MD131 Reprezentace grup

Přírodovědecká fakulta
podzim 2012
Rozsah
3/1. 4 kr. (příf plus uk k 1 zk 2 plus 1 > 4). Ukončení: zk.
Vyučující
doc. RNDr. Jiří Kaďourek, CSc. (přednášející)
Garance
doc. RNDr. Jiří Kaďourek, CSc.
Ústav matematiky a statistiky – Ústavy – Přírodovědecká fakulta
Dodavatelské pracoviště: Ústav matematiky a statistiky – Ústavy – Přírodovědecká fakulta
Rozvrh
Út 12:00–13:50 M5,01013
  • Rozvrh seminárních/paralelních skupin:
MD131/01: St 12:00–13:50 M6,01011, J. Kaďourek
Předpoklady
(( M1110 Lineární algebra a geom. I || M1115 Lineární algebra a geom. 1 ) && ( M2150 Algebra I || M2155 Algebra 1 )) || PROGRAM(N-MA) || PROGRAM(D-MA)
Předmět je dostupný studentům, kteří mají solidní znalosti základů teorie grup, jsou obeznámeni se základními pojmy teorie okruhů a těles, mají obstojně zvládnuty základy lineární algebry a jsou ochotni své znalosti v těchto oblastech algebry prohlubovat a navzájem integrovat.
Omezení zápisu do předmětu
Předmět je nabízen i studentům mimo mateřské obory.
Mateřské obory/plány
Cíle předmětu
Obsahem kurzu je teorie reprezentací konečných grup regulárními lineárními transformacemi vektorových prostorů konečných dimenzí. Jinými slovy, jde o studium homomorfismů konečných grup do obecných lineárních grup. Obecnou lineární grupou rozumíme grupu všech regulárních lineárních transformací daného vektorového prostoru konečné dimenze. Pozornost je soustředěna na případ, kdy dotyčný vektorový prostor je vektorovým prostorem nad algebraicky uzavřeným tělesem charakteristiky nula. Tento případ v sobě zahrnuje klasickou teorii charakterů konečných grup. Tyto partie jsou neodmyslitelnou součástí každého hlubšího studia teorie grup. Po absolvování tohoto kurzu se tedy studenti budou schopni bezpečně orientovat v těchto partiích teorie grup. Tyto partie teorie grup mají navíc hluboké aplikace v teorii konečných grup. Za všechny jmenujme Burnsideovu p-q větu a Frobeniovu větu, pro niž dodnes není znám důkaz, který by se neopíral o teorii charakterů konečných grup.
Osnova
  • I. Reprezentace grup a moduly nad grupovými algebrami. 1. Lineární reprezentace grup: definice pojmu reprezentace grupy ve vektorovém prostoru konečné dimenze nad daným tělesem, jádro reprezentace, stupeň reprezentace, příklady. 2. Základy teorie modulů: moduly nad okruhy, konečně generované moduly, podmoduly, homomorfismy modulů, faktorové moduly, přímé součty modulů, jednoduché a polojednoduché moduly, tenzorové součiny modulů a vektorových prostorů. 3. Grupové okruhy a grupové algebry: definice pojmů, vztah mezi reprezentacemi konečných grup a konečně generovanými moduly nad grupovými algebrami, ekvivalentní reprezentace grup, ireducibilní reprezentace grup, přímé součty reprezentací grupy, Schurovo lemma. 4. Kritérium úplné rozložitelnosti reprezentací konečných grup na přímé součty ireducibilních reprezentací: Maschkeho věta. 5. Burnsideova věta o podgrupách konečného exponentu obecných lineárních grup nad tělesy charakteristiky 0. 6. Struktura grupových algeber konečných grup nad algebraicky uzavřenými tělesy: přímé součty algeber nad týmž tělesem, grupové algebry jakožto přímé součty maticových algeber nad daným tělesem, všechny navzájem neizomorfní jednoduché moduly nad danou grupovou algebrou, všechny neekvivalentní ireducibilní reprezentace konečné grupy nad daným tělesem. II. Teorie charakterů grup. 7. Charaktery grup: definice pojmu charakteru dané lineární reprezentace grupy, charaktery grupy jako funkce tříd konjugace grupy, charaktery tenzorových součinů modulů nad danou grupovou algebrou, okruh virtuálních charakterů grupy. 8. Vztahy ortogonality: ireducibilní charaktery grup, vztahy ortogonality mezi ireducibilními charaktery konečné grupy, skalární součin funkcí tříd konjugace konečné grupy, ireducibilní charaktery konečné grupy nad algebraicky uzavřeným tělesem a ortonormální báze vektorového prostoru všech funkcí tříd konjugace této grupy nad týmž tělesem, vztah mezi reprezentacemi konečné grupy nad algebraicky uzavřeným tělesem charakteristiky 0 a charaktery této grupy nad týmž tělesem. 9. Tabulka charakterů konečné grupy nad algebraicky uzavřeným tělesem: ortogonalita řádků, ortogonalita sloupců, charaktery konečné grupy nad tělesem všech komplexních čísel. III. Aplikace v teorii konečných grup. 10. Indukované reprezentace konečných grup: indukované moduly nad grupovými algebrami konečných grup, indukované charaktery konečných grup, Frobeniova věta o reciprocitě, pojem Frobeniových grup a Frobeniova věta o těchto grupách. Dodatek. Algebraická celá čísla: důkaz dělitelnost řádu konečné grupy stupni ireducibilních reprezentací této grupy nad algebraicky uzavřeným tělesem charakteristiky 0.
Literatura
  • ALPERIN, J. L. a Rowen B. BELL. Groups and representations. New York: Springer-Verlag, 1995, x, 194 s. ISBN 0-387-94525-3. info
  • ROBINSON, Derek John Scott. A course in the theory of groups. 2nd ed. New York: Springer-Verlag, 1995, xvii, 499. ISBN 0387944613. info
  • GORENSTEIN, Daniel. Finite Groups. Second edition. New York: Chelsea Publishing Co., 1980, xvii, 519. ISBN 0-8284-0301-5. info
  • DUMMIT, David Steven a Richard M. FOOTE. Abstract algebra. 2nd ed. Upper Saddle River, N.J.: Prentice Hall, 1999, xiv, 898 s. ISBN 0-13-569302-0. info
Výukové metody
Klasická forma výuky pozůstávající z přednášek doplněných cvičeními.
Metody hodnocení
Předmět je ukončen ústní zkouškou. Důraz je kladen na orientaci v základních principech teorie reprezentací konečných grup.
Informace učitele
Smyslem hodinového cvičení k přednášce o reprezentacích konečných grup je především doplnit další vědomosti z teorie grup, modulů a algeber, jejichž znalost sice není uvedena v předpokladech k tomuto kurzu, ale bez nichž se při studiu problematiky reprezentací konečných grup nelze obejít. Namátkou uveďme základy teorie modulů, problematiku tenzorových součinů vektorových prostorů a modulů, vybrané poznatky z teorie polojednoduchých algeber, anebo oblast algebraických celých čísel (jde o kořeny normovaných polynomů s celočíselnými koeficienty v tělese komplexních čísel). Cvičení samo bude tedy probíhat spíše formou semináře, anebo podle okolností může příležitostně mít i podobu konzultací spojených se samostudiem výše zmíněných partií algebry. Prezence ve cvičeních nebude kontrolována.
Další komentáře
Předmět je vyučován jednorázově.
Předmět je zařazen také v obdobích podzim 2007 - akreditace, podzim 2007, jaro 2019.