 3x = 0.
Z první rovnice plyne y = x2 a dosazením do druhé rovnice dostáváme
x4 − x = x(x − 1)(x2 + x+ 1) = 0,
odtud x1 = 0,x2 = 1 (kvadratický trojčlen x2 + x + 1 má záporný diskriminant, a je proto vždy kladný). Existují tedy dva stacionární body P1 = [0,0], P2 = [1,1]. Dále platí zxx = 6x, zyy = 6y, zxy = −3. Odtud dostáváme
D(x,y) = 36xy − 9, tj. D(P1) = − 9 < 0, D(P2) = 36− 9 = 27 > 0.
Podle Věty 6.2 v bodě P1 extrém nenastává a v bodě P2 nastává ostré lokální minimum, neboť zxx(P1) = 6 > 0.

 

Poznámka 6.2. V případě, že ve stacionárním bodě [x0,y0] platí D(x0,y0) = 0, o existenci extrému v tomto bodě nelze na základě druhých derivací rozhodnout. Pro funkce jedné proměnné máme k dispozici tvrzení, které říká, že funkce f má ve stacionárním bodě x0, v němž f′′(x0) = 0, lokální extrém nebo inflexní bod podle toho, je-li první nenulová derivace v x0 sudého, nebo lichého řádu. U funkcí více proměnných není však aparát vyšších derivací v praktických případech příliš vhodný. V některých příkladech lze o existenci lokálního extrému rozhodnout vyšetřením lokálního chování funkce v okolí bodu [x0,y0], bez počítání druhých derivací. Tento postup je ilustrován na následujících dvou příkladech.

 

Příklad 6.3. i) Určete lokální extrémy funkce f(x,y) = x4 + y4 − x2 − 2xy − y2.

Řešení. Stacionární body určíme jako řešení soustavy rovnic

zx = 4x3 − 2x − 2y = 0, zy = 4y3 − 2x − 2y = 0.
(6.5)

Odečtením rovnic dostáváme x3 − y3 = 0, odtud x = y a dosazením do jedné z rovnic v (6.5) dostáváme tři stacionární body P1 = [0,0], P2 = [1,1], P3 = [−1,−1].

Dále

D(x,y) = f f − [f ]2 = (12x2 − 2)(12y2 − 2)− 4. xx yy xy
Protože D(P2) = D(P3) = 96 > 0 a fxx(1,1) = fxx(−1,−1) = 10 > 0, má funkce f v obou těchto stacionárních bodech ostré lokální minimum. Ve stacionárním bodě P1 je však D(P1) = 0, proto o existenci extrému v tomto bodě nelze takto rozhodnout.

Zde postupujeme následujícím způsobem: Funkci f můžeme upravit na tvar f(x,y) = x4 + y4 − (x + y)2. Odtud f(x,−x) = 2x4 > 0 pro x≠0. Na druhé straně f(x,0) = x4 − x2 = x2(1 − x2) < 0 pro x ∈ (−1,0) ∪ (0,1). V libovolném okolí bodu [0,0] tedy funkce f nabývá jak kladných, tak záporných hodnot, což spolu s faktem, že f(0,0) = 0, znamená, že v tomto bodě lokální extrém nenastává.

ii) Určete lokální extrémy funkce z = f(x,y) = xy ln(x2 + y2).

Řešení. Stacionární body určíme jako řešení soustavy rovnic

zx = y ln(x2 + y2) + xy 2x x2 +-y2 = y[ 2 2 2x2 ] ln(x + y )+ x2 +-y2 = 0,
zy = xln(x2 + y2) + xy--2y--- x2 + y2 = x[ ] ln(x2 + y2)+ --2y2-- x2 + y2 = 0.
Jsou možné čtyři případy:

odtud x2=y2. Soustavě rovnic vyhovuje čtveřice bodů P5−8=[± 1 √2e,± 1 √2e]. O tom, v kterém z těchto stacionárních bodů nastává extrém, rozhodneme vyšetřením znaménka funkce f. Funkce f nabývá nulové hodnoty na souřadných osách (v počátku má limitu rovnu 0 – viz příklad 2.2 v) a v bodech kružnice x2 + y2 = 1. Uvnitř jednotkové kružnice je funkce v I. a III. kvadrantu záporná, ve II. a IV. je kladná. Vně jednotkové kružnice je tomu naopak (načrtněte si obrázek).

Odtud je zřejmé, že v bodech P1,2 = [0,±1], P3,4 = [±1,0] extrém nenastává, neboť funkční hodnota je zde nulová a v libovolném okolí tohoto bodu nabývá funkce jak kladných, tak záporných hodnot.

Dále je vidět, že v bodě [ ] √1-,√1-- 2e 2e (ležícím uvnitř jednotkové kružnice) je lokální minimum, neboť na hranici množiny, která je tvořena souřadnými osami a jednotkovou kružnicí a kde leží tento bod, je funkce nulová a uvnitř této množiny je funkce f záporná. Pak nutně v jediném stacionárním bodě uvnitř této množiny musí být lokální minimum. Stejnou úvahou zjistíme, že lokální minimum je i v bodě [ --1 -1-] −√2e-,−√2e- a ve zbývajících dvou bodech je lokální maximum. Graf funkce z = xy ln(x2 + y2) a její vrstevnice jsou znázorněny na obrázku 14.9 a 14.10 . Na tomto znázornění je dobře vidět charakter jednotlivých stacionárních bodů.

 

Poznámka 6.3. Je-li funkce f diferencovatelná v bodě [x0,y0] a fx (x0,y0) = 0 = fy(x0,y0), pak tečná rovina ke grafu funkce f v bodě [x0,y0] je vodorovná. Je-li výraz D(x0,y0) > 0 a fxx (x0,y0) > 0 (< 0), pak je v bodě [x0,y0] lokální minimum (maximum), tj. v okolí tohoto bodu leží graf funkce nad (pod) tečnou rovinou.

Projdeme-li důkaz Věty 6.2 , snadno zjistíme, že i v případě, kdy [x0,y0] není stacionární bod, jsou podmínky D(x0,y0) > 0, fxx (x0,y0) > 0 (< 0) dostatečné pro to, aby graf funkce f v okolí bodu ležel nad (pod) tečnou rovinou v tomto bodě.

 

Příklad 6.4. Rozhodněte, zda graf funkce f(x,y) = x3 + y3 − 2xy leží v okolí bodu [1,1] nad, nebo pod tečnou rovinou sestrojenou v tomto bodě.

Řešení. Přímým výpočtem určíme parciální derivace funkce f v bodě [1,1]: fx = 1, fy = 1, fxx = 6, fxy = −2, fyy = 6. Podle (4.6) má tečná rovina ke grafu funkce v bodě [1,1] rovnici z = x + y − 2. Vzhledem k tomu, že D(1,1) = 34 − 4 = 32 > 0, leží podle předchozí poznámky graf funkce v okolí bodu [1,1] nad tečnou rovinou sestrojenou v tomto bodě.

 

Pro funkce tří a více proměnných je situace podobná jako pro dvě proměnné. O existenci extrému ve stacionárním bodě „rozhoduje“ kvadratický polynom n proměnných v Taylorově rozvoji. Pouze rozhodnout, kdy tento polynom nemění své znaménko, je poněkud složitější. K tomu připomeň me nejprve některé pojmy z lineární algebry.

Definice 6.3. Nechť A = (aij), i,j = 1…,n je symetrická matice, h ∈ ℝn. Řekneme, že kvadratická forma P(h) = 〈Ah,h〉 = ∑ i,j=1naijhihj určená maticí A je pozitivně (negativně) semidefinitní, jestliže

P (h) ≥ 0, (P (h) ≤ 0) pro kaˇzd é h ∈ ℝn.
(6.6)

Jestliže v (6.6 ) nastane rovnost pouze pro h = 0, řekneme, že forma P je pozitivně (negativně) definitní. Jestliže existují h,h ∈ ℝn taková, že P(h) < 0 a P(h) > 0, řekneme, že kvadratická forma P je indefinitní. Často místo o definitnosti, resp. indefinitnosti kvadratické formy P mluvíme o definitnosti, resp. indefinitnosti matice A.

 

V následujících úvahách pro funkci f : ℝn → ℝ symbolem f′ značíme n-rozměrný vektor, jehož komponenty jsou parciální derivace ∂∂fxi-, a symbol f′′ značí n×n matici, jejíž prvky jsou parciální derivace 2. řádu funkce f, tj. (f′′)ij = 2 ∂∂xi∂fxj, i,j = 1,…,n.

Věta 6.3. Nechť x∗∈ ℝn je stacionární bod funkce f a předpokládejme, že f má v bodě x∗ a nějakém jeho okolí spojité parciální derivace druhého řádu. Položme A = (aij) = f′′(x∗), tj. aij = fxixj(x∗).

i) Je-li kvadratická forma P(h) = 〈Ah,h〉 pozitivně (negativně) definitní, má funkce f v bodě x∗ ostré lokální minimum (maximum).

ii) Je-li kvadratická forma P indefinitní, v bodě x∗ extrém nenastává.

iii) Má-li funkce f v bodě x∗ lokální minimum (maximum), je kvadratická forma P pozitivně (negativně) semidefinitní.

 

Důkaz. Vzhledem k tomu, že důkaz prvních dvou tvrzení je zcela stejný jako pro dvě proměnné, dokážeme pouze tvrzení iii). Předpokládejme, že funkce f má v x∗ např. lokální minimum a kvadratická forma P není pozitivně semidefinitní, tj. existuje h ∈ ℝn takové, že P(h) < 0. Protože pro pevné h ∈ ℝn je kvadratická forma P spojitou funkcí koeficientů této formy aij, existuje ɛ > 0 takové, že je-li ∣aij − bij∣ < ɛ, i,j = 1,…,n a B = (bij), platí 〈Bh,h〉 < 0. To vzhledem ke spojitosti derivací druhého řádu funkce f znamená, že 〈f′′(x)h,h〉 < 0, je-li x dostatečně blízko x∗, tj. pro x splňující x ∈𝒪δ(x∗), kde δ > 0 je vhodné reálné číslo. Nyní nechť {αn} je libovolná posloupnost kladných reálných čísel konvergujících k nule a položme xn = x∗ + αnh. Pak xn → x∗, tedy pro dostatečně velká n je xn ∈𝒪δ(x∗) a z Taylorova vzorce pro n = 1 dostáváme

∗ ′ ∗ ′′ 2 ′′ f(xn)− f(x ) = 〈f(x ),αn˜h,〉+ 〈f (yn)αn ˜h,αn ˜h〉 = αn〈f (yn)˜h,˜h〉 < 0,
kde yn leží na úsečce spojující x∗ a xn. Proto yn ∈𝒪δ(x∗) pro n dostatečně velká a odtud f(xn) < f(x∗), což je spor s tím, že funkce f má v x∗ lokální minimum. □

 

Poznámka 6.4. Podle předchozí věty neumíme o existenci lokálního extrému v daném stacionárním bodě  x∗ rozhodnout v případě, kdy je matice f′′(x∗) pouze semidefinitní. Analogicky jako u funkce jedné proměnné (i když podstatně komplikovaněji) lze určit postačující podmínky pomocí definitnosti kubických a vyšších forem, které odpovídají diferenciálům vyšších řádů, viz [N2], str. 70.

 

O tom, jak rozhodnout o definitnosti kvadratické formy určené danou symetrickou maticí A, vypovídá následující věta.

Věta 6.4. i) Kvadratická forma P určená symetrickou maticí A = (aij),

 

n P(h) = 〈Ah, h〉 = ∑ aijhihj i,j=1

je pozitivně (negativně) definitní, právě když všechna vlastní čísla matice A jsou kladná (záporná). Forma P je pozitivně (negativně) semidefinitní, právě když všechna vlastní čísla jsou nezáporná (nekladná).

ii) Kvadratická forma P je pozitivně definitní, právě když jsou všechny hlavní minory matice A, tj. determinanty

∣ ∣ ∣ ∣ ∣∣a11 a12 a13∣∣ ∣∣a11 a12 ... a1n∣∣ ∣∣a11∣∣, ∣∣a11 a12∣∣, ∣∣a21 a22 a23∣∣,...,∣∣a21 a22 ... a2n∣∣ = det A ∣a21 a22∣ ∣∣a31 a32 a33∣∣ ∣∣...................∣∣ ∣an1 an2 ... ann∣
kladné. Kvadratická forma P je negativně definitní, právě když hlavní minory střídají znaménko, počínajíc záporným.

 

Příklad 6.5. Určete lokální extrémy funkce u  = x + y2 4x + z2 y + 2 z ležící v prvním oktantu, tj. x > 0,y > 0,z  > 0.

Řešení. Nejprve určíme stacionární body, tj. derivujeme a řešíme soustavu rovnic

u′x = 1 −-y2 4x2 = 0 ⇒ 4x2 − y2 = 0,
u′y = y-- 2x −z2 y2 = 0 ⇒ y3 − 2xz2 = 0,
u′z = 2z y- − 2 z2 = 0 ⇒ z3 − y = 0.
Z první rovnice plyne y = ±2x, a protože hledáme pouze kladné řešení, uvažujeme pouze případ y = 2x. Dosazením do druhé rovnice dostáváme 2x(4x2 −z2) = 0, odtud z = 2x (případ z = −2x opět neuvažujeme). Dosazením do třetí rovnice obdržíme 8x3 − 2x = 0 a tato rovnice má kladné řešení x = 1 2, tedy na množině x > 0,y > 0,z  > 0 má soustava rovnic jediné řešení B = [1 2,1,1]. Vypočteme druhé derivace
y2- -1- 2z2 2- 4- uxx = 2x3 , uyy = 2x + y3 , uzz = y + z3, y 2z uxy = 2x2 , uxz = 0, uyz = −y2
a v bodě B = [1 2,1,1] : uxx = 4,uyy = 3,uzz = 6,uxy = 2, uxz = 0,uyz = −2. Dále použijeme Větu 6.3. Pro bod B = [1 2,1,1] je
du2 = 4dx2 + 3dy2 + 6dz2 + 2dxdy − 2dydz.
Tato forma je pozitivně definitní, neboť matice této formy je
( ) 4 1 0 ( 1 3 − 1) 0 − 1 6
a její všechny tři hlavní minory jsou kladné, jak zjistíme snadným výpočtem. Celkově má daná funkce u v prvním oktantu jediný lokální extrém v bodě B = [1 2,1,1], kde nastává ostré lokální minimum.

 

6.2 Absolutní extrémy

Definice 6.4. Nechť f : ℝn → ℝ, M ⊂ 𝒟(f). Řekneme, že bod x∗∈ M je bodem absolutního minima (maxima) funkce f na M, jestliže f(x∗) ≤ f(x) (f(x∗) ≥ f(x)) pro každé x ∈ M. Jsou-li nerovnosti pro x≠x∗ ostré, mluvíme o ostrých absolutních extrémech. Místo termínu absolutní extrém se často používá pojem globální extrém.

 

Připomeňme, že spojitá funkce jedné proměnné na uzavřeném a ohraničeném intervalu nabývá své největší a nejmenší hodnoty buď v bodě lokálního extrému ležícím uvnitř intervalu, nebo v jednom z krajních bodů. Pro funkce více proměnných je situace podobná.

Věta 6.5. Nechť M ⊂ ℝn je kompaktní množina (tj. uzavřená a ohraničená) a funkce f : M → ℝ je spojitá na M. Pak f nabývá svých absolutních extrémů buď v bodech lokálního extrému ležících uvnitř M, nebo v některém hraničním bodě.

 

Důkaz. Tvrzení o existenci absolutních extrémů plyne ihned z Weierstrassovy věty (Věta 2.10 ). Zbývající tvrzení je triviální, neboť bod absolutního extrému, který není hraničním bodem (tj. je vnitřním bodem M), musí být i lokálním extrémem. □

 

Předchozí věta dává praktický návod jak hledat absolutní extrémy diferencovatelných funkcí (s takovými se v praktických situacích setkáváme nejčastěji) na kompaktních množinách. Najdeme stacionární body ležící uvnitř množiny a pak vyšetříme danou funkci na hranici množiny. Vyšetření funkce na hranici množiny M ⊂ ℝn je obecně poměrně složitý problém a pojednává o něm devátá kapitola. Pro funkce dvou proměnných je však situace poměrně jednoduchá. V tomto případě jsou velmi často hranice nebo její části tvořeny grafy funkcí jedné proměnné. Vyšetřit funkci na hranici pak znamená dosadit rovnici křivky, která tvoří část hranice, do funkce, jejíž extrémy hledáme, a vyšetřovat extrémy vzniklé funkce jedné proměnné. Tento postup je nejlépe srozumitelný na následujících příkladech.

Příklad 6.6. i) Určete nejmenší a největší hodnotu funkce z = f(x,y) = xy − x2 − y2 + x + y v trojúhelníku tvořeném souřadnými osami a tečnou ke grafu funkce y = 4 x v bodě [2,2].

Řešení. Nejprve určeme rovnici tečny ke grafu funkce y = -4 x. Platí y′ = −4- x2, tj. rovnice tečny je y−2 = −4 4(x−2) = −x+2. Tedy množinou M, na níž hledáme absolutní extrémy, je množina

M = {[x, y] ∈ ℝ2 : x ≥ 0,y ≥ 0,y ≤ 4 − x}.
Určíme stacionární body funkce z
zx = y − 2x + 1 = 0, zy = x− 2y + 1 = 0,
odkud dostáváme stacionární bod [x,y] = [1,1] ∈ M.

Nyní vyšetřeme funkci f na hranici množiny M, která se skládá z úseček

 

I. y = 0, x ∈ [0,4] II. x = 0, y ∈ [0,4] III. y = 4 − x, x ∈ [0,4].

I. y = 0, x ∈ [0,4]. Dosazením dostáváme u = f(x,0) = −x2 + x a hledáme absolutní extrémy této funkce jedné proměnné pro x ∈ [0,4]. Platí u′(x) = −2x + 1 = 0, odtud x = 12. Funkční hodnoty ve stacionárním bodě a v krajních bodech intervalu jsou u(1 2) = 1 4, u(0) = 0, u(4) = 12.

II. x = 0, y ∈ [0,4]. Dosazením dostáváme v = f(0,y) = −y2 + y a stejně jako v části I v(0) = 0, v(4) = −12, v(1 2) = 1 4.

III. y = 4 − x, x ∈ [0,4]. Dosazením dostáváme w = f(x,4 − x) = x(4 − x) − x2 − (4 − y)2 + x + 4 − x = −3x2 + 12x − 12. Platí w′(x) = −6x + 12 = 0, odtud x = 2, w(2) = 0. V krajních bodech w(0) = −12,w(4) = −12.

Porovnáním funkčních hodnot funkce f na hranici (tj. hodnot funkcí u,v,w v jejich stacionárních bodech a v krajních bodech intervalů, kde tyto funkce vyšetřujeme) s funkční hodnotou funkce f v jediném stacionárním bodě [1,1] vidíme, že

fmin = −12 pro [x,y] = [0,4] a [x,y] = [4,0],
fmax = 1    pro [x,y] = [1,1].

Závěrem poznamenejme, že algebraické úpravy spojené s vyjádřením funkce f na hranici bývají nejčastějším zdrojem numerických chyb. Máme však k dispozici poměrně dobrou průběžnou kontrolu. V bodě [x,y] = [4,0] se stýkají části hranice I a III, a tedy funkce u z I musí pro x = 4 nabývat stejné funkční hodnoty jako funkce w z III v x = 4. V našem případě je u(4) = −12 = w(4). Podobně v bodě [0,0] se stýkají části I a II a v bodě [0,4] části II a III. Také v těchto bodech průběžná kontrola vychází, neboť u(0) = 0 = v(0) a w(0) = v(4) = −12. Doporučujeme čtenáři tuto kontrolu vždy provést, neboť značně minimalizuje možnost šíření numerické chyby ve výpočtu.

ii) Určete nejmenší a největší hodnotu funkce z = (2x2 + 3y2)e−x2−y2 na množině M = {[x,y] ∈ ℝ2 : x2 + y2 ≤ 4}.

Řešení. Nejprve určíme stacionární body ležící uvnitř množiny M, kterou je kruh o poloměru 2. Vypočteme parciální derivace

zx = 4xe−x2−y2 − 2x(2x2 + 3y2)e−x2−y2 = −2xe−x2−y2 [ 2 2 ] 2x + 3y − 2,
zy = 6ye−x2−y2 − 2y(2x2 + 3y2)e−x2−y2 = −2ye−x2−y2 [ ] 2x2 + 3y2 − 3
a položíme je rovny nule:
xe−x2−y2 [ 2 2 ] 2x + 3y − 2 = 0,
ye−x2−y2 [ ] 2x2 + 3y2 − 3 = 0.
Odtud dostáváme 4 možnosti:
A) x = 0 = y ⇒ f(0,0) = 0.
B) x = 0, 3y2 = 3 ⇒ y = ±1, f(0,±1) = 3e−1.
C) y = 0, 2x2 = 2 ⇒ x = ±1, f(±1,0) = 2e−1.
D) 2x2 + 3y2 − 2 = 0 a 2x2 + 3y2 − 3 = 0 – tento systém nemá řešení.

Nyní vyšetřeme funkci f na hranici množiny M. Tu si rozdělíme na dvě části, horní a dolní půlkružnici.
I. y = √ -----2 4− x, x ∈ [−2,2], u = f(x,√-----2 4 − x) = (2x2 +3(4−x2))e−4 = (12−x2)e−4. Najdeme největší a nejmenší hodnotu funkce u na intervalu [−2,2]. Těchto extremálních hodnot je dosaženo buď v lokálním extrému uvnitř intervalu [−2,2], nebo v některém z krajních bodů x = ±2. Platí u′ = −2xe−4 = 0 ⇒ x = 0. Odtud u(0) = e−4, u(±2) = 8e−4.
II. y = −√4-−-x2, x ∈ [−2,2]. Zde je situace zcela stejná jako pro I, neboť f(x,−y) = f(x,y).

Porovnáním všech vypočtených hodnot vidíme, že

fmax = 3e−1,  pro [x,y] = [0,±1],
fmin = 0,        pro [x,y] = [0,0].
Graf vyšetřované funkce je znázorněn na obr. 14.13 a 14.14 ; zde lze ověřit, že všechny stacionární body leží uvnitř kruhu M.

iii) Je dán drát délky l, tento drát je rozdělen na tři části. Z jedné je vytvořen kruh, z druhé čtverec a ze zbylé rovnostranný trojúhelník. Určete délky jednotlivých částí tak, aby plocha omezená těmito obrazci byla minimální, resp. maximální.

Řešení. Označíme-li x délku strany čtverce, y poloměr kruhu a z délku strany trojúhelníka, platí 4x + 2py + 3z = l, odtud z = l−4x−2py 3. Pro součet obsahů čtverce, kruhu a trojúhelníka platí

√3-- 1 P = x2 + py2 +---z2 = x2 + py2 + --√--(l − 4x − 2py)2 4 12 3
a hledáme absolutní extrémy této funkce na množině M = {[x,y] :  x,y ≥ 0, 4x + 2py ≤ l}. Nejprve vypočteme parciální derivace a stacionární body:
Px = 2x − --8√--(l− 4x− 2py) = 0, Py = 2py − --4p√--(l− 4x − 2py) = 0. 12 3 12 3
Odtud
x = -----l---√--, y = ------l--√--- 4 + p + 3 3 8+ 2p + 6 3
a funkční hodnota v tomto stacionárním bodě je
l2 P(x,y) = 4(4+-p-+-3√3)-.

Nyní vyšetřeme funkci P na hranici množiny M.

I. y = 0,x ∈ [0,l 4], označme ϕ(x) = P(x,0) = x2 + --1- 12√3(l − 4x)2. Pak ϕ(0) = -l√2- 12 3, ϕ(l 4) = l2- 16, ϕ′(x) = 2x −-8√- 12 3(l − 4x) = 0, tj. x=--l-- 4+√3, ϕ(x) = ---l2---- 4(4+3√3).

II. x = 0,y ∈ [0,l2p-], označme ψ(y) = P(0,y) = py2 + 121√3(l − 2py)2. Platí ψ(0) = -l2√- 12 3, ψ(-l 2p) = l2 4p, ψ′(y) = 2py −-2√p- 3 3(l − 2py) = 0  ⇒ y = 2(p+l3√3), ψ(y) = 2 4(3l√3+p).

III. y = l−24px, x ∈ [0,l4], označme ω(x) = P(x,l−2p4x-) = x2 + 14p(l − 4x)2. ω(0) = -l2 4p, ω(l 4) = l2 16, ω′(x) = 2x −-2 p(l − 4x) = 0  ⇒ x = -l-- 4+p, ω(x) = --l2--- 4(4+p).

Porovnáním všech vypočtených hodnot zjistíme, že největší obsah dostaneme, jestliže celý drát stočíme do kružnice, tj.

2 [ ] Pmax = -l- pro [x,y] = 0,-l- , 4p 2p
a nejmenší obsah Pmin = P(x,y) = ----l2-√-- 4(4+p+3 3), jestliže jej rozdělíme takto:
část na čtverec…  4x = -----4l----- 4 + p + 3√3--,
část na kruh…  2py = ----pl--√--- 4+ p + 3 3,
část na trojúhelník…  3z = √ -- 3 3l ---------√--- 4 + p + 3 3.

Na závěr této kapitoly si ještě ukažme metodu, jak lze řešit úlohy na absolutní extrémy v některých speciálních případech, např. umíme-li sestrojit vrstevnice funkce, jejíž extrémy hledáme, a pokud množina, kde tyto extrémy hledáme, je „dostatečně jednoduchá“. Celý postup je nejlépe srozumitelný na příkladech.

Příklad 6.7. i) Najděte nejmenší a největší hodnotu funkce f(x,y) = x2 − 4x + y2 − 4y + 10 na množině M :  x2 + y2 ≤ 1.

Řešení. Platí f(x,y) = (x − 2)2 + (y − 2)2 + 2. Protože konstanta 2 nemá vliv na to, v kterém bodě nastává absolutní minimum a maximum (má vliv pouze na hodnotu těchto extrémů), stačí najít absolutní extrémy funkce g(x,y) = (x−2)2+(y−2)2. Tato funkce však udává druhou mocninu vzdálenosti bodu [x,y] od bodu [2,2]. Úlohu proto můžeme přeformulovat takto:

V jednotkovém kruhu najděte bod, který je nejblíže a nejdále od bodu [2,2].

Geometricky je nyní řešení úlohy zřejmé. Sestrojíme přímku y = x spojující počátek s bodem [2,2]. Průsečíky této přímky s kružnicí x2 + y2 = 1 jsou řešením naší úlohy, tj. 2x2 = 1, odkud x = ±1√2-. Minimum nastává v bodě [√1- 2,1√-- 2] a maximum v bodě [−1√-- 2,−√1- 2] a extremální hodnoty jsou fmin = 11−4√ -- 2, fmax = 11+4√-- 2. Všimněme si také, že průsečíky přímky y = x s jednotkovou kružnicí jsou body, kde jednotková kružnice a vrstevnice funkce f – soustředné kružnice se středem [2,2] – mají společnou tečnu.

ii) Najděte nejmenší a největší hodnotu funkce f(x,y) = x−y na množině M :  x2 + y2 ≤ 1.

 

PICT

obr. 6.2:
PICT

obr. 6.3:

Řešení. Vrstevnice funkce f jsou přímky načrtnuté na obrázku 6.2 . Nutnou podmínkou (a zde i dostatečnou) pro to, aby hodnota c ∈ ℝ byla hodnotou absolutního maxima, resp. minima funkce f je, že přímka x − y = c je tečnou ke kružnici x2 + y2 = 1. Vskutku, pokud přímka x − y = c kružnici protne, znamená to, že pro c dostatečně blízká c protne kružnici i přímka x − y = c. To však znamená, že funkce x − y nabývá na M hodnot jak větších než c (pro c > c), tak menších než c (pro c < c). Jestliže přímka x − y = c kružnici vůbec neprotne, znamená to, že tyto body neleží v M, a tedy nepřipadají v úvahu. Zbývá tedy pouze možnost, že přímka x − y = c je tečnou.

Z obrázku je nyní zřejmé, že maximum nastane v bodě [√12-,−1√2-], jeho hodnota je √2--, a minimum je v bodě [−√1- 2,1√-- 2], jeho hodnota je −√2--.

iii) Najděte nejmenší a největší hodnotu funkce f(x,y) = xy na množině M :  ∣x∣ + ∣y∣≤ 1.

Řešení. Množina M a vrstevnice funkce f jsou načrtnuty na obrázku 6.3 (vrstevnicemi jsou grafy funkcí xy = c, tj. rovnoosé hyperboly y = -c x). Stejnou úvahou jako v předchozím příkladu zjistíme, že funkce nabývá absolutního maxima fmax = 1 4 v bodech [±1 2,±1 2] a absolutního minima fmin = −1 4 v bodech [±1 2,∓1 2].

 

Cvičení PIC

6.1.  Najděte lokální extrémy funkcí:

  • z = x2 + y2 − xy − 2x + y
  • z = xy(4 − x − y)
  • z = 4(x − y) − x2 − y2
  • z = xy + 50 x + 20 y
  • z = x2 + xy + y2 − lnx − lny
  • z = x − 2y + ln∘ -2----2 x + y + 3arctg y x
  • z = y√ ----- 1 + x + x√----- 1 + y
  • u = x3 + y2 + z2 + 12xy + 2z
  • u = x + y2 4x + z2 -y + 2 z, x,y,z > 0
  • z = x2 + xy + y2 + a3 x- + a3 -y

 

6.2.  Udejte příklad funkce f : ℝ2 → ℝ2 splňující uvedené podmínky:

 

6.3.  Pomocí vrstevnic funkce f určete její nejmenší a největší hodnotu na množině M:

 

6.4.  Určete nejmenší a největší hodnotu funkce f na množině M:

 

6.5.  Určete absolutní extrémy funkce f na množině M:

 

 

∗

Věčným zázrakem světa je jeho pochopitelnost…
To, že je svět pochopitelný, je zázrak. (A. Einstein)

∗

1Pierre de Fermat (1601–1665), francouzský matematik

2Christian Huyghens (1629–1695), nizozemský matematik a fyzik

[Další] [Předchozí] [Předchozí – na konec] [Na začátek] [Výše]