M6370 Speciální matice

Přírodovědecká fakulta
jaro 2006
Rozsah
2/1/0. 3 kr. (příf plus uk plus > 4). Ukončení: zk.
Vyučující
prof. RNDr. Ladislav Skula, DrSc. (přednášející)
Garance
prof. RNDr. Ivanka Horová, CSc.
Ústav matematiky a statistiky – Ústavy – Přírodovědecká fakulta
Kontaktní osoba: prof. RNDr. Ladislav Skula, DrSc.
Předpoklady
M2110 Lineární algebra II
Základy maticové analýzy. Základní pojmy matematické statistiky.
Omezení zápisu do předmětu
Předmět je nabízen i studentům mimo mateřské obory.
Mateřské obory/plány
Cíle předmětu
Základní pojmy teorie matic: blokové matice, permutační matice, Kroneckerův součin. Diferenciální operátory pro matice. Fourierova analýza: Fourierova matice, diskrétní Fourierova transformace, vzorkování periodické funkce (diskretizace). Diskrétní konvoluce. Rychlé algoritmy diskrétní Fourierovy transformace a konvoluce. Obecné inverzní matice: zobecněná inverze, Moore-Penroseova inverze (existence a výpočetní metody), řešení soustavy lineárních rovnic zobecněnými inverzemi, metoda nejmenších čtverců. Aplikace lineární algebry v matematické ekonomii, Leontiefův model. Aplikace maticové algebry ve statistice: varianční a korelační matice, Wishartova matice, lineární model.
Osnova
  • Zavedení nových pojmů požadovaných v oblasti speciálních matic: blokové matice a operace s nimi, přímé součty, Kroneckerův součin matic, permutační matice, matice předního posunu, vlastní čísla permutačních matic. Diferenciální operátory pro matice. Fourierova analýza: Fourierova matice, její vlastní čísla i s násobnostmi, diskrétní Fourierova transformace a její inverze, Fourierovy matice jako Kroneckerovy součiny, rychlá Fourierova transformace, Walsh-Hadamardova transformace, vzorkování periodických funkcí. Diskrétní konvoluce. Rychlé metody výpočtu diskrétní Fourierovy transformace a diskrétních konvolucí. Fourierovy koeficienty vektoru.Vektorový prostor se skalárním součinem spojitých funkcí, Fourierův rozvoj. Obecné inverze matic: inverze zprava a zleva,jejich určení a existence, zobecněné inverze, jejich popis a výpočet, minorový algoritmus, aplikace zobecněných inverzí na systém lineárních rovnic, lineárně nezávislá řešení. Některé věty o hodnosti matice. Moore-Penroseova inverze matice, existence a jednoznačnost, metody výpočtu (skeletní rozklad, Grevilleův algoritmus).Věta o faktorizaci matice pomocí singulárních čísel. Nejlepší přibližné řešení vzhledem k nejmenším čtvercům, minimální norma. Aplikace lineární algebry v matematické ekonomii: Leontiefův model vstupu a výstupu, nezáporné matice a jejich použití v Leontiefovu modelu. Aplikace v matematické statistice: varianční matice a její lineární transformace, korelační matice, singulární varianční matice a kvadratické formy, Wishartova matice. Lineární model, nestranný odhad, použití zobecněných inverzí (nejlepší lineární nestranný odhad).
Literatura
  • [1] J.Anděl, Matematická statistika,SNTL, Praha,1985
  • P.J.Davis, Circulant Matrices, New York,1994
  • P.Horák, Algebra a teoretická aritmetika I., Brno,1991, MU
  • S.S.Searle, Matrix Algebra Useful for Statistics, New York,1982
  • F.Šik, Lineární algebra zaměřená na numerickou analýzu, Brno 1998, MU
Metody hodnocení
Výuka: přednáška, cvičení. Zkouška: písemná a ústní.
Informace učitele
Požadavky ke zkoušce jsou následující: Písemnou zkoušku je třeba složit minimálně na 50%. Tato zkouška se skládá z příkladů na výpočty různých typů inverzí a získání fundamentálního systému řešení systému lineárních rovnic pomocí zobecněných inverzí. Při ústní zkoušce se ověřují znalosti posluchače a jeho porozumnění přednesené oblasti.
Další komentáře
Předmět je vyučován každoročně.
Výuka probíhá každý týden.
Předmět je zařazen také v obdobích jaro 2000, jaro 2001, jaro 2002, jaro 2003, jaro 2004, jaro 2005, jaro 2007.