[Další] [Předchozí] [Předchozí – na konec] [Na konec] [Výše]

Kapitola 7
Zobrazení mezi prostory vyšších dimenzí

V této kapitole využijeme výsledků předcházejících částí ke studiu vlastností zobrazení mezi prostory vyšších dimenzí. Výsledky, které zde odvodíme, hrají důležitou roli mj. v teorii integrálu funkcí více proměnných, a to při důkazu věty o substituci ve vícerozměrném integrálu, viz [R2].

7.1 Zobrazení z ℝ2 do ℝ2

Definice 7.1. Nechť jsou dány funkce f,g dvou proměnných a 𝒟 = 𝒟(f) ∩𝒟(g). Dále nechť zobrazení F : 𝒟→ ℝ2 je dáno předpisem

[x,y]↦−F→ [f(x,y),g(x,y)].
Pak řekneme, že zobrazení F je určeno funkcemi f,g, tyto funkce nazýváme složky nebo také souřadnicové funkce zobrazení F a píšeme F = {f,g}.

 

Příklad 7.1. Vypište složky zobrazení pro stejnolehlost se středem v počátku soustavy souřadnic, otočení o úhel ϕ a pro kruhovou inverzi určenou jednotkovou kružnicí.

Řešení. i) Stejnolehlost se středem v počátku. Je-li k koeficient stejnolehlosti, pak

F [x,y]↦−→ [kx,ky].

ii) Otočení o úhel ϕ ∈ [0, p] v kladném smyslu. Pro odchylku ψ dvou přímek procházejících počátkem a bodem [x1,y1], resp. [x2,y2] platí

cosψ = ∘--∣x1x2 +∘y1y2∣-- x21 + y21 x22 + y22
(kosinus úhlu je roven podílu skalárního součinu a součinu velikostí vektorů určených počátkem a body [x1,y1], resp. [x2,y2]). Proto zobrazení F, které bodu [x,y] přiřadí bod otočením o úhel ϕ kolem počátku v kladném smyslu (tj. proti směru otáčení hodinových ručiček), je tvaru
F [x,y]↦−→ [xcosϕ − ysin ϕ,xsinϕ + ycosϕ].

iii) Kruhová inverze určená jednotkovou kružnicí. Při tomto zobrazení je bodu [x,y] přiřazen bod [u,v] ležící na polopřímce určené počátkem a bodem [x,y] s vlastností, že součin vzdáleností bodů [x,y] a [u,v] od počátku je roven 1. Protože [x,y] a [u,v] leží na stejné polopřímce, existuje reálné α > 0 takové, že u = αx, v = αy. Z podmínky na vzdálenost bodů [x,y] [u,v] od počátku dostáváme ∘ ------- x2 +y2√ ------- u2 + v2 = α(x2 + y2) = 1, odtud α = (x2 + y2)−1. Toto zobrazení je proto tvaru

[x,y]↦−F→ [--x---,---y--]. x2 + y2 x2 + y2

 

Příklad 7.2. Zobrazení množiny komplexních čísel do sebe lze chápat také jako zobrazení z ℝ2 do ℝ2. Například zobrazení, které komplexnímu číslu z = x + iy přiřadí jeho druhou mocninu z2, definuje zobrazení

F [x,y]↦−→ [x2 − y2,2xy],
neboť z2 = (x + iy)2 = x2 − y2 + 2ixy.

 

Definice 7.2. Řekneme, že zobrazení F = {f,g} z ℝ2 do ℝ2 je spojité v bodě [x0,y0], jsou-li funkce f,g spojité v [x0,y0].

Řekneme, že F je diferencovatelné v bodě [x0,y0], jestliže každá z funkcí f,g je diferencovatelná v bodě [x0,y0]. Zobrazení dF(x0,y0) : ℝ2 → ℝ2 dané předpisem

dF [h,k]↦−→ [df(x0,y0)(h,k),dg(x0y0)(h,k)] = = [fx(x0,y0)h + fy(x0,y0)k,gx(x0,y0)h+ gy(x0,y0)k]
nazýváme diferenciál zobrazení F v bodě [x0,y0] a značíme dF(x0,y0)

 

Podle této definice je tedy diferenciál zobrazení F lineární zobrazení z ℝ2 do ℝ2. Protože z lineární algebry víme, že každé lineární zobrazení mezi konečně dimenzionálními prostory lze reprezentovat vhodnou maticí, dostáváme se k následující definici.

Definice 7.3. Nechť zobrazení F = {f,g} z ℝ2 do ℝ2 je diferencovatelné v bodě [x0,y0]. Matici typu 2 × 2

( ) F′(x0,y0) = fx(x0,y0) fy(x0,y0) gx(x0,y0) gy(x0,y0)
(7.1)

nazýváme Jacobiho matice zobrazení F v bodě [x0,y0], determinant této matice nazýváme jacobián zobrazení F v bodě [x0,y0].

 

Nejprve odvodíme vzorec pro diferenciál složeného zobrazení. Je zcela analogický vztahu pro derivaci složené funkce jedné proměnné, stačí „zapomenout“, že místo zobrazení mezi jednodimenzionálními prostory se jedná o vícerozměrná zobrazení.

Věta 7.1. Nechť F = {f1,f2}, G = {g1,g2} jsou zobrazení z ℝ2 do ℝ2. Pak pro Jacobiho1 matici složeného zobrazení H = F ∘ G platí

H ′(x,y) = F′(u,v)G′(x,y),
(7.2)

kde [u,v] = G(x,y), tj. u = g1(x,y), v = g2(x,y). Pro jejich jacobiány dostáváme detH′(x,y) = detF′(u,v)detG′(x,y).

 

Důkaz. Nechť h1,h2 jsou souřadnicové funkce zobrazení H, tj.

h1(x,y) = f1(g1(x,y),g2(x,y)), h2(x,y) = f2(g1(x,y),g2(x,y)).
(7.3)

Aplikací Věty 5.1 dostáváme

-∂-h1(x,y) = ∂-f1(u,v) ∂-g1(x,y)+ ∂-f1(u,v) ∂-g2(x,y) ∂x ∂u ∂x ∂v ∂x
(7.4)

a podle Definice 7.3

( ) ( ) ′ ∂∂f1u (u,v) ∂∂fv1(u,v) ′ ∂g∂1x (x,y) ∂g∂1y (x,y) F (u,v) = ∂f2- ∂f2 ,G (x,y) = ∂g2 ∂g2- . ∂u (u,v) ∂v (u,v) ∂x (x,y) ∂y (x,y)
Vynásobíme-li tyto dvě matice, vidíme, že prvek nacházející se vlevo nahoře je právě roven ∂h1- ∂x(x,y), kde h1 je dáno v (7.3 ). Stejným způsobem ověříme, že i ostatní prvky součinu matic F′⋅G′ jsou totožné s výrazy pro prvky matice H získané pomocí  (7.2 ), čímž je rovnost (7.2 ) dokázána. Vzorec pro jacobiány plyne z faktu, že determinant součinu dvou matic je roven součinu determinantů. □

 

V diferenciálním počtu funkcí jedné proměnné jsme vyšetřovali lokální vlastnosti funkce (tj. v okolí daného bodu) pomocí derivace funkce v tomto bodě (což je pro funkci jedné proměnné v podstatě ekvivalentní diferenciálu této funkce, neboť funkce f : ℝ → ℝ je v nějakém bodě diferencovatelná, právě když zde existuje konečná derivace f′). Podobně budeme postupovat v případě zobrazení mezi prostory vyšších dimenzí.

Věta 7.2. Předpokládejme, že složky zobrazení F = {f,g} : ℝ2 → ℝ2 mají v bodě [x0,y0] spojité parciální derivace prvního řádu a Jacobiho matice F′(x0,y0) je regulární, tj. detF′(x0,y0)≠0. Pak existuje okolí 𝒰 bodu [x0,y0], v němž je zobrazení F prosté, a pro Jacobiho matici inverzního zobrazení F−1 v bodě [u0,v0] = F(x0,y0) platí

(F −1)′(u0,v0) = [F ′(x0,y0)]−1.
(7.5)

 

 

Důkaz. Tvrzení zde nebudeme dokazovat se všemi podrobnostmi (detailní důkaz je proveden v [R1]). Zdůrazněme zde pouze hlavní myšlenku důkazu. Diferenciál dF(x0,y0) zobrazení F : ℝ2 → ℝ2 je nejlepší lineární aproximace F v okolí bodu [x0,y0]. Je-li zobrazení dF(x0,y0) prosté – to nastane, právě když je jeho matice F′(x0,y0) regulární – je v jistém okolí bodu [x0,y0] prosté i samo zobrazení F.

Vztah (7.5 ) dokážeme takto: Z definice inverzního zobrazení je F−1(F(x,y)) = [x,y]. Položme [u,v] = F(x,y). Ze vztahu pro Jacobiho matici složeného zobrazení plyne (F−1)′(u,v)F′(x,y) = E – jednotková matice (neboť Jacobiho matice identického zobrazení je jednotková matice) a odtud (F−1)′(u,v) = [F′(x,y)]−1. □

 

Příklad 7.3. i) Rozhodněte, zda zobrazení F = {f,g} : ℝ2 → ℝ2 se souřadnicovými funkcemi f(x,y) = xy, g(x,y) = xy je prosté v okolí bodu [x,y] = [2,1]. Pokud ano, určete Jacobiho matici inverzního zobrazení v bodě [u,v] = F(2,1).

Řešení. Jacobiho matice zobrazení F je

( ) ( ) F′(x,y) = fx(x,y) fy(x,y) = y x gx(x,y) gy(x,y) 1y − xy2-
a pro bod [x,y] = [2,1] je detF′(2,1) = −4, tedy F je prosté v jistém okolí bodu [2,1]. Pro Jacobiho matici inverzního zobrazení F−1 v bodě [2,2] = F(2,1) platí
( ) −1 ( ) (F −1)′(2,2) = [F ′(2,1)]−1 = 1 2 = 12 12 . 1 − 2 14 − 14

ii) Určete Jacobiho matici zobrazení F : ℝ2 → ℝ2, které je složením kruhové inverze, jejíž řídicí kružnice je jednotková, a otočení o úhel p2 v kladném smyslu, přičemž nejprve se provádí kruhová inverze.

Řešení. Kruhová inverze přiřadí bodu [x,y] bod [--x-- x2+y2,--y-- x2+y2] a otočení o úhel p 2 v kladném smyslu přiřadí bodu [x,y] bod [−y,x], viz příklad 7.1. Složené zobrazení tedy přiřadí bodu [x,y] bod [−--y-- x2+y2,--x-- x2+y2]. Jacobiho matice tohoto zobrazení je

( ( y ) ( y ) ) ( 2 2 ) ′ ( ∂∂x −( x2+y2) ∂∂y −( x2+y2) ) (x22x+yy2)2 (xy2−+yx2)2- F (x,y) = -∂ -2x-2 -∂ -2x-2 = -y22−x222 − -22xy2-- . ∂x x +y ∂y x +y (x +y) (x +y )2

 

Poznámka 7.1. i) Jacobiho matici inverzního zobrazení v Příkladu 7.3, část i) můžeme vypočíst také přímo – prostřednictvím explicitního vyjádření inverzního zobrazení k F. Vypočteme-li z rovnic u = xy, v = x y proměnné x a y pomocí u a v, dostáváme

-- √ --- ∘ u x = ± uv, y = ± v-,
a vzhledem k tomu, že hledáme inverzní zobrazení v okolí bodu [1,1], bereme v obou rovnicích +. Pak
( ∂ ∂ ) (1-∘ v- 1∘-u ) (F− 1)′(u,v) = ∂u∂x ∂v∂x = 2 1u 21∘ vu-- . ∂uy ∂v-y 2√uv − 2 v3
Dosadíme-li sem [u,v] = F(2,1) = [2,2], dostáváme vskutku stejný výsledek jako v Příkladu 7.3.

ii) Ze skutečnosti, že detF′(x0,y0) = 0 pro nějaké zobrazení F : ℝ2 → ℝ2 ještě neplyne, že F není prosté v okolí bodu [x0,y0], tj. podmínka detF′(x0,y0)≠0 je pouze dostatečná, nikoliv nutná pro to, aby zobrazení F bylo prosté v okolí bodu [x0,y0]. Například zobrazení F dané předpisem

F [x,y]↦−→ [x3,y3]
zobrazuje prostě ℝ2 na ℝ2, přestože detF′(0,0) = 0.

 

 

7.2 Zobrazení z ℝn do ℝm

Pro zobrazení mezi prostory dimenzí vyšších než dvě je situace zcela analogická. Jsou-li n,m ∈ ℕ a f1,…,fm : ℝn → ℝ, pak přiřazení

F [x1,...,xn]↦−→ [f1(x1,...,xn),...,fm(x1,...,xn)]
definuje zobrazení F : ℝn → ℝm. Funkce f1,…,fm se nazývají složky nebo souřadnicové funkce zobrazení F. Jsou-li všechny složky spojité v bodě x∗, řekneme, že F je spojité v bodě x∗. Jsou-li f1,…,fn diferencovatelné v bodě x∗∈ ℝn, řekneme, že zobrazení F je diferencovatelné v bodě x∗. Jeho diferenciál dF(x∗) definujeme jako lineární zobrazení z ℝn do ℝm dané předpisem
dF h = [h1,...,hn]↦−→ [df1(x∗)(h),...,dfm(x ∗)(h)],
kde df1(x∗),…,dfm(x∗) jsou diferenciály souřadnicových funkcí v bodě x∗, tj.
n df (x∗)(h) = df(x∗)(h ,...,h ) = ∑ ∂fk(x∗)h . k k 1 n i=1 ∂xi i
Matice tohoto lineárního zobrazení (je to matice typu m × n)
( ∂f1(x∗) ... ∂f1(x∗)) ′ ∗ | ∂x1. ∂xn. | F (x ) = ( .. .. ) ∂∂fxm1 (x∗) ... ∂∂fxmn(x∗)
(7.6)

se nazývá Jacobiho matice nebo také derivace zobrazení F a v případě n = m se její determinant nazývá jacobián zobrazení F v bodě x∗. V některé starší literatuře se jacobián značí

D(f1,...,fn)(x∗) nebo ∂(f1,...,fn)(x∗). D(x1,...,xn) ∂(x1,...,xn)

Věta 7.3. Nechť zobrazení G : ℝn → ℝm je diferencovatelné v bodě x∗∈ ℝn a zobrazení F : ℝm → ℝk je diferencovatelné v bodě y∗ = G(x∗). Pak složené zobrazení H = F ∘ G : ℝn → ℝk je diferencovatelné v bodě x∗ a platí

H′(x∗) = F′(y∗)G ′(x∗) = F ′(G(x∗))G′(x ∗).
(7.7)

Je-li n = m a detG′(x∗)≠0, existuje okolí bodu x∗, v němž je zobrazení G prosté, tj. existuje zde inverzní zobrazení G−1 a pro jeho Jacobiho matici v bodě y∗ = G(x∗) platí

−1′ ∗ ′ ∗ − 1 (G )(y ) = [G (x )] .
(7.8)

 

 

Poznámka 7.2. Vzorce (7.7 ) a (7.8) pro Jacobiho matici složeného zobrazení a Jacobiho matici inverzního zobrazení jsou formálně zcela stejné jako vzorce pro derivaci složené a inverzní funkce jedné proměnné, zde však musíme dávat pozor na pořadí obou činitelů, neboť násobení matic není komutativní operace. Matice F′ je typu k × m, G′ je typu m × n, násobení těchto matic je tedy možné pouze v pořadí uvedeném v (7.7 ) (tímto způsobem se také pořadí činitelů nejlépe pamatuje).

 

Příklad 7.4. Vypočtěte Jacobiho matici zobrazení F : ℝ3 → ℝ3, které bodu [x,y,z] přiřadí jeho sférické souřadnice

∘ ----------- ∘ -2---2- [x,y,z]↦−F→ [ x2 + y2 + z2,arctg y,arctg-x-+-y-]. x z
Řešení. Podle (7.6 ) platí
F′(x,y,z) = ( ∘ ----------- ∘----------- ∘ ----------) ∂∂x x2 + y2 + z2 ∂∂y x2 + y2 + z2 ∂∂z x2 + y2 +z2 |( ∂-arctg y -∂ arctg y ∂-arctg y |) ∂ ∂x √xx2+y2 ∂ ∂y √x2x+y2- ∂ ∂z √xx2+y2 ∂x arctg --z--- ∂y arctg--z-- ∂z arctg --z--- =
= ( √-2-x2--2 √--2y2--2- √-2-z2-2-) | x +yy-+z x+yx-+z x +y +z | |( − x2+y2 x2+y2 √02--2 |) -2--2-xz2√--2-2- -2--2-y2z√-2--2- − (x2x+y+2+yz2)- (x+y +z ) x+y (x +y+z ) x +y.

ii) Jak jsme již poznamenali v Příkladu 7.2, zobrazení F : ℂ → ℂ množiny komplexních čísel do sebe můžeme chápat jako zobrazení z ℝ2 do ℝ2, které komplexnímu číslu z = x + iy přiřadí číslo F(z) = f(x,y) + ig(x,y), kde f,g jsou reálné funkce dvou proměnných. Podobně jako v reálném oboru definujeme derivaci komplexní funkce F v čísle z0 = x0 + iy0 vztahem

F(z)− F (z ) F′(z0) = lz→imz ---------0-, 0 z − z0
přičemž limita komplexní funkce v tomto vztahu se chápe zcela analogicky jako v reálném oboru a znamená, že ke každému ɛ > 0 existuje δ > 0 takové, že pro všechna z splňující 0 < ∣z − z0∣ < δ platí
∣∣F (z)− F(z0) ′ ∣∣ ∣∣--z-−-z--- − F (z0)∣∣ < ɛ. 0
Dokažte toto tvrzení: Nechť funkce f,g jsou diferencovatelné v bodě [x0,y0]. Pak komplexní funkce F má v bodě z0 = x0 + iy0 derivaci, právě když platí tzv. Cauchyovy-Riemannovy2 podmínky
∂f ∂g ∂f ∂g --(x0,y0) = --(x0,y0), ---(x0,y0) = −--(x0,y0). ∂x ∂y ∂y ∂x

Řešení. Označme F′(z0) = A + iB. Z diferencovatelnosti funkcí f,g v bodě [x0,y0] plyne

0 = lim F-(z)-− F-(z0) − F′(z ) = z→z0 z − z0 0 f-(x,y)+-ig(x,y)−-[f(x0,y0)+-ig(x0,y0)] = (x,y)li→m(x0,y0) (x − x0)+ i(y − y0) − (A + iB) = f(x,y)− f(x ,y )− A(x − x )+ B(y − y ) = lim -----------0-0----------0---------0-+ (x,y)→(x0,y0) (x − x0)+ i(y − y0) +i lim g(x,y)−-g(x0,y0)−-B(x-−-x0)−-A(y−-y0) = (x,y)→(x0,y0) (x − x0)+ i(y − y0) (fx(x0,y0)−-A)(x−-x0)+-(fy(x0,y0)+-B)(y-− y0) = (x,y)l→im(x0,y0) ∘(x-−-x0)2 +-(y−-y0)2 + +i lim (gx(x0,y0)-− B)∘(x-−-x0)+-(gy(x0,y0)−-A)(y−-y0). (x,y)→(x0,y0) (x− x0)2 + (y− y0)2
Odtud fx(x0,y0) = A = gy(x0,y0), fy (x0,y0) = −B = −gx(x0,y0).

 

7.3 Diferenciální operátory matematické fyziky

V odstavci 4.1 jsme uvedli, že ve fyzikální terminologii a také v některých odvětvích matematiky, např. v numerických metodách, se vektor parciálních derivací f′ funkce f nazývá gradient funkce a značí se gradf.

Zobrazení F : ℝ3 → ℝ3 se ve fyzikální terminologii nazývá vektorové pole. Lze je chápat jako zobrazení, které bodu o souřadnicí ch [x,y,z] přiřadí vektor s počátečním bodem v počátku a koncovým bodem

F (x,y,z) = [P (x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)],
kde P,Q,R jsou souřadnicové funkce. Důležitými fyzikálními charakteristikami vektorových polí jsou tzv. divergence vektorového pole
div F(x,z,y) = Px(x,y,z)+ Qy(x,y,z)+ Rz(x,y,z)
a rotace vektorového pole
rotF(x,z,y) = [Ry(x,y,z)− Qz(x,y,z), Pz(x,y,z)− Rx(x,y,z),Qx(x,y,z)− Py(x,y,z)]
(tedy divergence je skalární veličina a rotace je vektorová veličina).

Příklad 7.5. Vypočtěte divergenci a rotaci gravitačního pole vytvořené hmotným bodem o jednotkové hmotnosti umístěným v počátku souřadné soustavy.

Řešení. Z fyziky je známo, že dva hmotné body o hmotnostech m1,m2 se navzájem přitahuj í silou, jejíž velikost je ∣F∣ = κm1dm22-, kde κ = 6,67 ⋅ 10−11 Nm2/kg2 je Newtonova gravitační konstanta a d je vzdálenost bodů. Bod [x,y,z] s jednotkovou hmotností bude přitahován do počátku silou, jejíž směr je opačný než směr vektoru s počátkem v [0,0,0] a koncem v [x,y,z] a jehož velikost ∣F∣ je rovna κ(x2 + y2 + z2)−1. Tedy F(x,y,z) = −α[x,y,z] a hodnotu skaláru α určíme z podmínky pro velikost F, tj. α∘ ----------- x2 + y2 + z2 = κ(x2 + y2 + z2)−1, a tedy α = κ(x2 + y2 + z2)−3 2. Odtud

[ x y z ] F(x,y,z) = [P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)] = κ − r3,− r3,− r3 ,
kde r = ∘ -2---2---2- x + y + z. Nyní vypočteme všechny parciální derivace funkcí P,Q,R potřebné k určení div F a rotF.
( 2) ( 2) ( 2) Px = κ − -1 + 3x- , Qy = κ −-1 + 3y- , Rz = κ − 1-+ 3z- , r3 r5 r3 r5 r3 r5
odtud snadno ověříme, že pro [x,y,z]≠[0,0,0] je div F = 0. Podobně vypočteme
Py = Qx = κ3xy5-, Pz = Rx = κ3xz5 , Qz = Ry = κ3yz5 , r r r
a tedy i rotF = 0.

Manipulace s diferenciálními výrazy obsahujícími operátory rotace a divergence se podstatně usnadňuje zavedením tzv. Hamiltonova nabla operátoru ∇.3 Tento symbol je formálně definován jako vektorový operátor předpisem

( ) ∂-- ∂---∂- ∇ := ∂x , ∂y ,∂z ,
tj. jako operátor, který funkci f : ℝ3 → ℝ přiřazuje vektorové pole
( ) ∇f = ∂f-, ∂f, ∂f . ∂x ∂y ∂z
Toto je alternativní označení pro vektorové pole f′, které diferencovatelné funkci f přiřazuje její derivaci. Operátor ∇ lze s výhodou použít i při formalizaci operátorů divergence a rotace. Uvažujme nejprve případ divergenčního operátoru. Formálně můžeme aplikaci operátoru divergence na pole F zapsat takto:
〈( ) 〉 divF = 〈∇,F 〉 = ∂∂x, ∂∂y, ∂∂z ,(P,Q,R) = ∂P- ∂Q- ∂R- = ∂x + ∂y + ∂z.
(7.9)

Podobně můžeme formalizovat operátor rotace rot pomocí vektorového součinu takto:

( ) rotF = ∇ × F = ∂R- − ∂Q-, ∂P-− ∂R-, ∂Q-− ∂P . ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y
Připomeň me, že vektorový součin u × v dvou vektorů u = (u1,u2,u3), v = (v1,v2,v3) je definován jako vektor kolmý na lineární prostor generovaný dvojicí vektorů u,v, orientovaný podle pravidla pravé ruky, a délky
∣∣u× v∣∣ = ∣∣u∣∣⋅∣∣v∣∣ sin ϕ,
kde ϕ je úhel mezi vektory u,v. Konkrétně, souřadnice vektoru u × v jsou
u× v = (u2v3 − u3v2,u2v1 − u1v3,u1v2 − v1u2).
Zejména jsou-li vektory u,v lineárně závislé, pak u×v = 0. Proto pro složení operátorů rotace a gradientu platí
rotgradf = ∇ × ∇f = 0
pro libovolnou dostatečně hladkou funkci f. Podobně lze ukázat, že div rotF = 0 pro libovolné dostatečně hladké vektorové pole F. Poslední identita plyne z faktu, že skalární součin 〈u,u × v〉 = 0, neboť vektor u × v je kolmý na každý z vektorů u,v. Proto
divrotF = 〈∇,∇ × F〉 = 0.
Obě výše uvedené identity lze samozřejmě dokázat i přímým derivováním, jejich ověření tímto způsobem je však pracnější.

Na závěr této kapitoly připomeňme ještě pojem Laplaceova operátoru Δ, který je definován předpisem

2 2 2 Δ = -∂--+ -∂- + ∂--. ∂x2 ∂y2 ∂z2
Parciální diferenciální rovnice Δu = 0 se nazývá Laplaceova rovnice (viz závěr první části Kapitoly 5) a její řešení se nazývají harmonické funkce. Pomocí operátoru ∇ můžeme Laplaceův operátor definovat takto:
∂2u- ∂2u- ∂2u- Δu = divgradu = 〈∇,∇u 〉 = ∂x2 + ∂y2 + ∂z2.

Cvičení PIC

7.1.  Rozhodněte, zda zobrazení F = {f,g} je prosté v okolí bodu [x0,y0]. Pokud ano, určete Jacobiho matici inverzního zobrazení v bodě [u0,v0] = F(x0,y0).

 

7.2.  Určete souřadnicové funkce a Jacobiho matici uvedených zobrazení:
a) Osová souměrnost podle přímky p, jejíž rovnice je ax + by + c = 0.
b) Složení osové souměrnosti podle přímky y = x a projekce bodu na jednotkovou kružnici (bodu [x,y]≠[0,0] je přiřazen bod na jednotkové kružnici, který je průsečíkem kružnice s přímkou určenou počátkem a bodem [x,y]).
c) Bodu [x,y,z] ∈ ℝ3 je přiřazen bod ležící na rovníku kulové plochy se středem v počátku procházející bodem [x,y,z], přičemž přiřazený bod leží na stejném poledníku.
d) „Eliptická inverze v ℝ3“: Bodu [x,y,z] je přiřazen bod ležící na polopřímce určené počátkem a bodem [x,y,z], přičemž součin vzdálenosti vzoru a obrazu od počátku je roven vzdálenosti od počátku průsečíku jejich spojnice s elipsoidem 2 xa2 + 2 yb2- + 2 zc2 = 1.

7.3.  Je dána dvojice diferencovatelných funkcí R(r,ϕ),Φ(r,ϕ), která definuje funkci F : ℂ → ℂ předpisem

z = reiϕ → R(r,ϕ)eiΦ(r,ϕ).
Využitím výsledku Příkladu  7.4 ii) určete nutnou podmínku, aby F měla derivaci.

7.4.  Dokažte následují identity (buď přímým derivováním, nebo pomocí operátoru ∇). V těchto identitách f : ℝ3 → ℝ a F,G : ℝ3 → ℝ3.

 

 

∗

Důležité je nepřestat se ptát. Zvědavost existuje z dobrého důvodu. Nelze než žasnout, rozvažujeme-li o tajemstvích věčnosti, života a úžasného uspořádání věcí vezdejších. Stačí, když se člověk snaží každý den porozumět alespoň kousku tohoto tajemství. Nikdy neztrácejte zvědavost, tu posvátnou vlastnost. (A. Einstein)

∗

1Carl Jacobi (1804–1851), německý matematik

2Augustin Louis Cauchy (1789–1857), francouzský matematik, Bernhard Riemann (1826 až 1866), německý matematik, oba jsou považováni za spolutvůrce moderní matematiky.

3William Rowan Hamilton (1805–1865), irský matematik. Termín nabla operátor byl zaveden přímo Hamiltonem, nabla označuje starý hudební nástroj trojúhelníkového tvaru.

[Další] [Předchozí] [Předchozí – na konec] [Na začátek] [Výše]