FB210 Matematické základy fyzikálních variačních teorií

Přírodovědecká fakulta
podzim 2010
Rozsah
2/1. 2 kr. (plus ukončení). Ukončení: k.
Vyučující
prof. RNDr. Jana Musilová, CSc. (přednášející)
Garance
prof. RNDr. Michal Lenc, Ph.D.
Ústav teoretické fyziky a astrofyziky – Fyzikální sekce – Přírodovědecká fakulta
Kontaktní osoba: prof. RNDr. Jana Musilová, CSc.
Předpoklady
diferenciální a integrální počet funkcí jedné a více proměnných, základy multilineární algebry (tenzory), diferenciální formy na euklidovských prostorech
Omezení zápisu do předmětu
Předmět je otevřen studentům libovolného oboru.
Cíle předmětu
Geometrickým podkladem fyzikálních variačních teorií jsou fibrované variety. Pro mechaniku se jedná o fibrované variety s jednorozměrnou bází (čas), v případě teorií pole je báze vícerozměrná (nejčastěji čtyřrozměrný prostoročas). Výklad základních pojmů a tvrzení z geometrie fibrovaných variet, diferenciálních forem na fibrovaných varietách, formulace variačních úloh a důkazy základních formulí variačních teorií umožní studentům orientovat se korektním způsobem v matematické problematice variačních teorií. Součástí výkladu je i problematika variační posloupnosti a jejího využití pro pochopení variačnosti pohybových rovnic a triviálního variačního problému. Absolving the discipline students obtain following abilities and skills:

* Porozumění základním problémům variačního počtu na fibrovanch varietách a souvislosti obecné teorie s fyzikálními variačními teoriemi.
* Dovednost praktického počítání s jety, fibrovanými varietami a jejich jetovými prodlouženími, fibrovanými souřadnicovými systémy a systémy s nimi asociovanými.
* Dovednost praktického počítání s vektorovými poli, jejich prodlouženími, s diferenciálními formami na fibrovaných varietách.
* Dovednost praktické formulace variačních problémů, zeejména fyzikálních, odvození pohybových rovnic.
* Praktické použití variační posloupnosti pro řešení triviálního variačního problému a problému variačnosti pohybových rovnic.
Osnova
  • 1. Základní informace o jetech.
  • Fibrované variety a jejich jetová prodloužení, řezy na fibrovaných varietách.
  • 3. Vektorová pole a diferenciální formy na fibrovaných varietách a jejich prodlouženích.
  • 4. Horizontální a kontaktní formy.
  • 5. Základní operace s diferenciálními formami.
  • 6. Lagrangián, variační integrál a variační formule.
  • 7. Pohybové rovnice, Eulerova-Lagrangeova forma.
  • 8. Variační posloupnost na fibrovaných varietách.
  • 9. Reprezentace variační posloupnosti, Eulerovo-Lagrangeovo a Helmholtzovo-Soninovo zobrazení.
  • 10. Lepageovy formy, Lepageovy ekvivalenty.
  • 11. Triviální variační problém.
  • 12. Variačnost pohybových rovnic.
  • 13. Aplikace, příklady, mechanika.
Literatura
  • KRUPKA, Demeter a David SAUNDERS. Handbook of Global Analysis. 1. vyd. Nizozemí: Elsevier, 2008, 1244 s. ISBN 04-4452-833-4. info
  • Bude průběžně doporučována.
Výukové metody
přednáška a cvičení
Metody hodnocení
Typ výuky: přednáška a cvičení. Závěrečné hodnocení: kolokvium (rozprava). Průběžné požadavky: Zpracování dvou příkladů nebo důkazů během semestru. Povinnost navštěvovat cvičení (75 %).
Informace učitele
Neúčast ve cvičení lze kompenzovat po domluvě s vyučujícími vypracováním náhradních úkolů.
Další komentáře
Předmět je vyučován každoročně.
Výuka probíhá každý týden.
S.
Předmět je zařazen také v obdobích podzim 2007 - akreditace, podzim 2010 - akreditace, podzim 2006, podzim 2007, podzim 2008, podzim 2011 - akreditace, podzim 2024.