M8300 Parciální diferenciální rovnice

Přírodovědecká fakulta
jaro 2024
Rozsah
4/2/2. 10 kr. Doporučované ukončení: zk. Jiná možná ukončení: k.
Vyučující
doc. Phuoc Tai Nguyen, PhD (přednášející)
Sushmita Rawat, M.Sc., Ph.D. (cvičící)
Garance
doc. Phuoc Tai Nguyen, PhD
Ústav matematiky a statistiky – Ústavy – Přírodovědecká fakulta
Dodavatelské pracoviště: Ústav matematiky a statistiky – Ústavy – Přírodovědecká fakulta
Rozvrh
Po 19. 2. až Ne 26. 5. Po 14:00–15:50 M3,01023, St 10:00–11:50 M3,01023
  • Rozvrh seminárních/paralelních skupin:
M8300/01: Po 19. 2. až Ne 26. 5. Čt 8:00–9:50 M3,01023, S. Rawat
Předpoklady
! M8110 Parciální diferenc. rovnice && !NOW( M8110 Parciální diferenc. rovnice )
The main pre-requisites are basic concepts in Calculus of one and several variables, Functional Analysis, Measure Theory and Integration, and Theory of ordinary differential equations. It is recommended to start with courses M7300 Global analysis, M7120 Spectral analysis I and M8120 Spectral analysis II before entering this course.
Omezení zápisu do předmětu
Předmět je otevřen studentům libovolného oboru.
Cíle předmětu
Jedná se o základní kurz parciálních diferenciálních rovnic, pokrývající jak klasické tak moderní metody řešení. Studenti jsou seznámeni s řadou příkladů jak lineárních tak nelineárních rovnic a jejich použitím při modelování fyzikálních a dalších jevů. Věnuje se nejdříve klasickým metodám řešení rovnic prvího řádu a základních rovnic matematické fyziky. V další části jsou probírány moderní metody, založené mimo jiné na metodách funkcionální analýzy a v těsné souvislosti s tím jsou probírány i numerické metody řešení těchto rovnic.
Výstupy z učení
Student bude po absolvování předmětu schopen:
- ovládat techniky řešení parciálních diferenciálních rovnic prvního řádu,
- porozumět vlastnostem řešení základních rovnic matematické fyziky, Laplaceově rovnici, vlnové rovnici a rovnici vedení tepla,
- využít parciální diferenciální rovnice k modelování konkrétních jevů,
- využívat vhodné numerické metody pro řešení konkrétních rovnic.
Osnova
  • Notations, definitions and examples of linear and nonlinear partial differential equations.
  • First-order partial differential equations: transport equations, method of characteristics.
  • Laplace and Poisson equations: harmonic functions, fundamental solutions, energy method, discretizations method.
  • Heat equations: : fundamental solution, initial value problems, nonhomogeneous problems, properties of solutions.
  • Wave equations: Representation formulas, energy method.
  • Method of separation of variables.
  • Cauchy-Kovalevskaya theorem.
  • Lebesgue spaces and Sobolev spaces.
  • Fourier method: definitions and basic properties, applications in solving differential partial equations.
  • Semigroup theory: Definitions and properties, applications, Brownion motions.
  • General second-order elliptic equations: existence of weak solutions, regularity results, maximum principle, eigenvalues and eigenfucntions.
  • General second-order parabolic equations: existence and uniqueness, regularity, maximum principle.
Literatura
    doporučená literatura
  • BREZIS, Haïm. Functional analysis, Sobolev spaces and partial differential equations. New York: Springer, 2011, xiii, 599. ISBN 9780387709130. info
  • Partial differential equations. Edited by Jürgen Jost. New York: Springer-Verlag, 2002, xi, 325. ISBN 0387954287. info
  • EVANS, Lawrence C. Partial differential equations. Providence, R.I.: American Mathematical Society, 1998, xvii, 662. ISBN 0821807722. info
  • GILBARG, David a Neil S. TRUDINGER. Elliptic partial differential equations of second order. Berlin: Springer-Verlag, 1997, x, 401. ISBN 0387080074. info
Výukové metody
Přednášky, cvičení, domácí úlohy
Metody hodnocení
Písemná a ústní zkouška
Vyučovací jazyk
Angličtina
Informace učitele
Výuka probíhá v angličtině. Mezi cílové dovednosti studia patří schopnost používat anglický jazyk pasivně i aktivně ve vlastní odbornosti a také v potenciálních oblastech aplikací matematiky. Hodnocení ve všech případech může probíhat v češtině i v angličtině, dle volby studenta.
Další komentáře
Studijní materiály
Předmět je vyučován každoročně.
Nachází se v prerekvizitách jiných předmětů
Předmět je zařazen také v obdobích jaro 2020, jaro 2021, jaro 2022, jaro 2023, jaro 2025.