F1711 Matematika 1

Přírodovědecká fakulta
podzim 2003
Rozsah
3/2/0. 4 kr. (příf plus uk plus > 4). Ukončení: zk.
Vyučující
prof. RNDr. Jana Musilová, CSc. (přednášející)
Mgr. Pavla Musilová, Ph.D. (cvičící)
doc. Mgr. Josef Klusoň, Ph.D., DSc. (cvičící)
Garance
prof. RNDr. Michal Lenc, Ph.D.
Ústav teoretické fyziky a astrofyziky – Fyzikální sekce – Přírodovědecká fakulta
Kontaktní osoba: prof. RNDr. Jana Musilová, CSc.
Rozvrh seminárních/paralelních skupin
F1711/02: Rozvrh nebyl do ISu vložen. J. Klusoň
F1711/03: Rozvrh nebyl do ISu vložen. J. Klusoň
F1711/04: Rozvrh nebyl do ISu vložen. P. Musilová
F1711/05: Rozvrh nebyl do ISu vložen. P. Musilová
Předpoklady
Středoškolská matematika
Omezení zápisu do předmětu
Předmět je nabízen i studentům mimo mateřské obory.
Mateřské obory/plány
Cíle předmětu
Předmět je první částí úvodu do základů matematické analýzy, lineární algebry a teorie pravděpodobnosti. Je určen studentům bakalářských nefyzikálních a profesních fyzikálních programů. Jeho cílem je naučit studenty používat matematické postupy běžné v přírodních vědách, nikoli však jako pouhé rutinní procedury, ale s pochopením jejich podstaty. Výklad problematiky je založen spíše na názorném zavádění pojmů motivovaném potřebou konkrétního výpočetního aparátu přírodních věd (fyziky, chemie, biologie, věd o Zemi), popř. i geometrie, a na intuitivně pochopitelném vysvětlení vlastností těchto pojmů, než na tradičním schématu definice - věta --důkaz. Matematická tvrzení jsou však vždy formulována korektně, s uvedením potřebných předpokladů a pro názornost i protipříkladů. Pozornost je věnována zejména pojmům, bez kterých se studium žádné přírodní vědy nemůže obejít: pojem funkce a jeho vlastnosti a základní pojmy lineární algebry. Studenti programů a oborů, kde je matematika přímo součástí vědní discipliny samotné, mohou předmět chápat jako průpravu pro absolvování nezbytných teoretických matematických disciplin.
Osnova
  • 1. Lineární algebra poprvé (To nejnutnější z lineární algebry) 1.1 Lineární rovnice (1. týden) (Linearita neboli úměra je všudypřítomná -- v geometrii, ve fyzice, v chemii, biologii a bůhvíkde ještě.) * lineární zákony (fyzikální, chemické, biologické, ...) * lineární geometrické útvary -- přímky a roviny * soustavy lineárních rovnic * Gaussova eliminace a k čemu mohou být matice 1.2 Algebra čísel, vektorů a matic (2. a 3. týden) (Počítat s čísly umí každý (?) -- ale s vektory a maticemi to jde také.) * reálná čísla a vlastnosti množin reálných čísel, komplexní čísla * vektory v R3 a počítání s nimi: součet, násobení číslem; lineárně závislé a nezávislé vektory, báze; skalární, vektorový a smíšený součin a jejich geometrický význam matice a počítání s nimi: součet, násobení číslem, součin, hodnost * čtvercové matice: determinant, inverzní matice * přechody mezi bázemi -- vida, k čemu také mohou být matice * vektory, matice a fyzikální i nefyzikální veličiny 2.Funkce jedné proměnné (Všechno souvisí se vším, ale v přírodě je zejména důležitá závislost na čase -- funkce, čáry (grafy) a čáry s funkcemi.) 2.1 Funkce a jejich grafy (3. a 4. týden) (K získání představy o chování funkce nejlépe poslouží její graf .) * funkce a její graf, operace s funkcemi: součet, součin, podíl, skládání, inverze * limity všeho druhu -- jak se chová funkce a její graf, jestliže se proměnná libovolně blíží k předem dané hodnotě * posloupnosti (také funkce) a jejich limity, posloupnosti všudypřítomné: kolik máme pra...prababiček, proč nehrát "letadlo", jak si spočítat úroky, ... * spojité funkce -- funkce, jejichž graf není přetržen, obvykle popisují přírodní jevy * elementární funkce -- název zamlčuje, že úvahy o nich tak zcela elementární nejsou (polynomy, racionální funkce, exponenciály a mocniny, logaritmy, goniometrické a cyklometrické funkce), jak se příroda řídí elementárními funkcemi (kmitání, oběh planet, jaderný rozpad, absorpce záření, vidění a slyšení, ...) 2.2 Derivování (5., 6. a 7. týden) (Aby bylo možné rychle a výstižně nakreslit graf funkce, je třeba znát některé triky.) * derivace určuje sklon grafu, tj. rychlost jeho změny: pravidla pro derivování součtu, součinu a podílu funkcí, složených a inverzních funkcí, derivace implicitní funkce -- jde jen o výpočty limit * derivace derivovaných funkcí, neboli derivace vyšších řádů: počítáme křivost a další charakteristiky grafu * diferenciály -- zatím stručně jen pro pořádek * průběh funkce: návod na rychlé nakreslení grafu * funkce zadané parametricky, trajektorie částic -- geometrie a fyzika, ale i jiné oblasti přírodovědy * primitivní funkce: než jsme si stačili všimnout, někdo funkci zderivoval -- jak vypadala? * pravidla pro hledání primitivních funkcí: substituční metody, per partes 2.3 Integrování (8, 9. a 10. týden) (Jak si poradit s výpočtem plochy rovinného útvaru nebo objemu tělesa, nenajdeme li vzorec v tabulkách,aneb na co všechno stačí jednoduchý integrál.) * plocha pod grafem funkce dlážděná proužky: dělení intervalu, horní a dolní součty funkce * integrabilita -- horní a dolní součty funkce vedou k témuž výsledku, Riemannův integrál * kdo by se trápil s dělením, stačí najít primitivní funkci: Newtonova-Leibnizova formule -- vztah mezi Riemannovým integrálem a primitivní funkcí * co všechno lze jednoduchým integrálem počítat -- někdy dokonce i charakteristiky dvojrozměrných a trojrozměrných těles (hmotnost, plocha, těžiště, moment setrvačnosti ... ) * křivkový integrál prvního druhu: hmotnosti, momenty setrvačnosti, těžiště křivek (drátů) * (jsou i jiné typy integrálů -- stručný průvodce) 3. Pravděpodobnost (Život je jen náhoda, ale i ta má své zákonitosti.) 3.1 Základní informace o pravděpodobnostech (11. týden) (Kostky jsou vrženy, karty rozdány -- ale kolika způsoby to lze udělat?) * náhodné jevy, co je to pravděpodobnost * kombinace, variace, s opakováním i bez -- kdo se v tom vyzná ? * neslučitelné jevy a nezávislé jevy -- kdy pravděpodobnosti sčítat a kdy násobit ? * podmíněná pravděpodobnost -- sníží se pravděpodobnost výskytu další bomby v letadle, vezmeme-li si tam svou vlastní ? * výpočty pravděpodobností -- má smysl sázet Sportku ? 3.2 Náhodné veličiny (12. týden) (Jak přesně mohou Číňané změřit svého císaře?) * náhodná veličina s diskrétním rozdělením, střední hodnota, střední kvadratická odchylka * náhodná veličina se spojitým rozdělením, střední hodnota, střední kvadratická odchylka (ve hře opět integrál), různé typy rozdělení * to nejjednodušší ze základů zpracování měření 3.3 Co je matematická statistika (13. týden) (Statistika je věda o zjišťování, zpracování, hodnocení a interpretaci číselných údajů ssloužících k popisu rozsáhlých souborů popř k redukci rušivých odchylek způsobených náhodnými činiteli.) * spousta nových názvů s přesnou definicí: pozorování, četnosti, statistiky, odhady, modely, parametry, náhodný výběr, třídění, korelace, ... * testy významnosti * odhady * prokládání křivek: lineární regrese a metoda nejmenších čtverců
Metody hodnocení
Přednáška a klasické cvičení. Přístup ke zkoušce viz Informace učitele. Zkouška: písemná a ústní část.
Informace učitele
http://physics.muni.cz/~pavla/teaching.php
Požadavky postoupení ke zkoušce pro prezenční formu studia: 1. Splnění písemek alespoň na poloviční počet bodů - písemky budou celkem 3, jejich termíny jsou uvedeny na webové stránce. 2. Odevzdání domácích úkolů zadávaných na cvičeních a umístěných na webové stránce (celkem 30 příkladů), odevzdávat je nutné průběžně (tj. nejpozději do 14 dnů od data konání příslušného cvičení). 3. Účast na všech cvičeních. V případě nutné neúčasti je třeba řešit situaci pokud možno předem s cvičícím učitelem. (Příklady a domácí úkoly budou doplňovány průběžně, vždy alespoň na 3 týdny dopředů.) 4. Znalost základních pojmů přednášky. Požadavky postoupení ke zkoušce pro kombinovanou formu studia (studenti kombinovaného studia mohou též zvolin jako alternativu požadavky pro prezenční studenty): 1. Závěrečná písemka (3 hodiny), termín bude určen po domluvě. 2. Odevzdání domácích úkolů umístěných na webové stránce (celkem 30 příkladů). 3. Odevzdání dodatečných příkladů (místo účasti - 5 příkladů za jedno cvičení), které jsou pro jednotlivá cvičení umístěny na webové stránce. (Příklady a domácí úkoly budou doplňovány průvěžně, vždy alespoň na 3 týdny dopředu.) Příklady je nutné odevzdat nejpozději do 12.12. 2003. 4. Znalost základních pojmů písemky.
Další komentáře
Předmět je vyučován každoročně.
Předmět je zařazen také v obdobích podzim 2007 - akreditace, podzim 2010 - akreditace, podzim 2004, podzim 2005, podzim 2006, podzim 2007, podzim 2008, podzim 2009, podzim 2010, podzim 2011, podzim 2011 - akreditace, jaro 2012 - akreditace, podzim 2012, podzim 2013, podzim 2014, podzim 2015, podzim 2016, podzim 2017, podzim 2018, podzim 2019, podzim 2020, podzim 2021, podzim 2022, podzim 2023, podzim 2024.