F4260 Variační počet a jeho aplikace

Přírodovědecká fakulta
jaro 2018
Rozsah
2/1/0. 3 kr. (plus ukončení). Ukončení: k.
Vyučující
prof. RNDr. Jana Musilová, CSc. (přednášející)
Mgr. Michael Krbek, Ph.D. (cvičící)
Garance
prof. RNDr. Jana Musilová, CSc.
Ústav teoretické fyziky a astrofyziky – Fyzikální sekce – Přírodovědecká fakulta
Kontaktní osoba: prof. RNDr. Jana Musilová, CSc.
Dodavatelské pracoviště: Ústav teoretické fyziky a astrofyziky – Fyzikální sekce – Přírodovědecká fakulta
Rozvrh
Út 8:00–9:50 F3,03015
  • Rozvrh seminárních/paralelních skupin:
F4260/01: Út 18:00–18:50 F4,03017
Předpoklady
diferenciální a integrální počet funkcí jedné a více proměnných, základy multilineární algebry (tenzory), diferenciální formy na euklidovských prostorech
Omezení zápisu do předmětu
Předmět je nabízen i studentům mimo mateřské obory.
Mateřské obory/plány
předmět má 8 mateřských oborů, zobrazit
Cíle předmětu
Významné fyzikální teorie jsou často založeny na tzv. variačním principu, spočívajícím v nalezení podmínek pro stacionárnost jistého funkcionálu. Například v mechanice se jedná o zobrazení přiřazující přípustným trajektoriím v konfiguračním prostoru mechanické soustavy reálné číslo vhodně definovaným integrálem (definice vychází z fyziky). Podmínka stacionarity pak vede k nalezení pohybových rovnic soustavy. Obdobná je situace v teorii polí, kde se "trajektoriemi" rozumí vyjádření veličin popisujících pole v závislosti na prostoročasových souřadnicích. Podstata problému je však stejná. Vedle problému pohybových rovnic samotných je třeba řešit otázku okrajových podmínek (tzv. úlohy s pevnými resp. volnými konci). Ve fyzice bývají časté i situace, kdy je soustava podrobena vazebním podmínkám. Jedná se o tzv. vázané (podmíněné) stacionární úlohy. Uvedené a mnohé další problémy jsou v matematice řešeny v rámci disciplíny zvané "Variační počet."

Cílem předmětu je poskytnout jeho absolventům základní matematické znalosti z oblasti variačního počtu, zejména se zaměřením na výše uvedené problémy, a představu o možnostech využití variačního počtu pro řešení fyzikálních, popřípadě technických úloh.

Absolvováním disciplíny zská student tyto základní znalosti a dovednosti:

* Pochopení podstaty variační úlohy, její formulace a řešení.
* Pochopení podstaty odlišnosti variačních úloh s různým typem okrajových podmínek (pevné konce, volné konce).
* Zvládnutí praktických výpočetních postupů při řešení rovnic vyplývajících z formulace variačních úloh.
* Pochopení pojmu integrálů pohybu.
* Použití variačního počtu při řešení konkrétních úloh z oblasti variačních fyzikálních teorií.
Osnova
  • I. Úvod.
  • I-1. Fyzikální a geometrické úlohy variačního typu (šíření světla, úloha o brachistochroně, izoperimetrický problém, úloha o minimální rotační ploše,....).
  • II. Elementární způsoby řešení stacionárních úloh - funkce jedné proměnné.
  • II-2. Funkcionál, podmínka stacionarity, Eulerova rovnice a její odvození, speciální případy.
  • II-3. Aplikace (geometrické úlohy, úlohy z mechaniky hmotného bodu a soustav hmotných bodů).
  • II-4. Přibližné řešení variačních úloh.
  • III. Metoda variací - funkce jedné proměnné.
  • III-5. Klasifikace stacionárních bodů.
  • III-6. Variace funkce, variace funkcionálu, věty variačního počtu.
  • III-7. Eulerovy rovnice, invariance.
  • IV. Funkcionály pro funkce více proměnných.
  • IV-8. Formulace úlohy, Eulerovy rovnice.
  • IV-9. Aplikace - teorie polí.
  • V. Úlohy s volnými konci.
  • V-10. Formulace úlohy, úloha s volnými konci v jednorozměrném prostoru, aplikace.
  • V-11. Úloha s volnými konci v trojrozměrném prostoru, aplikace.
  • VI. Vázané (podmíněné) stacionární úlohy.
  • VI-12. Obecná formulace vázané úlohy, typy vazebních podmínek ve fyzice, příklady.
  • VI-13. Metoda Lagrangeových multiplikátorů.
  • VII. Úvod do variačního počtu na fibrovaných prostorech.
  • VII-14. Fibrované euklidovské prostory, řezy a jejich prodloužení, vektorová pole, diferenciální formy.
  • VII-15. Variační problém na fibrovaném prostoru, Lagrangeova struktura, extremály, aplikace.
Literatura
  • Průběžně zveřejňovaný text k přednášce
  • GEL'FAND, Izrail Moisejevič a Sergej Vasil'jevič FOMIN. Calculus of variations. Edited by Richard A. Silverman. Mineola, N. Y.: Dover Publications, 2000, vii, 232 s. ISBN 0-486-41448-5. info
Výukové metody
Přednáška: teoretická výuka kombinovaná s praktickými příklady
Cvičení: teoretické cvičení zaměřené na procvičení základních pojmů a tvrzení, samostatné řešení úloh, včetně úloh komplexnějšího charakteru,domácí úlohy, testy
Metody hodnocení
Typ výuky: přednáška. Závěrečné hodnocení: kolokvium (rozprava).
Informace učitele
Příprava ke kolokviu a jeho průběh: Výběr jedné úlohy ze zadaného seznamu, předvedení vyřešení úlohy při kolokviu vedeném seminárním způsobe, diskuse.
Další komentáře
Studijní materiály
Předmět je vyučován jednou za dva roky.
L.
Předmět je zařazen také v obdobích jaro 2008 - akreditace, jaro 2011 - akreditace, jaro 2008, jaro 2009, jaro 2010, jaro 2011, jaro 2012, jaro 2012 - akreditace, jaro 2013, jaro 2014, jaro 2015, jaro 2016, jaro 2021, jaro 2023, jaro 2025.