PřF:F4260 Variační počet a jeho aplikace - Informace o předmětu

F4260 Variační počet a jeho aplikace

Rozsah

2/1/0. 3 kr. (plus ukončení). Ukončení: k.

Vyučující

Mgr. Michael Krbek, Ph.D. (přednášející)
Mgr. Michael Krbek, Ph.D. (cvičící)

Garance

Mgr. Michael Krbek, Ph.D.
Ústav teoretické fyziky a astrofyziky – Fyzikální sekce – Přírodovědecká fakulta
Kontaktní osoba: Mgr. Michael Krbek, Ph.D.
Dodavatelské pracoviště: Ústav teoretické fyziky a astrofyziky – Fyzikální sekce – Přírodovědecká fakulta

Předpoklady

Diferenciální a integrální počet funkcí jedné a více proměnných

Omezení zápisu do předmětu

Předmět je nabízen i studentům mimo mateřské obory.

Mateřské obory/plány

předmět má 8 mateřských oborů, zobrazit

Cíle předmětu

Základní fyzikální a jiné teorie jsou často založeny na variačním principu, spočívajícím v nalezení podmínek pro stacionárnost a minimalitu jistého funkcionálu, přičemž funkcionály lze chápat jako funkce funkcí. Například v mechanice se jedná o zobrazení přiřazující přípustným trajektoriím v konfiguračním prostoru mechanické soustavy reálné číslo vhodně definovaným integrálem (definice vychází z fyzikálních požadavků na symetrie). Podmínka stacionarity pak vede k nalezení pohybových rovnic soustavy. Obdobná je situace v teorii polí, kde se "trajektoriemi" rozumí vyjádření veličin popisujících pole v závislosti na prostoročasových souřadnicích. Podstata problému je však stejná. Vedle problému pohybových rovnic samotných je třeba řešit otázku okrajových podmínek (tzv. úlohy s pevnými resp. volnými konci). Uvedené a mnohé další problémy jsou v matematice řešeny v rámci disciplíny zvané "Variační počet."

Cílem předmětu je poskytnout jeho absolventům základní matematické znalosti z oblasti variačního počtu, zejména se zaměřením na výše uvedené problémy, a představu o možnostech využití variačního počtu pro řešení fyzikálních, popřípadě technických úloh.

Výstupy z učení

Absolvováním disciplíny získá student tyto základní znalosti a dovednosti:

* Pochopení podstaty variační úlohy, její formulace a řešení.
* Pochopení podstaty odlišnosti variačních úloh s různým typem okrajových podmínek (pevné konce, volné konce).
* Zvládnutí praktických výpočetních postupů při řešení rovnic vyplývajících z formulace variačních úloh.
* Pochopení pojmu integrálů pohybu.
* Pochopení rozdílu mezi stacionaritou a minimalitou funkcionálu.
* Použití variačního počtu při řešení konkrétních úloh z oblasti variačních fyzikálních teorií.

Osnova

• 1. Přednáška

• (a) Seznámení s obsahem a výstupy kurzu, doporučená literatura (Gelfand&Fomin, Giaquinta-Hildebrandt, Hildebrandt-Tromba, Jost) (b) Požadavky na ukončení předmětu (c) Historie: Antika (Euklides, Dido), Newton, Bernoulliové, Euler, Lagrange, Jacobi, Weierstrass, Riemann, Hilbert, Caratheodóry (d) Aplikace: fyzika, geometrie, zpracování obrazu, ekonomie, všechny ostatní přírodní vědy, inženýrství, ... (e) Seznámení s funkcionály

• 2. Přednáška

• (a) Problém královny Dido a jeho řešení (Hurwitz   1900) přímou metodou (b) Nevýhody přímých metod, nepřímé metody

• 3. Přednáška

• (a) Prostory funkcí a normy na nich (b) Lineární funkcionály (c) Základní lemmata variačního počtu (d) Variace funkcionálu (e) Stacionární body a relativní extrémy: Euler-Lagrangeovy rovnice podruhé

• 4. Přednáška

• (a) Speciální případy integrandů - lagrangiánů, převod na kvadratury (b) Zobecnění pro případ více závislých proměnných (c) Úloha s volnými konci

• 5. Přednáška

• (a) Variační derivace (b) Invariance Euler-Lagrangeových rovnic vůči bodovým a jiným transformacím (c) Využití invariance k řešení rovnic

• 6. Přednáška

• (a) Nutné a postačující podmínky pro minimum (b) Legendreova podmínka (c) Konjugované body a Jacobiho podmínka

• 7. Přednáška

• (a) Kanonický tvar Euler-Lagrangeových rovnic (b) Legendreova transformace (c) Hamiltonovy rovnice

• 8. Přednáška

• (a) Kanonické transformace (b) Hamilton-Jacobiho teorie

• 9. Přednáška

• (a) Věty Noetherové (b) Zákony zachování

• 10. Přednáška

• (a) Parametrické variační problémy (b) Finslerova geometrie (c) Caratheodoryho královská cesta k variačnímu počtu

• 11. Přednáška

• (a) Variační problémy s vícenásobnými integrály (b) Lineární teorie pružnosti, krychlová mřížka limitně sféricky symetrická (c) Zákony zachování, tenzor energie-hybnosti, tenzor momentu hybnosti

• 12. Přednáška

• (a) Aproximativní (přímé) metody ve variačním počtu (b) Ritzova variační metoda (c) Sturm-Liouvilleova úloha

Literatura

doporučená literatura
• GEL'FAND, Izrail Moisejevič a Sergej Vasil'jevič FOMIN. Calculus of variations. Edited by Richard A. Silverman. Mineola, N. Y.: Dover Publications, 2000, vii, 232 s. ISBN 0-486-41448-5. info

neurčeno
• GIAQUINTA, Mariano a Stefan HILDEBRANDT. Calculus of variations. Berlin: Springer-Verlag, 1996, 474 s. ISBN 354050625X. info
• GIAQUINTA, Mariano a Stefan HILDEBRANDT. Calculus of variations. Berlin: Springer-Verlag, 1996, xxix, 652. ISBN 3540579613. info
• HILDEBRANDT, Stefan a Anthony TROMBA. The parsimonious universe : shape and form in the natural world. New York: Copernicus, 1996, XIII, 330. ISBN 0387979913. info
• JOST, Jürgen a Xianqing LI-JOST. Calculus of variations. First published. Cambridge: Cambridge University Press, 1998, xvi, 323. ISBN 9780521057127. info

Výukové metody

Přednáška: teoretická výuka kombinovaná s praktickými příklady
Cvičení: teoretické cvičení zaměřené na procvičení základních pojmů a tvrzení, samostatné řešení úloh, včetně úloh komplexnějšího charakteru. Občasné domácí úlohy.

Metody hodnocení

Typ výuky: přednáška a cvičení.

Závěrečné hodnocení: kolokvium (samostatné domácí řešení úlohy a následná rozprava nad ním). Úloha bude zadána během semestru také na základě zájmu studentky/studenta.

Informace učitele

Příprava ke kolokviu a jeho průběh: Výběr jedné úlohy ze zadaného seznamu, předvedení vyřešení úlohy při kolokviu vedeném seminárním způsobem, diskuse.

Další komentáře

Předmět je vyučován jednou za dva roky.
Výuka probíhá každý týden.
S.

• Statistika zápisu (nejnovější)
  
• Permalink: https://is.muni.cz/predmet/sci/jaro2025/F4260