M6170 Analýza v komplexním oboru

Přírodovědecká fakulta
jaro 2022
Rozsah
2/2/0. 4 kr. (příf plus uk k 1 zk 2 plus 1 > 4). Ukončení: zk.
Vyučující
doc. Mgr. Petr Zemánek, Ph.D. (přednášející)
Garance
doc. Mgr. Petr Zemánek, Ph.D.
Ústav matematiky a statistiky – Ústavy – Přírodovědecká fakulta
Dodavatelské pracoviště: Ústav matematiky a statistiky – Ústavy – Přírodovědecká fakulta
Rozvrh
Út 10:00–11:50 M6,01011
  • Rozvrh seminárních/paralelních skupin:
M6170/01: Út 12:00–13:50 M6,01011, P. Zemánek
Předpoklady
( M3100 Matem. analýza III || M4502 Matematická analýza 4 || M3100F Matem. analýza III ) && M2110 Lineární algebra a geom. II
Matematická analýza: Diferenciální počet funkcí jedné i více proměnných, integrální počet, číselné a funkční posloupnosti a řady, metrické prostory. Lineární algebra: Systémy lineárních rovnic, determinanty, matice, lineární prostory, lineární transformace.
Omezení zápisu do předmětu
Předmět je nabízen i studentům mimo mateřské obory.
Mateřské obory/plány
Cíle předmětu
Analýza v komplexním oboru je klasickou partií matematické analýzy. Má různé elegantní a mnohdy i nečekané aplikace v mnoha oblastech matematiky. Je účinným nástrojem i mimo matematiku, hlavně ve fyzice a technice. Cílem kurzu je seznámit studenty se základy teorie funkcí komplexní proměnné, zejména s integrací v C a Cauchyovou teorií, vlastnostmi holomorfních funkcí, teorií reziduí a jejími aplikacemi.
Výstupy z učení
Po úspěšném absolvování tohoto kurzu bude student schopen:
definovat a interpretovat základní pojmy užívané v základních partiích analýzy v komplexním oboru a vysvětlit souvislosti mezi nimi;
formulovat příslušné matematické věty a tvrzení a vysvětlit metody jejich důkazů;
porovnat rozdíly mezi teorií funkcí komplexní proměnné a teorií funkcí reálné proměnné;
ovládat efektivní techniky používané v základních oblastech analýzy v komplexním oboru;
aplikovat získané poznatky při řešení konkrétních příkladů včetně příkladů aplikačního charakteru.
Osnova
  • 1. Úvod do předmětu: komplexní čísla, přímka, kružnice, zobecněná kružnice, afinita v C a její speciální případy, topologické základy, stereografická projekce, Gaussova a rozšířená Gaussova rovina, posloupnosti a řady komplexních čísel.
  • 2. Základy kalkulu v C: spojitost, komplexní diferencovatelnost, Cauchyho-Riemannovy podmínky, holomorfní funkce, řady funkcí a mocninné řady, elementární funkce (polynomy, racionální lomené funkce, exponenciální, odmocnina, logaritmus, goniometrické, cyklometrické, hyperbolické a hyperbolometrické funkce, obecná mocnina).
  • 3. Integrál & Cauchyova teorie: křivky v C, integrace v komplexním oboru, primitivní funkce, nezávislost na integrační cestě, Cauchyova věta, Cauchyovy integrální vzorce.
  • 4. Vlastnosti holomorfních funkcí: Liouvilleova věta, Cauchyova nerovnost, Morerova věta, řady a posloupnosti holomorfních funkcí, Taylorův rozvoj, věta o jednoznačnosti, princip maxima modulu.
  • 5. Teorie reziduí: Laurentova řada, izolované singularity, reziduum funkce v bodě, reziduová věta, aplikace teorie reziduí.
Literatura
    povinná literatura
  • KALAS, Josef. Analýza v komplexním oboru. 1. vyd. Brno: Masarykova univerzita v Brně, 2006, 202 s. ISBN 80-210-4045-9. info
    doporučená literatura
  • ČERNÝ, Ilja. Analýza v komplexním oboru. 1. vyd. Praha: Academia, 1983, 822 s. info
  • JEVGRAFOV, Marat Andrejevič. Sbírka úloh z teorie funkcí komplexní proměnné. Translated by Anna Něničková - Věra Maňasová - Eva Nováková. Vyd. 1. Praha: SNTL - Nakladatelství technické literatury, 1976, 542 s. URL info
    neurčeno
  • NOVÁK, Vítězslav. Analýza v komplexním oboru. 1. vyd. Praha: Státní pedagogické nakladatelství, 1984, 103 s. info
  • VESELÝ, Jiří. Komplexní analýza. 1. vyd. Praha: Univerzita Karlova v Praze, Nakladatelství Karolinum, 2000, 244 s. ISBN 80-246-0202-4. info
  • LANG, Serge. Complex Analysis. 3. vyd. Springer-Verlag, 1993, 458 s. ISBN 0-387-97886-0. info
  • JEVGRAFOV, Marat Andrejevič. Funkce komplexní proměnné. Translated by Ladislav Průcha. Vyd. 1. Praha: SNTL - Nakladatelství technické literatury, 1981, 379 s. URL info
  • NAHIN, Paul J. An imaginary tale :the story of [odmocnina z minus jedné]. Princeton, New Jersey: Princeton University Press, 1998, xvi, 257 s. ISBN 0-691-02795-1. info
Výukové metody
přednášky a cvičení
Metody hodnocení
Zkouška má písemnou a ústní část.
Informace učitele
Požadavky na úspěšné zakončení předmětu: Písemná část zkoušky prokazuje schopnost praktické aplikace získaných poznatků na konkrétní příklady a dosažení potřebné početní praxe. V průběhu ústní zkoušky je požadováno pochopení zavedených pojmů, porozumění vyloženým větám a schopnost jejich formulace. Je vyžadována znalost jednodušších důkazů a myšlenkových postupů složitějších důkazů. Výuka probíhá většinou v češtině nebo dle potřeby v angličtině, příslušná terminologie je za všech okolností uváděna i s anglickými ekvivalenty. Mezi cílové dovednosti studia patří schopnost používat anglický jazyk pasivně i aktivně ve vlastní odbornosti a také v potenciálních oblastech aplikací matematiky. Hodnocení ve všech případech může probíhat v češtině i v angličtině, dle volby studenta.
Další komentáře
Studijní materiály
Předmět je vyučován každoročně.
Předmět je zařazen také v obdobích jaro 2008 - akreditace, jaro 2011 - akreditace, jaro 2002, jaro 2003, jaro 2004, jaro 2005, jaro 2006, jaro 2007, jaro 2008, jaro 2009, jaro 2010, jaro 2011, jaro 2012, jaro 2012 - akreditace, jaro 2013, jaro 2014, jaro 2015, jaro 2016, jaro 2017, jaro 2018, jaro 2019, jaro 2020, jaro 2021, jaro 2023, jaro 2024, jaro 2025.